基于EMD-SVR的光纖陀螺隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)

陳強(qiáng)強(qiáng)，戴邵武，許立科，畢新樂

( 1.海軍航空大學(xué), 煙臺(tái) 264000；2.空軍94575部隊(duì)，連云港 222000)

0 引言

光纖陀螺是在Sagnac原理基礎(chǔ)上發(fā)展的光學(xué)器件，憑借動(dòng)態(tài)范圍大、可靠性高及使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，逐步成為現(xiàn)代導(dǎo)航系統(tǒng)中的主要器件[1]。在光纖陀螺使用過程中，其工作精度決定著慣導(dǎo)系統(tǒng)的使用精度，而誤差的存在，在一定程度上限制了光纖陀螺的應(yīng)用。因此，對(duì)光纖陀螺進(jìn)行客觀準(zhǔn)確的性能評(píng)價(jià)，可以準(zhǔn)確地把握其誤差特性，為工程應(yīng)用提供一定幫助[2]。

針對(duì)光纖陀螺的誤差建模方面，Allan方差分析法及自回歸移動(dòng)平均(Auto Regressive Moving Average，ARMA)模型分析較為成熟。Allan方差分析是在時(shí)域方面對(duì)時(shí)間序列的頻率穩(wěn)定性進(jìn)行分析的一種方法，其缺點(diǎn)在于對(duì)噪聲特性的不確定性[3]。ARMA模型是傳統(tǒng)的時(shí)間序列建模方法，可以看作自回歸(AutoRegressive，AR)模型和移動(dòng)平均(Moving Average，MA)模型的結(jié)合[4]，其擴(kuò)展形式還有自回歸積分滑動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA)等[5]。傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)分析方法有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝С郑哂泻?jiǎn)單快捷的優(yōu)點(diǎn)，但針對(duì)復(fù)雜的非線性問題，有著很大的精度限制。

隨著人工智能算法的不斷發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論逐步成熟完善，在工程中得到重大應(yīng)用。在光纖陀螺建模方面，一些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法如徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)[7]、灰色BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]等在隨機(jī)誤差分析中得到應(yīng)用。但受到光纖陀螺工作環(huán)境和制造工藝等多方面因素影響，其隨機(jī)誤差具有很強(qiáng)的非線性及非平穩(wěn)性，此時(shí)單一的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的回歸精度會(huì)受到一定限制。

本文針對(duì)光纖陀螺隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)進(jìn)行了分析研究，針對(duì)單一SVM預(yù)測(cè)精度不足的問題，通過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行處理，降低了時(shí)間序列的復(fù)雜程度；然后通過對(duì)分解得到的時(shí)間序列進(jìn)行分別預(yù)測(cè)并匯總，得到光纖陀螺隨機(jī)誤差的預(yù)測(cè)結(jié)果。

1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法

EMD方法于1998年由Huang N.E.提出，是一種新型的信號(hào)分解方法，在非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的處理中具有良好的效果[9]。EMD方法的步驟如下。

1)針對(duì)原始信號(hào)st，找到st的所有極值點(diǎn)，通過三次樣條插值方法對(duì)st的極值點(diǎn)進(jìn)行擬合，其極大值點(diǎn)的擬合曲線組成上包絡(luò)線Ut，其極小值點(diǎn)的擬合曲線組成下包絡(luò)線Lt。計(jì)算Ut與Lt的均值，記為平均包絡(luò)線m1(t)

(1)

2)將st與m1(t)相減，得到新序列h1(t)

h1(t)=St-m1(t)

(2)

對(duì)h1(t)進(jìn)行本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)判據(jù)，判斷IMF分量的標(biāo)準(zhǔn)為：

(1)信號(hào)中零點(diǎn)數(shù)和極值點(diǎn)數(shù)相等或至多相差1個(gè)；

(2)極大值包絡(luò)線和極小值包絡(luò)線的均值相等且為0。

如果h1(t)不滿足上述IMF判據(jù)，則將h1(t)代替st，重復(fù)步驟1)、2)，得到新的序列h11(t)

h11(t)=h1(t)-m11(t)

(3)

根據(jù)IMF判據(jù)，直到式(3)中的h1m(t)(m代表次數(shù))第一次符合IMF條件，記為imf1(t)；與st相減，得到剩余信號(hào)

r1(t)=St-imf1(t)

(4)

用r1(t)代替St，重復(fù)執(zhí)行以上步驟，可得到多個(gè)IMF分量及最后1個(gè)不可分序列，記為趨勢(shì)項(xiàng)rn(t)。可將EMD算法表達(dá)式記為

(5)

