毫米波調(diào)頻引信的優(yōu)化二維FFT信號處理算法

郭晨曦，郝新紅，栗蘋，李國林，賈瑞麗

（北京理工大學(xué) 機(jī)電工程與國家控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

毫米波調(diào)頻引信相較于傳統(tǒng)微波調(diào)頻引信而言，具有體積小、功耗低、質(zhì)量輕、頻帶寬且分辨率高、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，且與激光、紅外引信相比具有全天候作戰(zhàn)的能力，在各國都備受重視［1］。

毫米波調(diào)頻引信的差頻信號包含了目標(biāo)的距離和速度信息，目前主要有連續(xù)測距［2-3］、諧波定距［4-5］以及多普勒包絡(luò)提?。?］3類方法。連續(xù)測距類的方法主要集中在瞬時頻率估計算法研究，但是算法實(shí)時性往往無法滿足實(shí)際工程需求，工程實(shí)現(xiàn)有一定的難度；諧波定距與多普勒包絡(luò)提取方法需要對差頻信號進(jìn)行二次混頻與濾波處理，二次混頻的參考信號頻率與調(diào)制頻率必須是嚴(yán)格的倍數(shù)關(guān)系，對數(shù)字芯片中的直接數(shù)字頻率合成器（Direct Digital Synthesizer，DDS）要求較高，而且濾波器的設(shè)計往往占用較多的系統(tǒng)資源，其性能的優(yōu)劣將影響目標(biāo)信息的提取效果。

通過分析調(diào)頻引信的差頻信號可以得到，差頻信號含有高次諧波分量且其各次諧波頻率、幅度均受到多普勒信號的調(diào)制，且還有噪聲等干擾［7］。當(dāng)引信工作在毫米波段時，目標(biāo)尺寸大于引信工作波長，此時調(diào)頻引信產(chǎn)生的差頻信號可近似看作目標(biāo)多個散射點(diǎn)回波差頻信號的疊加，頻譜分量增多，距離信息的提取更加復(fù)雜［8-11］；實(shí)際作戰(zhàn)環(huán)境中，干擾機(jī)與引信為非合作目標(biāo)，無法準(zhǔn)確測量彈目相對運(yùn)動速度信息，因而速度信息的提取有助于提高引信抗干擾性能。

針對毫米波調(diào)頻引信差頻信號中的距離速度信息聯(lián)合估計的問題，本文提出一種基于相對距離評價函數(shù)優(yōu)化的二維快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）信號處理算法。首先通過分析二維FFT算法實(shí)際測距測速精度與FFT點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，將選取合適點(diǎn)數(shù)提高精度問題等效優(yōu)化問題，采用相對距離評價函數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行求解，得到FFT點(diǎn)數(shù)的最優(yōu)解；然后對差頻信號進(jìn)行采樣，將采樣得到的數(shù)據(jù)整理為二維數(shù)據(jù)矩陣形式，利用優(yōu)化后的二維FFT算法對數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行分析計算，最終提取相應(yīng)的距離和速度信息；最后驗(yàn)證了本文提出的算法能夠同時提高實(shí)際測距測速精度，而且優(yōu)化后算法的實(shí)時性滿足毫米波調(diào)頻引信的工程需求。

1 毫米波調(diào)頻引信差頻信號模型

毫米波調(diào)頻引信的原理框圖如圖1所示。

假設(shè)引信采用三角波調(diào)制信號，此時發(fā)射信號、回波信號以及差頻信號的時頻特性如圖2所示。圖中為目標(biāo)回波產(chǎn)生的時延，R為彈目距離，v為徑向相對速度，f為頻率，t為時間，fc為載頻，F(xiàn)m為單邊頻偏，Tm為調(diào)制周期，fb，down為下掃頻段對應(yīng)的差頻頻率，fb，up為上掃頻段對應(yīng)的差頻頻率，c為光速。

圖1 毫米波調(diào)頻引信原理框圖Fig.1 Block diagram of principle of millimeter-wave frequency modulated fuze

圖2 發(fā)射信號、回波信號及差頻信號時頻特性Fig.2 Time-frequency characteristics of emission signal，echo signal and beat signal

