對一道思考題的深度剖析

鄭文俠

[摘要]對蘇教版教材第十二冊第19頁的一道思考題進行深度剖析，由此弄通兩個關鍵點，從而有效解決問題。

[關鍵詞]思考題;鋼材;提出液面

[中圖分類號]G623.5??[文獻標識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0041-01

蘇教版教材第十二冊有一道非常有意思、有深度的思考題：在一個圓柱形儲水桶里，把一段底面半徑為5厘米的圓柱形鋼材全部放入水中，這時水面上升9厘米。把這段鋼材豎著拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求這段鋼材的體積。筆者曾讀過一篇討論這個題目的文章，文中指出如果存在鋼材沒入水中時，水面剛好沒過鋼材的特殊情況（如圖1），問題的解答就會大不同。該文還提出：“上升9厘米的中空環狀液柱的體積，只能按原水位高計算排水體積，也就是水下x厘米（即原水位高）處鋼材拉的體積。結合圖2展開想象，如果液態水變為固態冰，當把鋼材拉出冰面8厘米時，冰下會形成一個圓柱形空洞，這個空洞的底面半徑為5厘米，高為8厘米，這個空洞需要用下降的4厘米的中空環狀液態水來填充，因此，可以求出中空環狀液柱的底面積：3.14x52x8+4=157（平方厘米）。再依據圖1不難計算出水下x厘米處的鋼材的體積是157x9=1413（立方厘米），而題中9厘米的鋼材的體積是3.14x5?2x9=706.5（立方厘米），合起來是1413+706.5=2119.5（立方厘米）?！?/p>

一、提出疑問

經過反復思考，筆者發現這樣的想法存在偏差。題中描述的信息“把這段鋼材豎著拉出水面8厘米”，這個8厘米其實已是將水面下降的高度抵消后的高度，并不代表鋼材向上移動的距離為8厘米。由于往上拉起鋼材后，水面隨之下降了4厘米，根據相對運動原理，其實鋼材的實際移動距離只有4厘米。遵循上述思路，按照假設水體結冰的算法，可求出中空環狀液柱的底面積：3.14x52x4÷4=78.5（平方厘米）。再依據圖1不難求出水下x厘米處鋼材的體積是78.5x9=706.5（立方厘米），而第一步操作中，9厘米的鋼材的體積是3.14x52x9=706.5（立方厘米），加起來就是706.5x2=1413（立方厘米）。

二、教師教學用書上的解法

教師教學用書上提供的權威解答是：因為拉出水面8厘米的鋼材體積等于沉落環狀液柱的體積，據此可以推算出圓柱形儲水桶的底面積是3.14x52x8÷4=157（平方厘米），而上升9厘米的液柱體積剛好等于鋼材的體積，然后推算出鋼材的體積：157x9=1413（立方厘米）。

教師教學用書提供的這種解法，實際上是默認了鋼材的高度小于或等于原水位高的情況，自動排除了鋼材的高度大于原水位高的情況。其實，只要鋼材的高度大于原水位高，那么鋼材投入水中，水面上升的形狀就不可能完全是容器的形狀，而必須去掉鋼材造成的空心空間。

三、弄通兩個關鍵點

當圓柱形儲水桶的水足以蓋過鋼材時，浸沒鋼材后在鋼材頂部還有一段明顯水位，“上升9厘米的液柱體積等于鋼柱的體積”這一點很容易講得通，因為此時水面完全沿著圓柱形儲水桶的內部形狀上升。但是如果鋼材浸沒后的水面剛好與鋼材頂面齊平（如圖3），那么上述結材論就不再適用。

因為此時圓柱形儲水桶內水位上升9厘米的過程中，水柱的靜態形狀是一段中空的環狀液柱，外加一段實心的桶狀液柱（即圖3中標記的“c”部分），如果繼續牽強地解釋“上升9厘米的液柱體積等于鋼材的體積”，那么學生一定會誤解題意。觀察圖3可知，兩段的體積和等于鋼材的體積，而“a=c”，所以“b+c=a+c”，換言之，“鋼材的體積=圓柱形儲水桶9厘米高的純液柱的體積”。

到這里，問題只解決了一半，后一步的操作“拉出水面8厘米的鋼材的體積等于沉落液柱的體積”才是重中之重，這也是理解難度最大的。觀察圖4，下降的4厘米分明是一段環狀液柱，似乎不可能與拉出水面8厘米的鋼柱的體積相等，因為“a+b”這兩段體積之和是8厘米鋼柱的體積，而“a+c”這兩段體積和是與圓柱形儲水桶同體的4厘米的純液柱體積，因為“b=c”，所以“a+b=a+c”，也就是說“拉出水面的8厘米鋼材的體積=與圓柱形儲水桶同體的4厘米的純液柱體積”。

突破了上述兩個難點，才能順理成章地求出鋼材的體積：3.14x52x8÷4=157（平方厘米），157x9=1413（立方厘米）。