《機械原理》中引入系統論的教學設計的探討

范 娜，王 群，陸知遙

（電子科技大學，四川 成都 611731）

一、《機械原理》的重要性及其存在的不足

《機械原理》是研究機械共性問題的專業核心基礎課，重在引導學生探究機械系統的本質，這對未來開發新的機械系統至關重要。然而，眾多高校使用的現有教材對機構確定運動的條件并未做本質的闡述，也未給出相應的數學解釋。

二、《機械原理》與系統論之間的關系

《機械原理》是對機械系統的分析、設計以及控制。它本質上是將系統論中的內容具體應用到了機械學科之中。在現代系統論之中，狀態空間向量法是一種重要的研究手段，它是一種基于解答空間的問題表示和求解方法，該方法可以比較全面地反映系統各部分之間的相互聯系，解釋系統運動的規律和機制。

三、用系統論的思想建立機構運動模型

在系統論中，系統的狀態向量指的是確定系統狀態的個數最少的一組變量，在《機械原理》中，我們關心的是構件的空間位置，所以這里的狀態向量指的是確定構件位置的最少向量組，這組獨立參數組的個數就是某一機構的自由度。運動元素的狀態與很多的參數有相互聯系，以一個桿件舉例，其運動狀態與其中點的位置，其與三個坐標軸的夾角，其某一個端點的位置，等等都有關。而根據狀態向量的定義，我們可以根據系統的狀態向量來確定所有與系統狀態有關的變量。下面我們用公式來表達這種確定關系，假設與某一運動元素的狀態S與S1，S2，S3，S4…有關，其中的S1，S2，S3為確定這一運動元素狀態的狀態向量。用數學公式表示就是：

其中

在上式中，f為通過S1，S2，S3來表征S的函數關系式，A為S1，S2，S3來求取S的矩陣。

以一常見構件為例，如圖1桿件AB。

圖1 桿件AB

將平面上的桿件AB視為一個基本運動元素，SAB為桿件AB的狀態，具體而言也就是桿件AB在平面中的位置。根據先修知識與“桿是剛性的”假設，我們可以根據點A在平面上的位置（可取其坐標系中的橫縱坐標，2個參變量，設為XA、YA），點B在平面坐標系中的橫坐標（1個參變量，設為XB），一共3個參變量來完全確定桿件的位置。

舉例來說，桿上點的橫坐標我們可以通過XA，YA，XB來表示：

所以，確定該桿件位置所需的獨立參變量的數目為3，也就是這個桿的自由度為3。

系統的結構方程指的是反映系統結構關系的一組方程組，對于系統的完整的描述稱為系統的結構空間表達式，建立系統的結構空間表達式要根據系統的物理機理建立相應的方程組，并選擇有關的物理量作為狀態向量，從而得到系統的結構空間表達式，并最終完成對系統的分析工作。

基于以上有關系統論的介紹，接下來對機械原理中的機構和概念進行解析。

以四桿機構為例，如圖2的四桿機構。

圖2 四桿機構ABCD

該機構中的基本運動元素為3個固定桿件。這三個基本運動元素的狀態我們用SAB，SBC，SCD來表示，根據上面的公式1.2，我們可以得到如下方程組：

上式中的XAB，XBC，XCD表示各桿件中點的橫坐標，YAB，YBC，YCD表示各桿件點的縱坐標，θAB，θBC，θCD表示各桿件與x軸的夾角。

下面我們要根據系統的物理機理建立結構空間表達式，也就是各個約束的物理意義映射到數學域上的情況。以B點的轉動副為例，轉動副的要求是AB桿上的上端與BC桿上的左端處于同一位置，即

顯然XAB上，YAB上是AB桿運動狀態的一部分，即

同理

根據式1.6式1.9有

合并式（1.9），（1.10）可以得到

等價于

等價于

這樣我們就得到了兩個結構方程，再將其他三個約束寫為同樣的形式，有：

這樣即得到了8個結構方程，但由于共有9個參變量，根據線性代數和系統論，要完全確定每一個未知參數的值，我們就要引入與其相對應的信息，每一個方程描述的是一個信息。上述情況中方程數小于參變量數，也就是說引入的信息量小于未知的信息量，系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且小于未知量數n，方程組存在無窮多解，無法得到參變量的確定值。這也就說明該四桿機構的狀態S并不是確定的，而若使其得到一個確定值，需要再引入一個信息，這就使得方程組系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且等于未知量數n，方程組有唯一解，也就是確定的機構狀態。該方程的引入即為原動件的外部輸入，比如將桿AB視為原動件，在其運動的某一狀態桿AB與x軸垂直，即α=90°。α=90°作為新引入的方程，使整個四桿機構的狀態實現確定。而若使機構的原動件按照給定的運動規律運動時，如α為隨時間改變的量（比如α=3t°），機構的其他構件也會按照一定的規律運動，整個機構的運動便確定下來。