關于完備格等價定義的學習研究

劉維娜

中央民族大學，北京 100081

0 引言

格是隨著經典邏輯的代數化與泛代數的發展而引進的一個新的代數系統。近年來，偏序集與格的理論在組合數學、Fuzzy數學、理論計算機科學，甚至社會科學中都得到了廣泛的應用，極大地推動了該學科自身的發展，也使之成為數學和理論計算機科學中的重要研究對象[4]。

作為格的特殊實例，完備格出現于數學和計算機科學的很多應用中，在次序論和泛代數中也都有所研究。

1 預備知識

定義2.1 設P是一集合，≤是P上的二元關系，如果對?x，y，z∈P，有：

1）x≤x（自反性）

2）x≤y，y≤x ?x≤y（反對稱性）

3）x≤y，y≤z?x≤z（傳遞性）

則稱≤為P上的一個偏序（關系），一個集合P及其上的偏序≤形成的有序二元組（P，≤）稱為偏序集。

在不至混淆的情況下，對（P；≤）可簡記為P。

定義2.2 設（P，≤）是偏序集，X ?P，a ∈P。

1）若?x ∈X，x ≤（aa ≤x），則稱a為A的一個上界（下界）；

2）若?x ∈P，x ≤a（a ≤x），則a稱為P的最大元（最小元）；

3）若 ?x ∈P，a ≤x ?x = a（x ≤a ?x=a），則稱 a是 P中的一個極大元（極小元）；

4）若a是A的全體上界（下界）的集合中的最小元（最大元），則稱a為A的上確界（下確界）；A的上確界記為supA，A的下確界記為infA。

定義2.3 設（P，≤）是偏序集，S是P的非空子集。

1）若S中任意兩個元在S中都有上界，則稱S是定向的，或稱為P的定向子集；

2）若S中任意兩個元在S中都有下界，則稱S是余定向的，或稱為P的余定向子集.

定義2.4 設（P，≤）是偏序集，若P任意有上界子集均有上確界，那么稱偏序集（P，≤）是有界完備的。

顯然，有界完備偏序集是有最小元0的，即是空集的最小上界。

定義2.5 設（P，≤）是偏序集，若P關于有限并封閉，即P的任意有限子集均有上確界，則稱偏序集（P，≤）為上半格；若P關于有限交封閉，即P的任意有限子集均有下確界，則稱偏序集（P，≤）為下半格。

定義2.6 設（P，≤）是偏序集，若P關于有限并與有限交均封閉，則稱偏序集（P，≤）為格。

下面介紹一下對偶原理。給定一個偏序集（P，≤），我們可以通過定義x≤y（在P中）?y ≤x（在P?中）生成一個新的偏序集（P?，≤）。給定一個關于偏序集（P，≤）的命題Φ，我們可以通過改變偏序的方向，得到對偶命題Φ?。

定理2.7（ 對偶原理）給定一個命題Φ，如果關于所有偏序集均成立，那么其對偶命題Φ?亦成立。

2 完備格

定義3.1 設（P，≤）是偏序集，若P關于任意并封閉，即P的任意子集均有上確界，則稱偏序集（P，≤）為完備∨半格；若P關于任意交封閉，即P的任意子集均有下確界，則稱偏序集（P，≤）為完備∨半格。

定義3.2 設（P，≤）是偏序集，若P關于任意并與任意交均封閉，則稱（P，≤）是完備格。

例3.3

1）有限格是完備格。

2）由集合X的冪集及集合的包含關系構成的偏序集是一個完備格。

引理3.4 設（P，≤）是偏序集，則（P，≤）是完備∨半格當且僅當（P，≤）是完備∨半格.

證明：設偏序集（P，≤）是完備∧半格，對于S ?P，記T為S的全體上界之集，并記a=∧T。因為?s ∈S，s是T的下界，于是s≤a，從而a是S的上界。但是a =∧T，即a是S的最小上界，所以a =∨S.這就證明了偏序集（P，≤）是完備∨半格。

由對偶原理易知，若偏序集（P，≤）是完備∨半格，則它必是完備∧半格。

推論3.5 完備∨半格或完備∧半格必是完備格。

證明：可由引理2.2的直接推出。

思考3.6 對一個偏序集（ P，≤），如果其任意非空子集均有下確界，那么只需添加一個單位元1（1?P, 且對?x ∈P，有 x ≤1），得到P'=P∪{1}，那么（P'，≤）即是一個完備格。

定理3.7 設（P，≤）是有界完備偏序集，且有最大元1，則P是一個完備格。

證明一：偏序集P是有界完備的，則P有最小元，又P有最大元，故P的任意子集均有上下界。?≠A ?P，那么對A的下界B，最小元0∈B，A中任一元素均是B的上界，故B有最小上界，亦是A的最大下界-下確界，即P的任意非空子集有下確界，由思考2.6可知，最大元1存在，可推出P是完備格。

證明二：對?A ?P，最大元1是A一個上界，又P是有界完備的，故A有上確界，即P是完備∨半格，由推論2.5知P是完備格。

顯然，如果偏序集（P，≤）是一個完備格，則必是有界完備的，且有最大元和最小元，所以事實上這是一個等價定理。

定理3.8 設（P，≤）是偏序集，則（P，≤）是完備格當且僅當（P，≤）是有最大元1的下半格，且P的任意余定向子集均有下確界。

證明：對P的任意子集X，若X是空集，則inf X=inf?=1。若X是非空集合，由P是下半格可知，X的任意有限子集A有下確界。令D是所有這些下確界的集合，則X的下界是A的下界（P是下半格，則P是一個余定向子集，從而存在下確界，于是P的任意子集均有下界），故也是D的下界。又因為單點集{*}的下確界是*，所以X ?D，故D的下界亦是X的下界.于是X與D有相同的下界集。下面證明D的下確界存在.?a, b ∈D, a = inf A,b = inf B , A,B是X的有限子集。令c = inf（A∪B），則 c ∈D,且c ≤a, c ≤b.故D是余定向的，從而D有下確界，于是X的下確界亦存在，inf X = inf D.于是我們得到P的任意子集均存在下確界，是完備∧半格，由推論2.5知P是完備格。

反之，顯然成立。

[1]G.Gierz，K.H.Hofmann，K.Keimel，J.D.Lawson，M.Mislove，D.S.Scott，Continuous Lattices and Domains，Cambridge，2002.

[2]B.A.Davey，H.A.Priestly，Introduction to Lattices and Order(second editon)，Cambridge，2002.

[3]G.Brikhoff，Lattice Theory(3rd ed)，American Mathematical Society Colloquium Publications，Vol.25，Providence，R.I，1979.

[4]鄭崇友，樊磊，崔宏斌，FRAME與連續格[M].2版.首都師范大學出版社，2000.