數值計算方法教學新探索

全宇暉

（華南理工大學 計算機科學與工程學院，廣東 廣州 510000）

大學本科計算方法是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程，它既有純數學的高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點。作為一門數學課程，它與其他基礎數學課程又有著本質區別，它不僅研究自身的理論，而且更多地與實際問題相結合，提供真正具有應用價值的理論成果。掌握計算方法的基本理論及其應用對理工科大學生提高專業素養和從事專業研究都具有重要意義。

一、計算方法課程教學中存在的問題

計算方法同時具有較強的理論性和實踐性，如何讓學生在有限的教學課時中有效地學習知識的本質內涵和思想并辯證地加以運用，是該課程教學中需要重點考慮的問題。

1.理論教學。一般計算方法的理論教學大綱和教學內容由教育部統一設定。課程具體講授時，其內容會根據教材選取的不同和教員講課風格的差異而有所側重和不同。學習計算方法課程需要較強的邏輯性、抽象性和較堅實的數學基礎。對于工科學生而言，其數學理論基礎較為薄弱，如果按數學類專業課程教學模式進行理論教學，同學們很容易在學習時產生畏難情緒，從而對這門課程缺乏學習興趣。

2.實踐教學。傳統上計算方法課程把教學重點放在理論的嚴謹性和完整性方面，而淡化了實用性和實驗性的技術特征。這一點為普遍的計算方法課程教學者所認同。對于需要解決實際問題和完成具體工程任務的工科學生而言，僅僅掌握理論層面的知識是不夠的。在教學中需要結合行業特點和學生的具體數學背景，培養學生對數值計算方法在實際工程背景中應用的理解和其解決問題的思維與能力。

二、計算方法教學新方法

針對上述問題，我們在現有的計算方法課程教學內容中引入研究性教學內容，采用基于問題的啟發式問答的交互教學方式，并安排課時適時進行實踐應用，以提升學生的學習興趣和改善教學的質量與效果，教學模式如圖1所示。研究性啟發式教學是教師基于教與學實踐的真實問題，精心設計教學內容，啟發學生在接近真實的研究性情境中通過合作、探究、發現等方法提出、理解和解決問題，因而幫助學生學習方式由淺層（如聽講、記筆記、埋頭苦學而不進行深度反思等方式）向深度學習（如探究、討論、質疑、小組合作、批判、發現等），由被動學習向主動學習轉變的一種教學模式。我們依托精心設計的教學內容、教學過程和科學的考核方式，使學生在解決問題的過程中既能掌握理論和實踐相關知識，又能逐步熟悉和掌握計算思維的相關概念和方法。

1.設計啟發式的研究性教學內容。研究性教學方法采用的一種重要模式是“問題解決模式”，問題是本課程研究性啟發式教學的中心。在計算方法的具體教學中，我們選擇恰當的問題，創建合適的問題情境以激發學生的學習興趣，合理安排知識導入點，并且充分挖掘教材中蘊含的相關研究性問題，拓展學生的知識面，再結合研究性場景實踐教學，培養學生的各項能力。

圖1 基于問題的研究性啟發式計算方法新教學模式

（1）精心安排知識導入點。本課程使用啟發式教學的方式，通過選擇來自實際生活中的例題，再抽象出數學問題，最后使用計算方法求解。將“啟發”貫穿研究性教學過程的各個環節。計算方法課程的教學大綱如表1所示。在具體的教學過程中，我們根據教學各個章節的內容，將相應問題情境呈現在學生面前，啟發學生提出問題和探究解決方案，并由此引出教學知識點。例如，在講解第二章線性方程時，選擇了圖像去模糊作為一個啟發式的引入問題。首先，由實際問題建立對應的數學模型：一幅圖像從清晰退化成模糊圖像的過程，實際上是從一個矩陣通過矩陣乘法變換成到另一個矩陣的數學過程。這個變換過程，通常通過矩陣乘法Ax=b實現，其可以分解成由A的行向量和x進行點乘得到b的等式組成的線性方程組。假設我們已知退化的圖像矩陣b和變換矩陣A，需要求解清晰圖像的矩陣x，這個過程可以實際上就是一個求解線性方程組的過程。