差頻信號表達(dá)式為

式中：Ax為差頻信號幅度為調(diào)制斜率；tn為觀測時刻。

由式（1）可知，一個周期內(nèi)差頻信號由2個單頻信號和2個調(diào)頻信號組成，針對式（1）做傅里葉變換，可得一個調(diào)制周期內(nèi)差頻信號頻譜為［12］

式中：k（m，τ）表示2個單頻信號的傅里葉系數(shù)；a（m，τ）表示2個調(diào)頻信號的傅里葉系數(shù)；m為諧波次數(shù)；fm為調(diào)制頻率；fd為多普勒頻率。在引信應(yīng)用中，由于每個周期內(nèi)2個調(diào)頻信號的持續(xù)時間很短（τ?T），它們產(chǎn)生的頻譜成分對后續(xù)信號處理的貢獻(xiàn)可忽略不計，因此，毫米波調(diào)頻引信的差頻頻譜主要考慮2個單頻信號的頻譜成分。k（m，τ）的表達(dá)式為k（m，τ）＝

式中：fc為電磁波載頻。

由式（3）可知，m次諧波出現(xiàn)峰值時滿足

2 基于相對距離評價函數(shù)優(yōu)化的二維FFT算法

2.1 二維FFT算法原理

二維FFT是一維FFT在二維的推廣形式，現(xiàn)廣泛用于圖像領(lǐng)域的處理，處理的數(shù)據(jù)為像素矩陣［13］，其表達(dá)式為

式中：f（x，y）表示要處理的二維數(shù)據(jù)矩陣，矩陣維度為J×K，x＝0，1，…，J－1，y＝0，1…，K－1；F（u，v）表示二維FFT的結(jié)果。

從式（4）中可以看出，它可以分解為2個一維FFT，即

設(shè)

則

基于二維FFT算法的距離速度信息提取方法原理示意圖如圖3所示。圖3中：Amp為幅度，N為距離維FFT點(diǎn)數(shù)。

差頻信號首先經(jīng)ADC采樣，采樣頻率為fs，將采樣后的離散信號做一次N點(diǎn)FFT，得到N×1的頻譜向量；積累M次N點(diǎn)FFT后，得到M×N的二維頻譜矩陣，再對二維矩陣按列做M點(diǎn)FFT，此時的采樣頻率為經(jīng)過二維FFT處理后，通過峰值點(diǎn)檢測找到相應(yīng)的頻率測量值和多普勒頻率測量值，則目標(biāo)的距離與速度為

式中：λ為電磁波波長。由于所采用的三角波調(diào)制信號分上下掃頻周期，因此當(dāng)找到時，應(yīng)當(dāng)讀取相應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)Nm，計算此時的采樣時刻，則式（8）取“＋”號；如果則式（8）取“－”號。

圖3 二維FFT算法提取信息方法原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of two-dimensional FFT algorithm principle for extracting information

2.2 測距精度

由差頻信號的頻譜可知，出現(xiàn)峰值處的m次諧波對應(yīng)的主瓣寬度為理論測距精度為與調(diào)制頻偏成反比，如圖4所示。

由圖4可知，理論測距精度隨著調(diào)制頻偏的增大而提高。然而對于調(diào)頻引信而言，由于體積和成本的限制，通過增大調(diào)制頻偏來提高理論測距精度的方法在工程上難以實(shí)現(xiàn)，因此當(dāng)調(diào)制頻偏一定時，引信的理論測距精度為固定值，與其他因素?zé)o關(guān)。

實(shí)際測量中，測距精度與距離維FFT算法中的頻率分辨率有關(guān)，即頻率分辨率當(dāng)時，多普勒頻率對測距精度影響可以忽略，此時實(shí)際測距精度Tm＝10μs，則實(shí)際測距精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)N關(guān)系如圖5所示。

圖4 理論測距精度與調(diào)制頻偏的關(guān)系Fig.4 Relationship between theoretical ranging accuracy and modulation frequency offset

圖5 實(shí)際測距精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between practical ranging accuracy and distance-dimensional FFT point number

