從小階群與環的同構分類入手 培養學生的抽象代數思維能力

甘愛萍，楊義川

摘要：文章嘗試用初等方法對小階群（階數小于等于11的群）與小階環（階數小于等于3的環）進行同構分類，通過增加具體實例，拉近學習者與抽象代數的距離，進而在潛移默化的熏陶中提高學生的抽象代數思維能力。

關鍵詞：小階群;小階環;循環群;交換環

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2020）01-0292-03

一、引言

近世代數也稱抽象代數，其研究各種抽象的公理化代數系統，國內大學是否開設該課程在某種程度上是該大學數學人才培養層次的標志性課程之一。其高度抽象性使得它具有廣泛的應用性，同時它還是當代大部分數學的通用語言，是現代計算機理論與信息論基礎課程之一，但正如文獻中所指出的，一部分學生對于線性代數和抽象代數的學習效果不理想不是因為自身原因，因此應當從教材內容和教學方法中找原因。

抽象代數中最基本的群與環的概念和理論離不開一些具體的群與環，其中尤其是小階群與小階環。現有的近世代數本科教材普遍對小階群或小階環的同構分類沒有做系統的介紹，本文將嘗試用初等方法對小階群（階數小于等于11的群）與小階環（階數小于等于3的環）進行同構分類，通過增加具體實例，拉近學習者與抽象代數的距離，進而在潛移默化地熏陶中提高學生的抽象代數思維能力。

二、小階群

群是近世代數中最基本的一個概念，有限群作為群的重要組成部分，其結構與性質廣泛應用于許多相關學科，但由于其高度抽象性，在解決問題時往往需要先對小階群進行研究，由此可推導出許多抽象群或高階群。本節我們將應用拉格朗日定理，對所有階數小于等于11的群進行同構分類。如無特別申明，本節我們總假設e為群G的幺元。

定理1：（拉格朗日定理）設G是一個有限群，H是G的子群，則G=H[G：H]。

由于1階群是平凡的，下面我們先對素數階群進行同構分類。

定理2：素數階群一定是循環群，且以每一個非單位元作為它的生成元。

證：設G為p階群，這里p為素數，則對G中任一非單位元a，由拉格朗日定理知a的階為p，從而G為由a所生成的循環群。

根據定理2，我們從同構的觀點來看2、3、5、7、11階群都各有一個，它們都是循環群。下面定理討論了4階群的同構分類問題。

定理3：從同構的觀點來看，4階群只有兩種：4階循環群和克萊因4階群K。

證：設G是4階群且G=e，a，b，c，若G中含有4階元，則G為4階循環群，若G中不含有4階元，則由拉格朗日定理知G滿足條件：（？坌x∈G）x■2=e，從而G的（部分）乘法表為：

■

根據群中的運算滿足消去律知其乘法表中每一行每一列都是G中元素的一個置換，從而G的乘法表為：

■

故G與克萊因4階群K同構。

由于循環群和克萊因4階群K都是交換群，而1階群顯然是交換群，故我們得到所有階數小于等于5的群都是交換群。自然地，教師在授課時可以引導學生考慮非交換群的最小階數，有沒有6階的非交換群？如果有，有多少個？等等問題。對這些問題，下面定理給出了回答。

定理4：從同構的觀點來看，6階群只有兩種：6階循環群和三次對稱群S■。

證：設G是6階群。若G中含有6階元，則G為6階循環群。不妨設G中不含6階元，則G的生成集中至少含2個元素。設a、b是G的同一個生成集M中的兩個不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的階為2或3。

由于三次對稱群S■是非交換群，通過定理4可以看出：非交換群的最小階數是6，且從同構的觀點來看，三次對稱群S■是唯一的階數最小的非交換群。接下來，我們還需討論8、9、10階群的同構分類問題。8、9、10階群的同構分類問題相對來說要復雜一些，但復雜一些的推導是培養學生邏輯推理能力和抽象思維能力的好材料。

