淺談高三數學教學中的滲透數學思想

王勇

摘 ?要：數學教學的最終目標，是要讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，數學素養就是指學生學習數學應該達成的有特定意義的綜合性能力，數學核心素養高于具體的數學知識技能，具體綜合性、整體性和持久性，反映數學本質與數學思想，是數學思想方法在具體學習領域的表現。如果能自覺滲透數學思想，加強個人數學素養的培養，就會在復習中高屋建瓴，對整體復習起到引領和導向作用。本文將從函數方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸和轉化思想四方面論述。

一、函數與方程思想

函數的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的數學思想。方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構建方程，通過解方程或者方程組，或者運用方程的性質去分析，轉化問題，使問題獲得解決的數學思想。

（一）.方程思想就是將所求的量（或與所求的量相關的量）設成未知數，用它表示問題中的其他各量，根據題中的已知條件列出方程（組），通過解方程（組）或對方程（組）進行研究，使問題得到解決.

（二）.方程思想與函數思想密切相關：方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標;函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通過方程進行研究，方程f（x）=a有解，當且僅當a屬于函數f（x）的值域.函數與方程的這種相互轉化關系十分重要.

（三）可用函數與方程思想解決的相關問題.

1.函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：

（1）借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題;

（2）在研究問題中通過建立函數關系式或構造中間函數，把研究的問題化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的.

2.方程思想在解題中的應用主要表現在四個方面：

（1）解方程或解不等式;（2）帶參變數的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數的關系、區間根、區間上恒成立等知識的應用;（3）需要轉化為方程的討論，如曲線的位置關系等;（4）構造方程或不等式求解問題.

（四）規律方法

1在解決值的大小比較問題時，通過構造適當的函數，利用函數的單調性或圖象解決是一種重要思想方法.

2在解決不等式恒成立問題時，一種重要的思想方法就是構造適當的函數，利用函數的圖象和性質解決問題.同時要注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數.

3在解決不等式證明問題時，構造適當的函數，利用函數方法解題是近幾年各省市高考的一個熱點.用導數來解決不等式問題時，一般都要先根據欲證的不等式構造函數，然后借助導數研究函數的單調性情況，再結合在一些特殊點處的函數值得到欲證的不等式。

二、數形結合的數學思想

數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的互相轉化來解決數學問題的思想，數形結合思想的應用包括以下兩方面：（1）“以形助數”，把某些抽象的數學問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質。（2）“以數定形”，把直觀圖形數量化，使形更加精確。

數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：（1）是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質;（2）是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.

規律方法

如果參數、代數式的結構蘊含著明顯的幾何特征，一般考慮用數形結合的方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應有：

（1） 中 表示直線的斜率， 表示直線在 軸上的截距.

（2） 表示坐標平面上兩點 連線的斜率.

（3） 表示坐標平面上兩點 之間的距離.

（4）導函數 表示曲線在點 處切線的斜率.

只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數與形的對應類型，就一定能得心應手地運用數形結合的思想方法.

三、分類討論的思想

分類討論的思想是將一個較復雜的數學問題分解（或分割）成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略，對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現了有效增設，將大問題（或綜合性問題），優化解題思路，降低問題難度。

1.由數學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等.

2.由性質、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列的前n項和公式、函數的單調性等.

3.由數學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同時乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等.

4.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限;點、線、面的位置關系等.

5.由參數的變化引起的分類討論：某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法.

6.由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數問題時常用.

四、化歸與轉化的思想

轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化、進而解決問題的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變化轉化為已解決的問題。

1、化歸與轉化的思想方法

解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說，是自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”.

2、化歸與轉化的思想方法應用的主要方向

化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化.除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的.從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程.化歸與轉化思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程.數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現.

3、等價轉化和非等價轉化

轉化有等價轉化和非等價轉化之分.等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證.

在高中數學教學之中，首先需要學生有一定的數學理論基礎知識。很多數學原理是在舊知識的基礎之上推導出來的。

參考文獻

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