2 支持向量回歸

SVM于1995年由Vapnik等首次提出，SVM以統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)為理論基礎(chǔ)，通過非線性映射，將原始空間樣本數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，從而實(shí)現(xiàn)其理論分析[10]。支持向量回歸(Support Vector Regression，SVR)是SVM的一種表現(xiàn)形式，主要解決SVM的回歸問題。其思路如下：

針對(duì)訓(xùn)練集(x1,y1),(x2,y2),…，(xm,ym)，xi,yi∈R，可構(gòu)建線性回歸函數(shù)

y=f(x,ω)=ω·x+b

(6)

線性ε-非敏感損失函數(shù)|y-f(x,ω)|ε(ε為不敏感系數(shù)，針對(duì)SVR回歸精度進(jìn)行調(diào)控)為

(7)

(8)

其約束條件為

(9)

引入拉格朗日函數(shù)

(10)

求解參數(shù)，簡(jiǎn)化得回歸函數(shù)為

(11)

引入核函數(shù)的概念，式(11)可轉(zhuǎn)換為

(12)

3 EMD-SVR算法

針對(duì)光纖陀螺隨機(jī)誤差的非線性和非平穩(wěn)性，單獨(dú)使用SVR進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)具有一定的難度，并存在著預(yù)測(cè)模型不準(zhǔn)確、預(yù)測(cè)精度不高等問題。因此，首先使用EMD算法對(duì)光纖陀螺隨機(jī)誤差序列進(jìn)行分解，以降低隨機(jī)誤差序列的復(fù)雜程度；然后針對(duì)EMD分解后的每個(gè)IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)分別構(gòu)建單個(gè)的SVR預(yù)測(cè)模型，從而提高預(yù)測(cè)精度。采用EMD方法進(jìn)行時(shí)間序列分解之后，其誤差量級(jí)為10-14，分解結(jié)果具有很好的完備性，可以完整地表達(dá)出時(shí)間序列包含的全部信息。因此，分解后的各個(gè)IMF量的組合，可以完全擬合原時(shí)間序列[11]。針對(duì)分解之后的IMF分量進(jìn)行特性分析可知：在分解過程中，隨著分解次數(shù)的增加，IMF的階數(shù)不斷增加，相應(yīng)地IMF分量波動(dòng)頻率不斷降低，即低階的IMF分量對(duì)應(yīng)的是高頻信號(hào)。利用EMD算法處理原時(shí)間序列，可以準(zhǔn)確得到時(shí)間序列在不同時(shí)間段的波動(dòng)特征，簡(jiǎn)化時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，在一定程度上提高時(shí)間序列預(yù)測(cè)精度。EMD-SVR算法的基本框圖如圖1所示。

圖1 EMD-SVR算法框圖Fig.1 Flowchart of EMD-SVR

針對(duì)IMF分量分別構(gòu)建SVR預(yù)測(cè)模型的過程中，影響模型預(yù)測(cè)精度的主要因素是核函數(shù)的選取以及核函數(shù)參數(shù)g與懲罰參數(shù)c的設(shè)置。其中，核函數(shù)一般選擇RBF和線性核函數(shù)[12]。g與c的選擇，一般采用交叉驗(yàn)證(Cross Validation，CV)方法[13]。首先在大的范圍粗略確定最佳參數(shù)，然后縮小CV的范圍及步長(zhǎng)，在更小的合理區(qū)間內(nèi)，以更高的精度確定最佳的g與c。在圖1的基礎(chǔ)上，EMD-SVR具體步驟如下：

1)將待分析的時(shí)間序列進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到分解后的各分量(IMF1，IMF2，…，IMFn)及趨勢(shì)項(xiàng)rn；

2)對(duì)所有的IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)分別建立SVR模型；

3)對(duì)各個(gè)分量進(jìn)行預(yù)測(cè)；

4)將多個(gè)預(yù)測(cè)值累加得到最終預(yù)測(cè)值；

5)分析預(yù)測(cè)結(jié)果，驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以實(shí)驗(yàn)室測(cè)量所得的光纖陀螺隨機(jī)誤差序列作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以驗(yàn)證EMD-SVR算法的有效性。通過對(duì)隨機(jī)誤差序列進(jìn)行分析，選擇包含500個(gè)采樣點(diǎn)的隨機(jī)誤差序列，構(gòu)建SVR預(yù)測(cè)模型，在預(yù)測(cè)過程中選取前450個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，余下50個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，以均方根誤差(Root mean squared error，RMSE)和平均絕對(duì)誤差(Mean absolute error，MAE)為指標(biāo)來衡量EMD-SVR算法對(duì)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)能力[14]，表達(dá)式如下

(13)

(14)

式中，Xreal,i為第i個(gè)數(shù)據(jù)的真實(shí)值，Xpre,i為第i個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。選擇的光纖陀螺隨機(jī)誤差序列如圖2所示。