課程中每次講解新類型的算法時，均先由實際問題建立數學模型，然后通過討論分析得到解決該模型的算法及其理論基礎，最后比較評估算法的優缺點并對算法進行提煉和改進。在講解完一類算法后，適時總結，指出這類算法所能解決問題的類型，講清這類算法中各種算法之間的區別和聯系，并盡可能地幫助學生分析如何改進已有的算法。

（2）挖掘教材中蘊含的研究性問題。數值計算方法可以運用到計算機科學的各個研究方向中，也蘊含著許多研究性問題。我們以較為熟悉的圖像處理和分析方向為基礎，有意識地將各種最新的研究方向在課程教學中體現出來。例如，在講解多項式插值的方法之后，引入多項式的不同應用例子，如圖像修補和圖像超分辨率。在課堂教學中，強調學生主動發現問題、參與課堂討論，鼓勵學生在適當的引導中自己得出結論，以提高學生的主觀能動性，也增強自信心；強調學生對課程所學知識舉一反三；通過在教學過程中有意識地引入科學前沿的問題，培養學生的創新意識、實踐動手能力和基礎的科研能力。

表1 計算方法課程教學大綱

（3）實踐教學。在有限的教學課時中，我們專門安排了學時來進行基礎實踐教學和研究性場景實踐教學，便于學生及時學以致用。結合課程教學內容，我們設計相關實踐任務，啟發學生主動思考相應的對策，再跟專家的計算方法進行比較，分析優劣，進而轉入算法的思想、流程和設計的反復教學，剖析所學計算方法解決工程問題的實際效果及適用范圍。實踐教學具體形式以計算機進行上機實驗的形式進行，內容包括MATLAB使用基礎、數值函數實現基礎、線性方程組求解與圖像去模糊任務等。圖2為計算機創新班學生利用計算方法進行圖像去模糊的實驗結果展示。從實際應用背景出發的啟發式教學體現了數值算法的價值和意義，不但能提高學生的學習興趣和思考能力，而且能讓他們在系統掌握理論知識的同時熟悉如何運用數學知識去解決實際問題的基本過程。

圖2 圖像去模糊實驗結果示例

2.構建合理的教學評價體系。傳統教學考核方式僅以筆試成績來評定學生對知識的掌握情況，無法體現學生對計算思維的理解和運用程度。其評價指標應該由原來單一的知識技能測評轉向對學生在研究性教學過程中展現的知識、能力和態度等綜合素質進行測評。評價內容包括：學生在研究性教學過程中的態度、方法，收集整理信息的能力、團隊意識合作精神、成果的表達等方面，對于計算機科學專業的學生而言，計算方法的編程實現能力也應是考核的一個重點。本課程的考核由平時成績、實踐成績和卷面成績三部分組成。實踐成績的評定通過實驗成績和項目成績組成，主要考查學生基本的編程能力、項目成績。除了編程能力外，還考查了分析、解決問題的能力，以及團隊分工協作能力。平時成績的考核較為靈活多樣，包括課程的提問、項目小組答辯、學生相互評價等。教學過程、實踐和理論考核相結合，既體現了考核的客觀性，滿足對學生培養目標的基本要求，也體現了公平性，使得有主動性、創新性的學生得到相應的優秀評價結果。

三、效果與結語

我們通過分析計算方法課程教學中存在的問題，對其教學方法進行改革。經過兩年的教學實踐，學生的評教結果均為優秀，且反饋都比較正面。通過學校教學問卷調查，計算機學院本科學生反映該課程教學內容設置合理，通過該課程不僅能掌握課程相關的理論和實踐知識，還較好地培養自己的計算思維以及動手能力。甚至有部分學生反映該課程的教學極大地提高了其科研興趣。這一定程度上表明以研究性啟發式教學和實踐教學相結合的方式來進行計算方法課程的教學，對于激發學生學習興趣，幫助其理解掌握及運用計算知識有著較好的作用。目前我們在課程中引入的研究性課題只是大千世界的冰山一角，在今后的教學實踐中我們將嘗試引入更全面的研究應用方向。