多元函數(shù)的極值求法及其應(yīng)用

駱旗

【摘?要】在高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用研究里面，函數(shù)的極值，最大值和最小值時(shí)最常見的，尤其是多元函數(shù)的極值和最值在日常生活中特別是在經(jīng)濟(jì)管理的應(yīng)用上，函數(shù)的極值或最值，發(fā)揮著非常大的作用，比如，在企業(yè)管理中，我們可以利用函數(shù)的極值或最值，為企業(yè)管理層做出怎樣才能利益最大化提供一定的解答參考，也可為許多制造企業(yè)提供如何才能使成本最小化的解答提供重要的參考。不僅僅是企業(yè)，在管理上以及在日常生活中，函數(shù)極值特別是多元函數(shù)的極值都發(fā)揮著巨大大的作用。在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極值的求法，探討多元函數(shù)的極值的在日常生活中的應(yīng)用具有非常的現(xiàn)實(shí)意義，所以，為此展開這個(gè)話題的解釋。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)、多元函數(shù)、極值、最值、經(jīng)濟(jì)管理、企業(yè)管理。

一.多元函數(shù)極值定義：

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，若存在的某個(gè)領(lǐng)域?qū)儆?，使得對于該鄰域?nèi)異于的任何點(diǎn)，都有，（）則稱函數(shù)在點(diǎn)處有最大（小）值，則稱為函數(shù)的最大（?。┲迭c(diǎn)。

類似可定義多元函數(shù)的極值。

顯然多元函數(shù)的極值定義與一元函數(shù)的極值是相類似的，都是對應(yīng)一個(gè)鄰域內(nèi)的一個(gè)極大值和極小值。在定義上，他們有很多相似之處，但是對應(yīng)的，因?yàn)槎鸵辉暮瘮?shù)形式已經(jīng)改變，所以判斷方法和求極值的方法對比一元上有了很多不同的地方。讓我們來看看二元函數(shù)的極值條件：

（必要條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則有。

這個(gè)條件對比一元有相似之處，也就是導(dǎo)數(shù)都需要為0，但是，它不是全導(dǎo)數(shù)，它是兩個(gè)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，這是多元函數(shù)特有的導(dǎo)數(shù)。接下來我們看看第二個(gè)條件：

（充分條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，，，則（1）.當(dāng)時(shí)，具有極值，且當(dāng)時(shí)，為極大值，當(dāng)時(shí)，為極小值;（2）. 當(dāng)時(shí)，不是極值;（3）. 當(dāng)時(shí)，可能為極值，也可能不是極值，需要另外討論。

由上面的必要條件和充分條件，可知多元函數(shù)極值和一元函數(shù)一樣極值，有非常類似的地方，根據(jù)上面的條件，我們可以得出了求二元函數(shù)求極值的方法：

（1）解方程組，，求得實(shí)數(shù)解，由此得出駐點(diǎn);

（2）對于每個(gè)駐點(diǎn)，求出對應(yīng)A，B，C。

（3）根據(jù)的符號判斷是否為極值，是的話，求出二元函數(shù)的極值。

總體來講，多元函數(shù)的極值由一元函數(shù)推廣而致，所以定義上有許多相似之處，但是多元函數(shù)的極值判斷，對比一元復(fù)雜很多，方法也不同了。

二.多元函數(shù)的條件極值

在多元函數(shù)的極值問題中，當(dāng)自變量各自獨(dú)立且不受任何限制時(shí)，通常稱這種極值為無

條件極值. 然而在實(shí)際生活中，我們所遇到的許多關(guān)于極值或最值問題，往往對自變量都有一定的條件來進(jìn)行約束，我們將這種自變量帶有約束條件的極值問題稱為條件極值。

比如，在半徑為r的圓的所有內(nèi)接三角形中，求面積A為最大的三角形。我們設(shè)表示內(nèi)接三角形各邊所對應(yīng)的圓心角，則所給問題就轉(zhuǎn)化為求三元目標(biāo)函數(shù)，在滿足約束條件下的極值問題，也就是所謂的條件極值問題。

求解條件極值，最直接的想法就是將其轉(zhuǎn)化為無條件極值來處理。比如，對于上述條件極值問題，我們可將約束條件表示為，然后，將其代入目標(biāo)函數(shù)中，得到 ，再求此二元目標(biāo)函數(shù)在有界閉區(qū)域上最大值。

