光學元件表面離子束拋光過程邊緣效應抑制

李曉靜，王大森，王剛，張旭，張寧，裴寧，聶鳳明，齊子誠

（1.中國兵器科學研究院寧波分院，浙江 寧波 315103；2.成都精密光學工程研究中心，成都 610041；3.長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

現代光學系統（如強激光系統、光刻系統、空間光學系統）的發展對光學元件表面質量提出了更高的要求。離子束拋光（IBF, Ion Beam Figuring）是一種高精度、確定性的無接觸式光學表面加工技術，在現代超精密光學元件的加工過程中發揮著重要作用[1]。對光學元件表面加工殘差的確定性修正，能使加工精度達到納米數量級[2]。相對于傳統拋光方法，離子束拋光技術具有下述特點[3-4]：加工精度高，確定性好，為非接觸式加工。

離子束拋光基于物理濺射效應，去除光學元件表面材料。在離子束拋光加工過程中，離子束由計算機控制，沿著設定的路徑拋光光學元件表面，通過控制離子束在不同駐留點駐留的特定時間，實現對元件表面誤差的確定性去除，改善元件表面面形。因此，駐留時間的精確求解是離子束拋光的關鍵步驟，直接關系著元件最終的加工精度[5]。

離子束拋光技術的關鍵步驟是根據去除函數和期望材料去除量求解駐留時間函數，計算得到的駐留時間的精度直接影響拋光加工過程中光學元件面形的精度和收斂率。駐留時間求解方法主要有線性方程組法[6-8]、迭代法[9]、傅里葉變換法[10]和代數法[11]，其中，文獻[12]提出了一種新型的拼接算法計算駐留時間。

脈沖迭代法、傅里葉變換法、數值迭代法和矩陣求解法等是常見的駐留時間求解方法[13]。其中脈沖迭代方法存在計算發散的問題；傅里葉變換法需多次調整參數來實現駐留時間解的非負；數值迭代法計算效率較低，因為有時會發生振蕩而不能收斂，使用率較低；矩陣方程法是將求解駐留時間的解卷積過程轉換為對線性矩陣方程求解，使計算過程大幅簡化[14]。

在使用線性方程組模型求解駐留時間時，通常會對誤差面形和駐留時間采用相同的網格劃分，但這樣的網格劃分會引起邊緣效應的產生。為此，本文研究了使用截斷奇異值方法求解線性方程組模型的過程，分析了使用相同網格劃分產生邊緣效應的原因，并采用駐留時間網格延拓的方法抑制了邊緣效應的產生。

1 使用TSVD方法求解線性方程組模型

1.1 采用線性方程組模型進行駐留時間函數求解

離子束拋光技術是一種由計算機控制光學元件表面的成形技術（Computer Controlled Optical Surface, CCOS）。根據CCOS原理，離子束拋光過程中的材料去除量可以由公式（1）表示[15]。

式中：E(x,y)是離子束拋光加工過程中元件表面的材料去除量，T(x,y)是離子束在光學元件表面的駐留時間函數，R(x,y)是去除函數[16]。在拋光過程中，材料期望去除量Ed(x,y)根據待加工光學元件的測量面形和期望面形相減來獲得，去除函數一般在拋光加工之前確定。

在數控系統的精確控制下，離子束按照設定的光柵掃描路徑及計算的駐留時間，掃描光學元件表面所有的采樣點，離子束對光學元件表面某采樣點的總的材料去除量如式（2）所示。

式中：i=1,2,···,ns,ns是采樣點總數，j=1,2,···,nd,nd是駐留點總數。Eai是離子束對光學元件表面采樣點（xsi,ysi）總的材料去除量，r(xsi-xdj,ysi-ydj)為離子束停留在駐留點（xdj,ydj）時，對采樣點（xsi,ysi）的材料去除率（圖1），tj是離子束在駐留點（xdj,ydj）的停留時間。

令r(xsi-xdj,ysi-ydj)=rij，則式（1）可以改寫成式（3）。令式（3）的左側為期望材料去除量Ed，將求解駐留時間的解卷積操作轉換為對線性方程組的求解[17]。

1.2 使用TSVD方法求解線性方程組模型

本研究采用截斷奇異值分解（Truncated Singular Values Decomposition, TSVD）正則化方法來求解線性方程組的近似解，并將其作為駐留時間函數。因為上述用于求解駐留時間函數的線性方程組公式（3）通常是個病態方程，不易得到唯一的精確解，所以在求解離子束拋光的駐留時間函數時，使用的線性方程組模型多數求取近似解，而不是精確求解。