從圖5中可看出，當(dāng)調(diào)制頻偏一定時，實(shí)際測距精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)成反比，當(dāng)FFT點(diǎn)數(shù)較少時，實(shí)際測距精度較低；隨著FFT點(diǎn)數(shù)增加，實(shí)際測距精度提高，但是當(dāng)FFT點(diǎn)數(shù)繼續(xù)增加時，實(shí)際測距精度變化不大，這是因?yàn)楫?dāng)FFT點(diǎn)數(shù)無限增加時，實(shí)際測距精度ΔR逐漸逼近理論測距精度ΔRT，而ΔRT與FFT點(diǎn)數(shù)無關(guān)，只與調(diào)制頻偏有關(guān)，因此選取合適的距離維FFT點(diǎn)數(shù)N對提高實(shí)際測距精度十分重要。

2.3 測速精度

由三角波線性調(diào)頻信號的模糊函數(shù)可知，信號的多普勒分辨力為則理論測速精度ΔvT＝其中L為采樣時長內(nèi)調(diào)制周期的個數(shù)，如圖6所示，可以看出，隨著調(diào)制周期數(shù)L越大，理論測速精度越高。

圖6 理論測速精度與調(diào)制周期數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between theoretical velocity measurement accuracy and number of modulation periods

實(shí)際測量中，由二維FFT算法對速度的提取主要是二維矩陣中的列向量FFT變換，這一過程可看作以為采樣頻率，對距離維FFT的結(jié)果進(jìn)行采樣，然后做M點(diǎn)FFT，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，為保證準(zhǔn)確提取速度信息，此時的頻率分辨率實(shí)際測速精度為假設(shè)λ＝0.012 5m，fs＝5MHz，目標(biāo)徑向相對運(yùn)動速度v＝300m／s，則實(shí)際測速精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)N、速度維FFT點(diǎn)數(shù)M的關(guān)系分別如圖7、圖8所示。

由圖7和圖8可以看出，實(shí)際測速精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)N、速度維FFT點(diǎn)數(shù)M均成反比關(guān)系，當(dāng)某一維點(diǎn)數(shù)一定時，隨著另一維點(diǎn)數(shù)的增加，實(shí)際測速精度逐漸提高，但是當(dāng)點(diǎn)數(shù)繼續(xù)增加時，實(shí)際測速精度變化不大，且過多的點(diǎn)數(shù)會增加二維矩陣的維度，直接影響數(shù)據(jù)的存儲空間和計算量。實(shí)際測速精度與N、M的聯(lián)合關(guān)系如圖9所示。

圖7 實(shí)際測速精度與距離維FFT點(diǎn)數(shù)的關(guān)系Fig.7 Relationship between practical velocity measurement accuracy and distance-dimensional FFT point number

圖8 實(shí)際測速精度與速度維FFT點(diǎn)數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship between practical velocity measurement accuracy and velocity-dimensional FFT point number

由上述分析可知，對差頻信號進(jìn)行二維FFT處理時，距離維FFT點(diǎn)數(shù)N與速度維FFT點(diǎn)數(shù)M的選擇直接影響實(shí)際測距精度ΔR與實(shí)際測速精度Δv，如何選取N、M使得ΔR、Δv同時達(dá)到最優(yōu)成為算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵問題。由ΔR、Δv表達(dá)式可知，定義則，由于k1、k2與x1、x2無關(guān)，因此優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)可定義為f1（x1，x2）＝考慮如下的優(yōu)化問題：

圖9 實(shí)際測速精度與距離維和速度維FFT點(diǎn)數(shù)的聯(lián)合關(guān)系Fig.9 Joint relationship between practical velocity measurement accuracy and distance-dimensional and velocity-dimensional FFT point number

2.4 基于相對距離評價函數(shù)的優(yōu)化算法

針對2.3節(jié)的優(yōu)化問題，本文提出一種基于相對距離評價函數(shù)的優(yōu)化算法。首先判斷約束條件（11）中的大小，然后選擇兩者中的最大值作為第2個目標(biāo)函數(shù)的約束條件；其次在約束條件下求解2個單目標(biāo)優(yōu)化問題，即minfi（x1，x2），i＝1，2，得到2個值域最優(yōu)解則為整個優(yōu)化問題值域中的一個理想點(diǎn)，一般很難達(dá)到，于是可以構(gòu)造一個基于相對距離的評價函數(shù)來尋找距離f*最近的f作為近似值，評價函數(shù)為φ（f（x1，x2））＝

