理論與實踐相結合的大學物理實驗模式
——以惠斯通電橋實驗為例

何曉勇，盧紅霞

（1.上海師范大學數理學院，上海 200234；2.鄭州大學材料科學與工程學院，河南 鄭州 450001）

一、引言

大學物理實驗是高校開設的一門必修基礎課程，但目前其內容大多為驗證性原理實驗，忽視了相應的理論研究分析，從而導致實際操作與理論分析的偏離，也不利于教學質量的提高和實驗課程的改進提高。為了解決這一問題，我們以惠斯通電橋測電阻這一典型的大學物理實驗為例，采用理論分析與實驗相結合的方法對大學物理實驗課程內容和教學方法的提高改進進行了嘗試和探索性研究。惠斯通電橋是英國物理學家惠斯通（C.Wheatstone）在1843年提出的，由橋臂電阻、電源和檢流計等電學元器件組成，通過比較被測電阻與標準電阻得到測量結果[1，2]。惠斯通電橋的原理圖如圖1所示，電橋的四個橋臂由R1、R2、Rx和Rs組成，其中Rx為被測電阻，Rs為高精度標準電阻，R1和R2為比較電阻，BD兩端連接檢流計。所謂的“橋”是指檢流計G所在支路，其作用是將“橋”兩個端點的電位進行直接比較，橋兩端的電位相等時，檢流計中無電流通過，指針為零，BD之間的電勢差為零，電橋達到平衡。惠斯通電橋作為一種直流、單臂、平衡式電橋，可用來測量中高阻值的電阻，其測量范圍一般為10—106歐姆，具有操作簡便、靈敏度和測量精度高等優點[3]。

惠斯通電橋在實際測試技術中也應用很廣，能夠引起電壓變化的效應及有關量都可以通過該方法測量。根據電橋平衡原理構成的電子線路儀器，不僅可以測電阻、電容、電感，還能間接測量一些非電學量，如溫度、壓力、金屬電阻的溫度系數、熱敏電阻的溫度特性函數等[4]。例如，有人采用電橋法測量鋼絲的楊氏模量[5]，其原理是將外加應力作用下鋼絲長度的變化傳遞給平行板電容器，從而導致電容器極板間距和電容的改變，通過電橋間接測量電容的改變，得到鋼絲對應的楊氏模量值。另外，最近惠斯通電橋還被用來檢測波導傳輸能量的改變，圖2為其在混合模式波導結構中進行傳輸能量檢測方面的應用實例[6]。襯底MgF2的熱導率遠小于上面的PMMA介質層，在理想情況下波導傳輸過程中所產生的熱量會大部分進入介質層中，從而引起介質層包覆的Au溫度升高，所升高的溫度可以表示為：

其中αabs為金屬層所引起的表面等離子激元模式吸收，Pin是耦合金屬表面等離子激元波導結構的總能量，αpr是傳播模式的衰減系數，x為傳播長度。如圖2（b）所示，金屬層獲得熱量以后溫度升高，從而導致其電阻值發生改變，金屬層電阻可以表示為：

其中L為金屬層的長度，αth為金屬的熱阻系數。采用外接的惠斯通電橋可以檢測到金屬層電阻的改變，當電橋平衡的情況下，信號電壓可以表示為：

這樣，通過外界的惠斯通電橋測量b點和d點之間的電壓就可以間接檢測到傳播模式的能量變化情況。

圖1 惠斯通電橋的原理示意圖

圖2 惠斯通電橋應用于表面等離子激元波導能量傳輸方面的典型應用實例

（a）混合模式表面等離子激元波導結構示意圖，傳播模通過單模光纖耦合進入混合模式波導結構；（b）混合模式波導結構的截面圖；（c）基于惠斯通電橋結構的能量檢測結構圖，其中PMMA介質層的寬度為1μm，金屬層的寬度為4μm，外加偏壓施加在a和c點，信號電壓通過b點和d點獲得。

二、研究方法

電橋靈敏度是影響測量精度的一個重要因素，一般來講靈敏度越高測量精度也越高。另外在大學物理實驗教學過程中，電橋靈敏度也是物理實驗中使用計量器具最多、分析最困難、結論最復雜的參量之一。因此，研究惠斯通電橋的靈敏度具有很高的理論研究價值和實際應用價值。電橋靈敏度是指在平衡電橋中調節比較臂電阻R1，使之改變一個微小量ΔR1，當指針偏離平衡位置分度時，則電橋靈敏度可以定義為[7]：

由檢流計電流靈敏度的定義可知Δα=SiΔIg，Si為檢流計電流靈敏度，ΔIg為調節臂電阻微小變化ΔR1所導致檢流計的微小偏轉Δα時相對應的不平衡電流。根據基爾霍夫定理經過推導整理，惠斯通電橋的靈敏度可以表示為[8]：

其中U為電源電動勢，Rg為檢流計內阻。由公式（5）可知，電橋靈敏度與電路中各因素有關，如檢流計的靈敏度Si和內阻Rg、電源電壓U、橋臂總電阻、橋臂電阻的搭配（比例臂系數γ，R1/R2）都有關。用電橋法測電阻時，通過提高電橋靈敏度S，可以減小測量誤差。電橋靈敏度與電源電動勢U和檢流計靈敏度Si成正比。電壓越高，靈敏度越高；但電動勢過高會使得流過各橋臂的電流加大，導致電學元件過載使用，限定了電源電壓的值。檢流計靈敏度也不宜過大，太大Si會導致電阻箱不連續調節而使得檢流計不能示零。此外電橋靈敏度還與橋臂電阻值與橋臂電阻比例系數的選取有關。