對矩陣R進行奇異值分解：

式（5）是使線性方程組的殘差最小的解[1]。

矩陣R的奇異值σi會隨著i值的增大而逐漸減小，最終趨近于0，式（5）中駐留時間t1的數值變化很大，無法作為駐留時間函數用于實際的離子束拋光。

為了降低小奇異值對駐留時間幅值的影響，將使用TSVD正則化算法求得的線性方程組的解作為駐留時間，方程組的TSVD解tk為[18]：

式中：正則化參數k稱為截斷參數，其控制著σi中的小奇異值對解tk的影響。

由TSVD算法求解得到的駐留時間并不總是非負解，在駐留時間解出現負值時，采用將駐留時間整體偏移的方法，保證駐留時間函數的非負性，因此最終的駐留時間t為：

式中：tkmin表示tk中的最小值。

2 TSVD算法中邊緣效應的抑制

當元件誤差面形和離子束駐留時間采用相同的網格劃分時，采用TSVD方法求解線性方程組得到的駐留時間，在模擬計算仿真結果中就會出現邊緣效應。這是由于式（7）中在求解駐留時間時出現了負值，為保證駐留時間的非負性，采用了將駐留時間整體偏移的方法，產生偏移，所有的駐留點上額外駐留相同的時間，導致在光學元件表面產生一層不均勻的材料去除。

當面形采樣點和離子束駐留點采用相同的網格劃分，在所有的駐留點上加工時間相同時，根據離子束拋光的材料去除函數（公式1）將駐留時間和去除函數進行卷積運算，材料去除量計算結果如圖2a所示。當離子束在所有的駐留點上駐留相同的時間時，材料去除量在光學元件邊緣部分的分布明顯低于中間部分。因為元件邊緣部分的采樣點有去除作用的駐留點的數量要低于光學元件的中間部分。

本研究將擴大駐留點網格的范圍，使對元件邊緣部分的采樣點有去除作用的駐留點的數量與元件中間部分的相同，從而避免上述問題的產生。向外進行延拓駐留點的網格范圍，延拓的距離大于所使用的離子束的半徑（圖3），材料去除量的計算結果如圖2b所示。為易于分析，將圖中光學元件面形的采樣點范圍內的數據向上進行了整體平移。由結果可知，駐留時間的網格進行了邊緣延拓后，在所有的駐留點上停留相同的時間，對元件面形所在區域可以實現均勻的材料去除。

3 仿真實驗

根據離子束拋光過程中的材料去除量公式（式1），按上述網格的劃分建立線性方程組模型，通過TSVD方法計算駐留時間后，對求得的駐留時間和去除函數進行卷積運算，獲得預計的材料去除量。再將元件的測量面形和預計的材料去除量面形相減，即可得到殘留面形。

3.1 誤差面形和去除函數

選用直徑為50 mm（取有效孔徑90%）的熔融石英光學元件，其面形PV值為104.489 nm，RMS值為28.009 nm。使用間距為1 mm、行列數為46×45的采樣點網格（圖4a），對光學元件表面誤差進行均勻采樣，用測量面形減去面形中的最小測量值作為期望的材料去除量，計算得到的期望材料去除量面形如圖4b所示。

在離子束拋光過程中，始終保持離子束垂直入射光學元件表面，故模擬仿真時使用的去除函數的形狀是回轉對稱的高斯型。采用與實際加工時相同的去除函數，參數為：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全寬10.52 mm（圖4c）。

3.2 駐留時間采用和誤差面形同樣的網格劃分

建立線性方程組模型，使用TSVD方法求解線性方程組。仿真時截斷參數k為80，圖5是仿真得到的駐留時間面形和殘留面形。仿真結果表明，當駐留時間采用和面形誤差同樣的網格劃分時，殘留面形不收斂，且發生嚴重的邊緣效應。

3.3 駐留時間網格進行延拓

駐留時間網格在誤差面形網格劃分的基礎上進行延拓，延拓后的駐留時間網格劃分如圖6所示。建立線性方程組模型，使用TSVD方法求解線性方程組。仿真過程選取截斷參數k為80，圖7是仿真加工得到的駐留時間面形和殘留面形。仿真結果表明，元件的面形PV值由初始的104.489 nm下降到11.675 nm，RMS值由28.009 nm收斂到1.572 nm，且沒有邊緣效應產生。

3.4 離子束拋光實驗

為進一步證明模擬結果的有效性，針對平面融石英光學元件開展了離子束拋光實驗研究，見圖8。使用的實驗參數為駐留時間與其他工藝參數的優化組合。實驗采用射頻離子源RF40，離子束直徑d為8 mm，實驗過程中設定最優延拓距離大于4 mm，去除函數參數為：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全寬10.52 mm。融石英光學元件經過表面清潔處理后，夾持在夾具上放入真空腔室，待離子源離子束束流穩定后，進行離子束拋光。實驗選取部分檢測結果，如圖9所示，拋光前后，PV值由102 nm降為37 nm，RMS由23 nm降為2 nm。

4 結論

駐留時間的精確求解是離子束拋光過程中的關鍵步驟。本文研究了使用截斷奇異值分解方法求解線性方程組模型，確定駐留時間的過程，當采樣網格和駐留時間網格劃分相同時，會導致邊緣效應的出現。將駐留時間矩陣的網格劃分進行延拓后，克服了邊緣效應的產生。對平面光學元件面形進行仿真加工，殘留面形沒有邊緣效應產生。仿真結果表明，使用駐留時間網格延拓的方法，不僅可以有效抑制邊緣誤差的產生，還可以得到精確的駐留時間解。