用消元法解決多變量表達式的范圍問題

沈瑜敏

[摘要]消元法是求解多變量表達式的范圍問題的有效路徑.結合幾則例題，從三個方面探討消元法的具體運用，以幫助學生解決復雜的數學問題.

[關鍵詞]消元法;多變量;表達式;范圍

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0021-02

多變量表達式的范圍問題，是一類形式復雜、解法靈活的問題，這類問題一般采用消元法來處理.當表達式含有多個變量，而且這些變量又是相互制約時，如何消元？消元主要有哪些方法與技巧？消元后表達式會發生哪些變化？消元時應注意哪些問題？

一、利用等量關系消元

有些題目，給出幾個變量之間的等式，在此基礎上求某個關于這幾個變量的另一個表達式的取值范圍.我們通常把這個已知等式看成條件等式，利用這個等量關系，寫出變量的函數，進而代入待求關系式，達到減少變量的結果，最后將問題轉化為單變量的函數的值域問題.

[例1]（1）已知a，x，y∈R，且滿足，那么xy的取值范圍是??? .

（2）已知a>0，b>0，c>0，且ab=1，a²+b²+c²=4，則ab+bc+ac的最大值為??? .

分析：（1）.

由及可得，

解得..

（2）因為ab=1，所以ab+bc+ac=1+c（a+b）.

由a²+b²+c²=4可得a²+b²=4-c²，于是，

這樣.于是原多元表達式化成了一個關于c的函數.

再由4-c²=a²+b²≥2ab=2可得c²≤2，即這個函數的定義域為.

故.于是當c²=2時，.

點評：本例的（1）問中，因為xy可用x+y，x²+y²來表示，所以最終得到一個關于a的函數，再確定a的取值范圍，原問題便迎刃而解.破解本例的（2）問的關鍵是選擇c作為變量，發現（a+b）可用c來表示，從而使三元變成一元，得到函數，進而再轉化為二次函數的最值問題.

二、利用換元法消元

當表達式中出現一個整體時，往往可以將這個整體看作一個新元，采用整體換元法;當條件等式是二次時，尤其是二次曲線時，可以采用三角換元法，采用二次曲線的參數方程，將原表達式轉化為三角函數來處理.

[例2]如果實數x，y滿足條件x²-y²=1，那么代數式的取值范圍是??? .

思路1：因為x²-y²=1，所以，于是.

設，它的幾何含義就是（x，y）與（0，0）連線的斜率.而點（x，y）在雙曲線x²-y²=1上，所以這個斜率的絕對值必須滿足小于漸近線的斜率的要求，即t∈（-1，1），則f（t）=-t²+2t+1=-（t-1）²+2∈（-2，2）.故答案為（-2，2）.

思路2：本題也可以考慮利用三角換元.設，原式轉化為.由可知的范圍為（-2，2）.故答案為（-2，2）.

點評：本例分別采用了兩種換元法.但無論是哪種，必須要滿足兩點：一是有利于確定新元的取值范圍;二是有利于化為常見的基本函數.本例最終都化為二次函數，有利于求出它的值域，即所求的多元表達式的取值范圍.

三、利用放縮法消元

對于有些多元表達式的最值問題，已知條件中給出的不是條件等式，而是條件不等式，此時往往需用到放縮法與不等式的傳遞性技巧來消元.要求解題者仔細分析題目特征以及各個未知元之間的關系，通過合理放縮，將不等關系傳遞下去.但需保證等號依然可以取到，這一點是處理這類問題的難點所在，也是學生的易錯點所在.

[例3]（1）設實數a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，則a+b+c的最大值為??? .

（2）若當x∈R時一元二次不等式ax²+bx+c≥0恒成立，且題目中的系數a，b滿足a

解析：（1）由a+b+c想到（a+b）與a²+b²的內在聯系，即，故.接著可利用a²+b²≤c這個關系進一步放縮消元，于是得.再應用條件c≤1即可求得最大值，所以a+b+c的最大值為.其中等號成立條件為.故答案為.

（2）由不等式恒成立可得△=b²-4ac≤0，且a>0，于是想到消去c，

即由△≤0得到，所以，

再將分式的分子與分母同時除以，得.

設，根據a

因為，從而.故答案為3.

點評：本例（1）問也可從a²+b²入手，進行三角換元，根據a¹+b²≤c可得到，再由不等號的方向情況進行連續放縮，從而消去θ，r，c就可得到最值.而本例（2）問的關鍵在于消去c，保留a，b，使得最終得到的是一個關于a，b的輪換式，為進一步利用換元法消元創造有利條件.

以上三種消元的方法雖然形式不同，但消元的原則是一致的，即消元后化為一元表達式，然后再求它的取值范圍.或利用常見函數，利用求函數值域的方法求出它的范圍;或利用基本不等式，先構造出具備使用基本不等式的條件，再利用基本不等式快速得到最值;或利用三角函數，最終轉化為三角函數的值域問題.