導數與數列中有關不等式的證明

馬漢陽

[摘要]導數與數列中有關不等式的證明是高考重點考查的內容，也是高考的難點之一.研究此類問題的證明方法，能提高學生的解題能力.

[關鍵詞]導數;數列;不等式;證明

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0012-02

數列是高中數學中的一個重要內容，在高等數學也占有重要的位置.函數與不等式是高中數學培養學生思維能力的重要內容，它們可以體現數學思維中的很多方法，當兩者結合在一起的時候，問題比較難解決.學生在做這類題目時往往無從下手.究其原因，一是綜合運用知識的能力欠佳;二是方法不得當.因此在復習這兩類知識時，一定要注意它們的相互滲透，尋找解決問題的方法.

[例1]（2019年南寧市第二次模擬考）已知函數f（x）=ax²-2xlnx-1（a∈R）.

（1）若時，函數f（x）取得極值，求函數f（x）的單調區間;

（2）證明：.

解析：（1）由已知f'（x）=2ax-2lnx-2，當時，函數f（x）取得極值.

故，所以時，時，.

所以f（x）的單調增區間為，單調減區間為.

（2）當a=1時，.

令g（x）=x-lnx-1，則.當01時，g（x）>0，g（x）的單調減區間為（0，1），單調增區間為（1，+∞），g（x）≥g（1）=0.又f（x）≥0，所以f（x）為增函數.當x>1時，f（x）=x2-2xlnx1>f（1）=0，所以當x>1時.

令，得，

即.

所以.

即，所以.

點評：本題的難點在第二問.解決的關鍵是要利用函數不等式x>1時去構造數列不等式.即令，x取這個值非常關鍵，這要看要證明式子兩邊的結構來設置.

[例2]（2019年南寧市第三中學模擬考）已知函數f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax.

（1）求函數f（x）的極值;

（2）證明：，其中e為自然對數的底數.

解析：，令，解得.由得.由得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為

無極大值.

（2）由（1）知道，當a=1時，f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，故當x>0時，f（x）>f（0）=0.

即.

令，可得，則有

兩邊同時乘以n²ⁿ可得.

點評：找到要用的函數不等式，即要證.

再令，就可以構造出數列不等式，再放縮一次，問題就解決了.

[例3]（2017年新課標卷III理）已知函數

（I）若f（x）≥0，求a的值;

（II）設m為整數，且對于任意正整數n，求m的最小值.

分析：（I）因為函數，且，所以當時恒成立，此時在上單調遞增，所以在（0，1）上，這與矛盾;當時令，解得x=a，所以在（0，a）上單調遞減，在上單調遞增，即，又因為，所以.

（II）由（I）可知當時，即，所以，當且僅當x=0時取等號.所以，所以.一方面，因為，所以

因為m為整數，且對于任意正整數n.

點評：只要找到要用的函數不等式，再根據式子的結構特征，令，所以，問題就可迎刃而解了.

[例4]（2011年高考浙江卷理22）已知函數.

（1）求f（x）的單調區間和極值;

（2）求證：.

令，令.

故f（x）的單調遞增區間為（-1，2a-1），f（x）的單調遞減區間為（2a-1，∞）.

f（x）的極大值為2aIn2a-2a+1.

（2）要證，

即證，即證

即證.

令，由（1）可知f（x）在（0，+∞）上遞減，故f（x）

即，令，故.

累加得.

故，得證.

點評：找到要用的函數不等式ln（1+x）

再令，構造出數列不等式.

導數與數列中有關不等式的證明是緊密相連且互相滲透的.在復習中，我們一定要注意它們的聯系，它們所涉及的問題往往是靈活應用導數與數列中有關不等式的知識，把這兩者完美地結合在一起.學生要在知識的交匯點學會思考分析，達到知識的融會貫通.同時，提高自己的分析問題和解決問題的能力.