定理5：從同構的觀點來看，8階群只有五種：8階循環群、二面體群D■、四元數群Q■={1，i，j，k，-1，-i，-j，-k}、置換群G■={（1），（1234），（13）（24），（1423），（56），（1234）（56），（13）（24）（56），（1423）（56）}和置換群G■={（1），（12），（34），（56），（12）（34），（12）（56），（34）（56），（12）（34）（56）}。

證：設G是8階群。若G中含有8階元，則G為8階循環群。不妨設G中不含8階元，則G的生成集中至少含2個元素。設a、b是G的同一個生成集M中的兩個不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的階為4或2。

定理5告訴我們，8階群中有兩個非交換群：D■與Q■，由于8=2■，教師在授課時可以引導學生思考27階群的同構分類問題。

定理6：從同構的觀點來看，9階群只有兩種：9階循環群和置換群。

G■={（1），（123），（132），（456），（465），（123）（456），（123）（465），（132）（456），（132）（465）}.

證：設G是9階群。若G中含有9階元，則G為9階循環群。不妨設G中不含9階元，則G的生成集中至少含2個元素。設a、b是G的同一個生成集M中的兩個不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的階均為3。已知e、a、a■、b、b■、ab、ab■、a■b、a■b■為G中9個互不相同的元素，從而G=e，a，a■，b，b■，ab，ab■，a■b，a■b■。

下證：ba=ab。事實上，由群中的運算滿足消去律得ba∈G＼e，a，a■，b，b■，如果ba=a■b，則aba=a■b=b，從而（ab）■=aba·b=b■。根據定理1以及G中不含9階元有ord（ab）=3，從而b■=（ab）■=（ab）■=b■a■=b■a■，即得a■=e，矛盾。

如果ba=ab■，則bab=ab■=a，從而（ab）■=a·bab=a■。根據定理1以及G中不含9階元有ord（ab）=3，從而a■=（ab）■=（ab）■=b■a■=b■a■，即得b■=e，矛盾。

如果ba=a■b■，則bab=a■b■=a■，從而（ab）■=a·bab=a■=e，與定理1矛盾。

綜上我們有ba=ab。令ψ：e|→ （1），a|→ （123），a■|→ （132），b|→ （456），b■|→ （465），ab|→ （123）（456），a■b|→ （132）（456），ab■|→ （123）（465），a■b■|→ （132）（465），顯然ψ是群G到置換群G■的一個同構映射，故G？艿G■。

由于循環群和G■都是交換群，由定理6我們得到：9階群只有兩種且都是交換群，由于4階群也只有兩種且也都是交換群，據此，教師在授課時可以讓學生思考p■（p是素數）階群的同構分類問題以及交換性問題，即思考如下問題：設p是素數，p■階群是否僅有兩種且都是交換群。

定理7：從同構的觀點來看，10階群只有兩種：10階循環群和二面體群D2×5。

證：設G是10階群。若G中含有10階元，則G為10階循環群。不妨設G中不含10階元，則G的生成集中至少含2個元素。設a、b是G的同一個生成集M中的兩個不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的階為5或2。

綜合上面的定理，由于1階群是平凡的，我們已對所有階數小于等于11的群進行了同構分類，其中1、2、3、5、7、11階群都各有1個，4、6、9、10階群各有2個，8階群有5個。在所有階數小于等于11的群中，非交換群僅有4個：6階群S■、8階群D■、四元數群Q■以及10階群

D■。在此基礎上，教師在課堂授課時可以引導學生思考如何對階數為12、14或15的群進行同構分類，并思考p、q階群的同構分類問題，這里p、q為互不相同的素數。

三、小階環

眾所周知，一個（2，2，0）型代數（S，+，·，0）稱為一個環，如果（S，+，0）是一個交換群，其幺元為0;（S，·）是一個半群，且乘法“·”對加法“+”滿足左右分配律。環中的加法幺元稱為環的零元，環中元素a的加法逆元稱為a的負元，記為-a。注意到環S滿足性質：（？坌x∈S）0·x=x·0=0。設（T，+，0）是一個交換群，定義T上的乘法運算為：？坌x，y∈Tx·y=0，容易驗證（T，+，·，0）是一個環，稱之為零環。