圖2 光纖陀螺隨機(jī)誤差Fig.2 Random error of FOG

原光纖陀螺隨機(jī)誤差序列具有較大的非線性與非平穩(wěn)性，采用EMD方法對(duì)隨機(jī)誤差序列分解之后，各IMF分量的復(fù)雜度得到有效降低，EMD分解之后的各序列如圖3所示。

圖3 EMD分解結(jié)果Fig.3 Result of EMD

以排列熵作為衡量信號(hào)復(fù)雜度的標(biāo)準(zhǔn)[15]，各IMF分量的排列熵如圖4所示。

圖4 序列的排列熵Fig.4 Permutation entropy of series

根據(jù)EMD分解之后的各IMF序列及趨勢(shì)項(xiàng)，構(gòu)建各自的SVR預(yù)測(cè)模型。針對(duì)排列熵較大的序列，選擇RBF核函數(shù)進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)；對(duì)于高階IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)，選擇線性核函數(shù)進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)，利用交叉驗(yàn)證方法確定核函數(shù)參數(shù)及懲罰參數(shù)；確定準(zhǔn)確的SVR預(yù)測(cè)模型之后，得到各IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)的RMSE及MAE如表1所示。

表1 各序列的預(yù)測(cè)指標(biāo)Tab.1 Prediction error of series

如表1所示，隨著IMF階數(shù)的增加，其序列的排列熵隨之降低，即序列的復(fù)雜程度降低，此時(shí)預(yù)測(cè)誤差也隨之減小，證明了EMD算法中降低IMF序列復(fù)雜程度的合理性。結(jié)合對(duì)EMD算法完備性的分析，分解得到的所有子序列重構(gòu)之后，與原時(shí)間序列的誤差量級(jí)為10-14。所以，將表1中各序列的預(yù)測(cè)結(jié)果相加，即可得到光纖陀螺隨機(jī)誤差序列的EMD-SVR結(jié)果，如圖5所示。

圖5 預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.5 Prediction results

為驗(yàn)證EMD-SVR算法的準(zhǔn)確性，采用單個(gè)SVR及傳統(tǒng)的ARMA模型對(duì)同樣的光纖陀螺隨機(jī)誤差序列進(jìn)行建模分析，其中，ARMA模型采用AIC準(zhǔn)則進(jìn)行定階，確定其AR及MA的模型階數(shù)[16]。將所得到的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，其RMSE、MAE指標(biāo)如表2所示。

表2 各方法的預(yù)測(cè)指標(biāo)Tab.2 Prediction error of three algorithms

如表2所示，由于光纖陀螺隨機(jī)誤差序列的非線性及非平穩(wěn)性，序列的復(fù)雜程度較高，基于ARMA構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型不能對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)；而基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法的SVR算法，其預(yù)測(cè)效果比ARMA模型有著一定程度的提升，表明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間序列建模中的優(yōu)越性。相比ARMA模型而言，預(yù)測(cè)模型更加準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)指標(biāo)得到提高；然而，受限于隨機(jī)誤差序列的復(fù)雜程度，SVR算法的能力也受到了限制。在利用EMD算法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解之后，通過將原時(shí)間序列分解為多個(gè)IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)，在一定程度上降低了原序列的復(fù)雜程度，此時(shí)采用SVR進(jìn)行建模，能夠有效地提高預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，從而降低預(yù)測(cè)難度。與SVR方法進(jìn)行對(duì)比，其RMSE降低了78.4%，MAE降低了75.5%，有效提高了預(yù)測(cè)精度。

5 結(jié)論

本文通過EMD方法對(duì)光纖陀螺隨機(jī)誤差序列進(jìn)行分解，得到多個(gè)時(shí)間序列復(fù)雜程度較低的IMF分量及趨勢(shì)項(xiàng)，有效降低了光纖陀螺隨機(jī)誤差序列的非線性及非平穩(wěn)性；對(duì)分解得到的各個(gè)子序列分別建立其對(duì)應(yīng)的SVR預(yù)測(cè)模型，并將所得結(jié)果進(jìn)行匯總分析，完成光纖陀螺隨機(jī)誤差序列的預(yù)測(cè)工作。實(shí)驗(yàn)可得以下結(jié)論：

1)通過排列熵作為時(shí)間序列復(fù)雜程度指標(biāo)，運(yùn)用EMD分解算法，可以有效降低光纖陀螺隨機(jī)誤差序列的復(fù)雜程度，有利于建立準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)模型。

2)機(jī)器學(xué)習(xí)算法在預(yù)測(cè)模型建立過程中，比經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型更具有精度優(yōu)勢(shì)，能夠建立更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)模型。

3)運(yùn)用EMD-SVR算法進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，可以更加有效地貼近原始數(shù)據(jù)序列的趨勢(shì)，所得預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度更高，具有一定的理論應(yīng)用價(jià)值。