由乘法估值想到的“二維交叉數軸法”

曾有玲

[摘要]數形結合是一種研究數學問題、推動數學科學不斷進步的重要思想方法。很多時候，運用數形結合的思想可以解決許多用常規方法難以解決的難題，突破思維局限性。

[關鍵詞]數形結合;乘法估值;數軸法

[中圖分類號]G623.5??[文獻標識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0038-02

歷史上曾經出現過一類計算工具——計算尺，它能夠幫助人們進行基本的數學運算。隨著計算機的興起，計算尺退出了歷史舞臺，不過其運算原理卻保留下來，并得到傳承和發揚。“二維交叉數軸平面”的構想與計算尺如出一轍，都是通過線條的錯位移動來刻畫計算結果。

一、問題的由來

“兩位數相乘的估算”是人教版教材三年級的一個內容，筆者曾聽過這一內容的示范課。聽課過程中，筆者發現學生對于“42x29的積為1200左右”這一表述不求甚解，沒有細細咀嚼，教師也是一語帶過?！白蟆笔鞘裁匆馑迹俊坝摇庇譃楹我?？最后的“左右”到底指什么？

聽課時，筆者突發奇想：能否借用數軸上的點來刻畫精確值和近似值？以42x29為例，筆者將三種估值方案——縮小估計（取兩個因數的最高位，低位全部省略，即40x20=800）、居中估計（兩個因數全部“四舍五入”，即40x30=1200）、擴大估計（將兩個因數全部用“進一法”估值，即50x30=1500）的結果，分別在數軸上用對應的點表示（如圖1）。不難發現，精確值在800?1500這個范圍內。筆者將精確值求出，也在數軸上標出相應的點。顯然，這道算式的精確值1218比近似值1200大一些，反映到數軸上就在精確值點的“右側”（如圖1），因此稱之為“右”。

在配套的課后練習中也出現了數軸形式的計算，不難發現，一些精確值比居中估值要小一些，在居中估值的左邊，因此描述為“左”。鑒于算式的靈活性，以及居中估值的模糊性，再考慮到學生的理解能力，我們形象地描述為“左右”。于是，借助數軸的直觀，通過對比數值大小與點的位置關系，學生深刻認識了“左右”的內涵。

二、形式的拓展和演變

居中估值和精確值相比有一定出入，統稱為“左右”是權宜之計，那么有沒有更科學的辦法，在拋開精確值的前提下，預測出估值比精確值偏大還是偏小呢？筆者把目光鎖定在數軸上，仍然采用數形結合的辦法去探索。不過，這次筆者增加了一條數軸，用平行數軸上的兩點來刻畫兩個因數，用連接代表兩個因數的點形成的線段表示乘積，即三種估值都用連線刻畫。筆者將其命名為“幾何乘積法”。仍以42X29為例，如圖2所示。

從圖2來看，42x29的幾何乘積線段MN，夾在縮小估值40x20對應的幾何乘積線段AB與擴大估值50x30對應的幾何乘積線段CD以及兩條數軸圍成的封閉區間內，形象揭示了精確值“比縮小估值大、比擴大估值小”的道理，并直觀地展示出，精確值線段MN與居中估值40x30的幾何乘積線段BD相交于點P。

三、邏輯上的推定

現在要厘清的是，精確值到底是居左還是居右？通過計算與估算，以及對一條數軸的直觀理解，我們業已確證42x29的精確值在居中估值結果的“右側”，再來觀察這幅“二維交叉數軸”。交點P在封閉空間的上方，如果再植入一條輔助線作為與上下軸平行的中軸（如圖3），就能更加精準地鎖定交點P在中軸上方。這就可以理解為：精確值在居中估值的“右側”。那這是不是就意味著，居中估值與精確值的交點在中軸之上，就是“居右”，反之就是“居左”了呢？

轉念一想，如果把兩個乘數42和29調換順序呢？居中估值線段BD與精確值線段MN的交點P不就轉移到中軸下方去了嗎？因此，和42x29一樣，必須添加限制條件：上面的數軸只能刻畫進行“五入”的因數，姑且稱為“五入線”，下面的數軸只能刻畫進行“四舍”的因數，姑且稱為“四舍線”。為了證實這一“創造”具有科學性以及“二維交叉數軸法”的合理性，筆者進行了舉證，情況如圖4所示。

以上都是兩位數相乘，相信異位數相乘也是如此，只是線段的傾斜率程度更大。這時又迎來了新問題：如果兩個因數都進行“四舍”或者“五入”取近似值，該如何處理？通過對標準式和估值算式的對比觀察，我們可以下定結論，如果兩個因數均是“四舍”取值，估算結果要比精確結果小，必定在精確值的左邊;反之，如果兩個因數均為“五入”取值，估算結果一定都在精確值的右邊。

四、新方法的局限性

筆者驚奇地發現，“二維交叉數軸法”對于乘法估算中的“居左”還是“居右”是一套行之有效的辦法！筆者繼續順著這個思路思考：1.有沒有反例呢？2.是否存在這樣的算式，它的居中估值與精確值的交點正好落在中軸線上？后來筆者嘗試將第二個問題用反證法解決：根據對稱原理與三角形全等原理，如若近似值與精確值的交點正好落在中軸線上，那么估計值就等于精確值，此時兩個因數之和正好是整十或整百數。然而事實令人大跌眼鏡——兩個值只是很接近。比如以下兩組：①48x52=2496——50x50=2500（估大了）;②42x58=2436——40x60=2400（估小了）?？梢?，“二維交叉數軸法”只能解釋一般現象，遇到一些特殊情況時則會失效，需要分開討論。

雖說筆者的探索發現似乎沒有多大價值，但這體現了數學的“網絡式關聯”，反映了數學趣味所在，讓人體驗到數學也可以這么好玩。而在好玩的背后，折射出的是數學學科的嚴謹性和邏輯性。