本節我們將對階數小于等于3的環進行同構分類，教師在授課時可以引導學生在找出小階群的基礎上找出一些小階環。下面我們先介紹如何構造2階環。

設S為2階環，注意到環中一定含零元0，可設S=0，a，由于環對加法運算構成一個2階交換群，所以S的加法表與（部分）乘法表如下：

■？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖■

注意到a·a∈S=0，a，S的乘法表只能是

■？搖？搖？搖？搖或？搖？搖？搖？搖？搖■

由于（S，+，·■，0）是零環，又顯然（S，+，·■，0）與模2的剩余類環Z■同構，故2階環只有兩個：（S，+，·■，0）與模2的剩余類環Z■。

3階環比2階環要復雜一些，下面我們介紹如何構成所有的3階環。設R為3階環，注意到環中一定含零元0，且環對加法運算構成一個交換群，而3階群只有一個，即3階循環群，我們可設R=0，b，2b，可知R的加法表與（部分）乘法表如下：

■？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖■

注意到環R滿足性質：（？坌m∈Z）（？坌x，y∈R）（mx）y=m（xy）=x（my），這里Z為整數集，如果b·b的值確定了，那么R的乘法表也就確定了。由于b·b∈R，所以R的乘法表只可能是：

■？搖？搖或？搖？搖■？搖？搖或？搖■

由于（R，+，·■，0）是一個環，又易證（R，+，·■，0）及（R，+，·■，0）都與模3的剩余類環Z■同構，故3階環只有兩個：（R，+，·■，0）與模3的剩余類環Z■。

至此，我們已對2階環進行了同構分類，由于1階環是平凡的，所以階數小于等于3的環我們都掌握了，并且從中可以發現這樣一個事實：所有階數小于等于3的環都是交換環。自然地，教師在授課時可以引導學生思考如下問題：找出所有4階環或5階環，4階環或5階環中有無非交換環，非交換環的最小階是幾，等等一系列的問題。關于4階環的同構分類可以參考文獻。

四、結語

提出問題是思維的出發點。在教學中，只有不斷地向學生提出新的問題，才能引導他們去思考問題。本文通過對小階群（階數小于等于11的群）和小階環（階數小于等于3的環）進行同構分類，有計劃地提出問題、分析問題、解決問題來幫助學生理解和掌握抽象的概念和結論，提高高校本科學生對近世代數課程的學習興趣，使學生掌握基本的代數方法，拉近他們與抽象代數的距離。同時，還可以培養學生的邏輯思維和抽象思維能力以及他們的自主學習與發現問題的能力，為以后的學習、工作打下扎實的基礎。

參考文獻：

[1]張肇熾.線性代數：從課程到教學的一些實踐與思考[C].大學數學課程報告論壇論文集，2005：126-131.

[2]王孝敏.幾類小階群的新刻畫[D].重慶：西南大學碩士學位論文，2016.

Train the Abstract Thinking Ability of Students from the Classification of Groups or Rings of Small Order

GAN Ai-ping1，YANG Yi-chuan2

（1.College of Mathematics & Information Science，Jiangxi Normal University，Nanchang，Jiangxi 330022，China;2.College of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China）

Abstract：In this paper，we use elementary method to classify up to isomorphism all groups whose cardinality are less than or equal to 11，and all rings whose cardinality are less than or equal to 3.From which，one can learn more concrete examples of groups or rings，and so it is helpful to shorten the distance between college students and abstract algebra，and to improve the abstract thinking ability of students unconsciously.

Key words：groups of small order;rings of small order;cyclic group;commutative rings