矩陣乘法交換律的幾點注記

張文兵

摘? 要：矩陣是線性代數的核心內容之一，是線性代數后續學習的基礎。同時矩陣在工程上也有著重要應用。在矩陣教學中，矩陣的四則運算是第一個有關矩陣運算的知識，而矩陣四則運算中，又數矩陣乘法最為抽象。本文首先從幾個簡單例子出發來闡述矩陣乘法滿足交換律的必要條件。隨后通過幾個關于正定矩陣乘積的例題來說明矩陣乘法交換律的重要應用，從而加深初學者對于矩陣乘法交換律的理解。

關鍵詞：矩陣? 乘法交換律? 線性代數? 正定矩陣。

中圖分類號：O151? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）09（b）-0164-03

Abstract： Matrix is one of the core contents of linear algebra and the foundation of the subsequent study of linear algebra. At the same time， matrix also has important applications in engineering. In the matrix teaching， the four operations of the matrix are the first knowledge about the matrix operation， and in the four operations of the matrix， the multiplication of the number matrix is the most abstract. First， some simple examples are given to show the necessary condition of matrix multiplication. Then， we present some examples on positive matrix to show that the matrix multiplication is very important and has widely applications， so as to deepen the beginners understanding of commutative law of matrix multiplication.

Key Words： Matrix; Multiplication commutation law; Linear algebra; Positive definite matrix

在線性代數中，矩陣是最重要同時也是最基礎的一塊內容，學好矩陣關系到能否學好線性代數這門課程。矩陣貫徹于整個線性代數的學習中。矩陣是線性方程組求解、行列式計算以及二次型等重要知識的基礎[1-3]。同時矩陣在很多實際工程系統當中也有著重要的應用。矩陣的四則運算是矩陣中最基本的內容，因此，學好矩陣的四則運算就非常重要。而矩陣的四則運算中，乘法運算最為抽象。本文通過分析幾類關于矩陣乘法的易錯題型。從而讓學生對矩陣的乘法運算有更加深刻的認識，為后續學習打好堅實的基礎。

定義1[4]：矩陣乘法：設矩陣，矩陣的乘積定義為：

注1：在矩陣乘法運算當中，第一個矩陣的列等于第二個矩陣的行是兩個矩陣可以做乘法運算的基本條件。因此在以后的學習中當提到矩陣乘法時都默認這個條件成立。

1? 主要結果

首先，回顧一下矩陣乘法的一些基本性質。

性質1[4]：A、B、C為合適維數的矩陣，k為常數，則下列性質成立：

因此，矩陣的乘法運算滿足結合律和分配律。現在驗證矩陣的乘法是否滿足交換律。

注2：從上述三例很容易知道矩陣的乘法滿足交換律的一個重要前提是兩個矩陣是同階方陣。這很容易理解，然而在實際運算中，很多初學者很容易忽略矩陣乘法交換律在某些關于矩陣多項式運算中的作用。究其原因主要是大部分初學者關于多項式的乘法的一些性質已經熟記于心，很容易想當然地以為矩陣乘法也滿足相應性質。接下來，筆者將通過幾個重要的例子來說明矩陣乘法交換律的重要性。

分析：造成上述錯誤的主要原因就是想當然地認為矩陣的乘法和多項式乘法一樣滿足交換律，然而在矩陣乘法當中，即使兩個矩陣是同階方陣也不一定滿足乘法交換律。由A、B的定義可以很容易得到，

例5：設A、B為同階正定矩陣，則也為正定矩陣。試說明上述結論是否成立？

錯解：結論成立，理由如下：

證明：由A、B都是正定矩陣，那么很顯然的特征值都大于0，從而的所有特征值也大于0，那么 正定。

分析：上述證明看似正確，然而忽略了一個很重要的事實就是一個矩陣是正定矩陣的前提條件是這個矩陣必須是對稱的。比如令

顯然A、B都是正定矩陣。然而，通過計算可知：

通過計算可知的兩個特征值為0.3348和0.7452都大于0，然而由于不是對稱矩陣，所以不是正定矩陣。因此，將上述命題修改為設A、B為同階正定矩陣，且，則也為正定矩陣。結論成立。

設對稱矩陣表示為正定（半正定）矩陣，試判斷下面結論是否成立。

由上述幾例可以看出，矩陣的乘法運算不同于多項式的乘法，很多多項式乘法中的性質在矩陣乘法中都不成立，而其中起著關鍵作用的就是矩陣的乘法是否滿足交換律。因此，在以后的學習中當涉及到矩陣乘法運算時，一定要認真檢查是否滿足交換律，不能想當然地給出結論，否則很容易得出錯誤的結果。

2? 結語

本文從幾個初學者容易算錯的例子出發，詳細分析了矩陣乘法滿足交換律的前提條件，隨后分析了矩陣乘法交換律在矩陣不等式中的重要應用。從而加深讀者對矩陣乘法交換律所滿足的條件的認識。

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