然而，只有當(dāng)約束條件可以表示為顯函數(shù)形式的條件極值問題，才可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題來求解，但是在實(shí)際應(yīng)用中，許多情況是約束條件為隱函數(shù)的形式，通常我們很難將其表示為顯函數(shù)，因此，我們有必要尋求更為有效的求解條件極值的方法，這就是拉格朗日乘數(shù)法它是解決多元函數(shù)條件極值的一種常用解法。

以二元函數(shù)為例，設(shè)函數(shù)及在所考慮的區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且不同時(shí)為零，那么，求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值. 具體步驟如下：

第1步 構(gòu)造函數(shù)，稱為拉格朗日函數(shù)，其中稱為拉格朗日乘數(shù)。

第2步 建立聯(lián)立方程組

解出，則就是所求條件極值的可能極值點(diǎn).

第3步 由實(shí)際問題本身的性質(zhì)，判定點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值.

注1：.拉格朗日乘數(shù)法對于多元目標(biāo)函數(shù)，以及約束條件是多個(gè)的情形也適用，但約束條件的個(gè)數(shù)要小于目標(biāo)函數(shù)中自變量的個(gè)數(shù);

注2：當(dāng)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)時(shí)，其中不一定是

目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式，有時(shí)，為了運(yùn)算簡便，可以適當(dāng)簡化，只要簡化后的函數(shù)與原來的目標(biāo)函數(shù)有相同的極值點(diǎn)與極值即可 .例如目標(biāo)函數(shù)為而約束條件為，條件極值問題，拉格朗日函數(shù)可簡化為.

注3：拉格朗日乘數(shù)前面的“+”號，也可以寫成“-”號，此時(shí)的值只差一個(gè)正負(fù)號，并不影響極值的取得.

三.多元函數(shù)極值的應(yīng)用

既然現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了多元函數(shù)的極值的含義及其求法了，那么，多元函數(shù)的極值又有什么用呢。在經(jīng)濟(jì)，工作與日常生活上，函數(shù)的極值非常常見，只是我們不常留意。例如企業(yè)的庫存管理問題。有庫存，就會有庫存的管理，庫存并不是越多越好，期間有非常多的費(fèi)用要考慮。舉個(gè)例子：“許多企業(yè)為完成他們的生產(chǎn)任務(wù)，就需要訂購一定量的原材料。然而，在某些條件下的總需求，購買的數(shù)量越少，意味著更大的采購量，也意味著少的購買價(jià)格。在這個(gè)時(shí)候保管費(fèi)用就會相應(yīng)地增加。與之相反，購買費(fèi)用越大，保管費(fèi)用越小。所以就產(chǎn)生了這樣一個(gè)企業(yè)怎樣進(jìn)行確定自己訂購批量從而使總費(fèi)用最少的問題

在這個(gè)時(shí)候，就涉及到了函數(shù)的極值問題，要實(shí)現(xiàn)制造企業(yè)和銷售企業(yè)利潤的最大化，首先就要用極值去解決庫存的問題。每個(gè)企業(yè)的最大的目的就是要賺更多的錢，但想要賺更多的錢就要有一定的數(shù)學(xué)知識，賺錢的方法有很多，作為企業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)者，你需要從這么多方法中找出最優(yōu)的，利益最大的，這就是最優(yōu)量問題?！坝泻芏嗟慕?jīng)濟(jì)學(xué)問題，例如尋求最佳的量的問題。比方說，最大的生產(chǎn)量、最大的利潤收益、最小成本、最大純利潤等一系問題，這些我們可以進(jìn)行很好地運(yùn)用學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的有關(guān)求極值的方法研究加以分析解決。具體可以應(yīng)用到一些多元函數(shù)極值的極值的方法的一元函數(shù)極值的求解。

由于篇幅所限，在此，就不舉例說明了?！?/p>

結(jié)術(shù)語：

多元函數(shù)的極值問題是各種領(lǐng)域上非常常見的問題，雖然常見，但是非常重要。極值問題在許多領(lǐng)域上應(yīng)用非常廣泛，其中最突出的就是經(jīng)濟(jì)上的問題。在商業(yè)領(lǐng)域上，學(xué)會熟練靈活掌握極值問題的解決能力是非常重要的。極值問題，無處不在。

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[4]《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》 同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編，同濟(jì)大學(xué)出版社

（作者單位：廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）