2023年高考數學全國甲卷理科第21題的多解與變式探究

張英杰

【摘要】2023年高考數學全國甲卷理科第21題是三角函數與導數的綜合題，考查三角函數的導數、函數的單調性和恒成立問題.文章從必要性與充分性的討論，利用常見不等式進行放縮和利用均值不等式，取點技巧等三個不同的角度給出解答，并給出試題的變式探究，以期為一線教育工作者提供更多的解題思路和參考.

【關鍵詞】2023年高考；全國甲卷；導數；三角函數；恒成立問題

2023年高考數學全國甲卷第21題，試題以三角函數、多項式函數為背景，構造了所要研究的函數.通過對函數性質的研究，試題全面考查了導數及其應用，這也是中學教學的重點與難點.試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，利用導數就能得到函數的單調性，考查考生通過導數解決實際問題的能力、計算與轉化的能力，體現函數與方程的數學思想在中學教學的應用.試題的第（2）問體現了試題的選拔性，考查了考生化歸與轉化的思想、分類討論的思想以及邏輯推理能力、數學運算能力.

點評 這里給出的解法是利用第（1）問的不等式進行放縮，使問題變得簡單，其實也可以參考真題的解法1，給出類似的解法.

結 語

三角函數與導數的綜合題，是高考數學中導數綜合題的一個難點，而且在最近幾年的高考試題中也經常出現這類試題，這值得引起一線教師的重視.破解三角函數與導數的綜合題的策略主要有：求導、利用單調性；根據泰勒公式得到的常用不等式；利用均值不等式進行放縮；轉化為代數問題處理等.希望一線教師重視對這類試題的研究，并對題型與方法進行歸納，加強學生對這類試題的訓練，從而達到做一道題，會一類的教學效果.

【參考文獻】

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