惠斯通電橋特性的研究對于改進物理實驗教學以及提高實際測量技術的精度有重要意義，探求電橋工作在最大靈敏度的最佳狀態，也是理論研究和各種技術應用中設計電路的關鍵所在。在已有的研究成果中為提高電橋的靈敏度，一般采用內阻低、靈敏度高的檢流計，并適當提高電源的電動勢。但是由公式（5）可知，橋路的靈敏度與橋臂電阻倍率有很大的關系。怎樣選取最佳的倍率才能使得靈敏度達到最大值是一個非常重要的問題，這方面的研究分析還不多見。此外，在自組電橋方法測電阻時，也要首先選取合適的倍率臂電阻，這直接影響檢流計靈敏度和實驗結果的誤差。選取合適的橋臂電阻倍率值提高電橋的靈敏度，這不僅對大學物理實驗中自組電橋測電阻實驗有直接的指導意義，而且對提高電橋儀器設計方法和提高性能也有很好的借鑒作用。因此，很有必要對電阻倍率（γ）對電橋靈敏度的影響展開詳細深入研究。本文采用數值計算的方法對惠斯通電橋靈敏度與各橋臂阻值及比例之間的關系進行了模擬分析，研究了橋路靈敏度與橋臂電阻、橋臂電阻倍率和檢流計內阻的關系，并對怎樣提高靈敏度進行了分析討論。

三、靈敏度的數值模擬分析

如圖3為惠斯通電橋的靈敏度隨橋臂電阻倍率的變化關系，其中R1的取值分別為10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω，標準電阻Rs為1000Ω。由圖3可知，電橋靈敏度隨著電阻倍率的變化出現一個峰值，在等比率倍率，即倍率為1左右時靈敏度最大。另外由公式（5）可知，隨著電阻R1的增加，分母值變大，導致橋路中靈敏度降低，因此在操作過程中為提高靈敏度，應該采用阻值較小的電阻。此外，隨著電阻R1的增加，靈敏度的峰值隨著電阻倍率較小的方向移動。例如，靈敏度峰值的最大位置所導致的峰值分別為4.468×10-4（γ=2.340），3.923×10-4（γ=1.912），2.273 ×10-4（γ=0.9992），1.603 ×10-4（γ=0.7230），5.597×10-5（γ=0.3303），當R1的值分別為100Ω、200Ω、1000Ω、2000Ω和10000Ω。因此，當被測阻值在1000Ω左右時采用等比率電橋較為合適。

圖3 惠斯通電橋的靈敏度隨橋臂電阻倍率變化的規律

其中橋臂電阻R1的值分別為10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。電源電壓為5V，標準電阻Rs為1000Ω。

圖4 惠斯通電橋的靈敏度隨橋路電阻倍率的變化關系

其檢流計的內阻值分別為10Ω、20Ω、50Ω、100Ω、200Ω、300Ω、500Ω和1000Ω，標準電阻Rs為1000Ω，R1的阻值為1000Ω。如圖4為不同內阻下惠斯通電橋靈敏度隨橋臂電阻倍率的變化關系，其中檢流計內阻值分別為10Ω、20Ω、50Ω、100Ω、200Ω、300Ω、500Ω和1000Ω。電源電壓為5V，標準電阻Rs和R1均為1000Ω。由圖4可知，電橋靈敏度隨著倍率的變化出現一個峰值。隨內阻Rg的增加，靈敏度最大值增加。例如，靈敏度峰值的最大位置所導致的峰值分別為2.381×10-4，2.273×10-4，2.083×10-4，1.667×10-4，1.250×10-4，當R1的值分別為50Ω、100Ω、200Ω、500Ω和1000Ω。

如圖5為惠斯通電橋的靈敏度隨檢流計內阻的變化關系，其R1的內阻值分別為10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。電源電壓為5V，標準電阻Rs為1000Ω，Rx的阻值為1000Ω。R1的阻值分別為10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。隨著檢流計內阻的增加，橋路的靈敏度下降。另外，由公式（5）可知，隨著比較臂電阻值的增加，橋路的靈敏度明顯下降。例如，當檢流計內阻為100Ω的情形下，如果比較臂的電阻分別為100Ω、200Ω、1000Ω、2000Ω和10000Ω，則橋路的靈敏度為3.852 ×10-4，3.576 ×10-4，2.275 ×10-4，1.563×10-4，4.465×10-5。因此，在實際測量過程中應采用較小的比率臂電阻。

圖5 惠斯通電橋橋路的靈敏度隨檢流計內阻變化的規律

其R1的內阻值分別為10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。電源電壓為5V，標準電阻Rs為1000Ω，R1的阻值為1000Ω。

四、結語

為了提高大學物理實驗課程的教學效果，本文以惠斯通電橋實驗為例，采用理論分析與物理實驗相結合的方法，對電橋靈敏度進行了模擬研究，并給出了提高電橋靈敏度的方法。研究結果表明：隨著橋臂電阻的減小，電路靈敏度提高；隨著電阻倍率的增加，線路靈敏度出現一個峰值，對應的最佳倍率值隨橋臂電阻值的增加而降低。總之，為獲得較高的電橋靈敏度，我們應該適當采用較小的橋臂電阻值，采用最佳的橋臂電阻倍率（如當被測阻值在1000Ω量級的情況下，最好采用等比率電橋），并且適當提高電源電動勢和檢流計的靈敏度。我們的工作和嘗試教學對于提高大學物理實驗的教學工作和實際測量的準確度都很有幫助。