平面幾何常見添加輔助線的方法

徐策

[摘要]學生在幾何學習中，解平面幾何問題，關鍵是要學會添加輔助線.教師應指導學生掌握平面幾何常見的添加輔助線的方法，從中找出解題規律，進而有效解決問題.

[關鍵詞]平面幾何;輔助線;添加

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0023-02

解平面幾何一些比較復雜的圖形題，關鍵是如何添加適當的輔助線.其實，輔助線的添加也是有規律可循的.教師在教學過程中，應該指導學生對幾何知識點進行系統性的整理，對常見的一些例題、習題進行深入分析，找出規律，掌握輔助線的添加方法.

一、在分界點上添加平行線

相似形的證明在初中幾何中占據重要地位.中考命題中相似性的出題概率一直呈上升趨勢.因此在講這部分內容時，教師要緊緊把握住基本概念、性質以及基本題型.

在證明一些有關線段成比例的題型時，如果圖形中沒有呈現出相似三角形中的常見題型，即A字形或者X形，就可構造平行線去解決這類題目.

[例1]如圖1，D是AC的中點，EF交AB于E，與BC的延長線交點F，求證：.

分析：假如過點A作邊BC的平行線AG，那么就有.剩下的任務就是證明AG=CF，這樣問題也就迎刃而解了.

證明：過點A作BC的平行線AG，與FE的延長線相較于G點，連接GE.

又因為AD=DC，

這道題對初中生來說，還是比較復雜的.但是，我們通過作三角形定點的平行線這種輔助線，能輕松得到證明.

二、梯形中輔助線的作法

在初二的幾何學習中，經常會遇到計算梯形面積的題目，課本中給出的解法中，往往是傳統的“（上底+下底）x高”的做法，或者將一個梯形分解成兩個三角形來計算.其實，在解有關梯形的題目中，還有以下幾種添加輔助線的方法.

1.已知梯形上底和下底之差，通過上底的其中一個端點，作一條與腰平行的線段.這樣實際上就把梯形轉化成平行四邊形，另外加上一個三角形，如圖2-1.

2.已知梯形的上、下底，求面積.常見的方法是在上底的兩個端點處，向下底引垂線，形成高線，如圖2-2.

3.延長梯形（特別是等腰梯形）的兩腰，使其相交于一點，這樣可以通過相似三角形計算長度，如圖2-3.

4.已知梯形的對角線相等，或者對角線互相垂直時，可過梯形上底的一個端點，作另一條角線的平行線，使之與下底的延長線相交，如圖2-4.

5.當梯形中出現中點時，都會過其中一腰的中點，作另一腰的平行線，最后分別與上底的延長線和下底相交，如圖2-5.

6.當梯形中出現中點時，也會常常連接上底的一端點和另一腰的中點，并延長，最后與下底的延長線相交，如圖2-6.

三、運用“三線合一”性質，給等腰三角形過頂點作底邊上的高線

如果題目已知等腰三角形（或者等邊三角形），并且知道其中的某一邊，求面積或者證明某兩條線段相等，這時，利用“三線合一”性質過三角形的頂點作底邊上的高線，是最有效的辦法.

[例2]如圖3，已知點D、E在三角形的底邊BC上，且AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE.

分析：在本題中，呈現了兩個等腰三角形，而且要證明相等的線段在等腰三角形的底邊上，用等腰三角形的“三線合一”性質解決，可得線段BH=HC，DH=HE，再根據等式性質“等量減等量還是等量”，最終命題得證.

四、截長補短法

截長補短法常用于證明兩條線段之和或者之差等于另一條線段.具體來說，有兩種操作，一是截長，二是補短.

[例3]如圖4，已知在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC.

證明：在AC上截取AF=AB，并連接DF.

在△ABD和△AFD中，

∴∠B=∠AFD，BD=DF.

又因為∠B=2∠C，

∴∠AFD=2∠C.

又∠AFD=∠FDC+∠C，

∴∠FDC=∠C.

∴FD=FC（等角對等邊），即AB+BD=AC.

總之，學生想學好幾何，關鍵要學會添加輔助線.當做完一道題目后，應及時歸納、總結相關解題方法，長此以往，便可熟能生巧，從而提高數學解題能力，提升數學核心素養.

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