然后在約束條件下求φ（f（x1，x2））的極小值，即

圖10 基于相對距離評價函數(shù)的優(yōu)化算法流程圖Fig.10 Flowchart of optimization algorithm based on relative distance evaluation function

3 仿真與討論

3.1 優(yōu)化算法的仿真討論

為驗(yàn)證基于相對距離評價函數(shù)的優(yōu)化算法在優(yōu)化求解二維FFT點(diǎn)數(shù)、提高二維FFT測距測速精度方面的可行性，本文進(jìn)行了蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)K′＝100，以實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均方根誤差（RMSE）作為評價算法的性能，表達(dá)式為

具體參數(shù)為：工作載頻fc＝24 GHz，相應(yīng)的波長λ＝0.012 5m，三角波調(diào)制周期Tm＝10μs，調(diào)制頻偏Fm＝±100MHz，徑向相對運(yùn)動速度為v＝300m／s，理論測距精度調(diào)制周期數(shù)，理論測速精度為b2＝ADC采樣頻率fs＝5MHz，系數(shù)從圖11中可以看出，本文算法在給定參數(shù)條件下得到一個最優(yōu)解，考慮到實(shí)際二維FFT點(diǎn)數(shù)均為正整數(shù)，最優(yōu)解為N＝49，M＝123，其對應(yīng)的實(shí)際測距精度為實(shí)際測速精度為

圖12比較了傳統(tǒng)理想點(diǎn)法［14］與本文算法之間的優(yōu)化性能，可以看出，隨著采樣時長內(nèi)調(diào)制周期數(shù)L的增加，本文算法優(yōu)化性能更好，RMSE值更接近于0，即通過最優(yōu)解求出的實(shí)際測距測速精度更接近理論值。

差頻信號經(jīng)過每一次N點(diǎn)FFT處理，信噪比的增益為10 lgN（單位：dB），因此二維FFT處理對差頻信號產(chǎn)生的信噪比增益為10 lg（MN）（單位：dB），關(guān)系如圖13所示。由圖中可看出，隨著點(diǎn)數(shù)N、M的增加，信噪比增益逐漸增大，二維FFT能有效提高差頻信號的信噪比增益。

圖11 基于相對距離評價函數(shù)的最優(yōu)解Fig.11 Optimal solution based on relative distance evaluation function

圖12 傳統(tǒng)理想點(diǎn)法與本文算法的優(yōu)化性能比較Fig.12 Comparison of optimal performance between traditional ideal point method and proposed algorithm

圖13 信噪比增益與距離維和速度維FFT點(diǎn)數(shù)的聯(lián)合關(guān)系Fig.13 Joint relationship between signal-to-noise ratio gain and distance-dimensional and velocity-dimensional FFT point number

3.2 優(yōu)化后二維FFT算法仿真討論

為驗(yàn)證經(jīng)過優(yōu)化處理后二維FFT算法估計毫米波調(diào)頻引信距離速度信息的正確性與可行性，本文將聯(lián)合采用MATLAB軟件與FPGA硬件平臺對調(diào)頻引信的差頻信號進(jìn)行建模仿真。首先，使用MATLAB中的Simulink建立點(diǎn)目標(biāo)下毫米波調(diào)頻引信差頻信號模型，如圖14所示。

具體參數(shù)與3.1節(jié)仿真參數(shù)一致，經(jīng)過優(yōu)化后的距離維FFT點(diǎn)數(shù)N＝49，速度維FFT點(diǎn)數(shù)M＝123，實(shí)際測距精度實(shí)際測速精度為在信噪比為10 dB的輸入下，差頻信號的時域波形如圖15所示。

將Simulink仿真產(chǎn)生的差頻信號送入MATLAB工作空間，對其進(jìn)行二維FFT算法處理，分別得到距離維FFT頻譜圖、速度維FFT頻譜圖，如圖16、圖17所示。

圖14 點(diǎn)目標(biāo)下毫米波調(diào)頻引信差頻信號Simulink模型Fig.14 Simulink model of beat signal of millimeter-wave frequency modulated fuze under condition of point target

圖16中的峰值出現(xiàn)在8次諧波位置處（800 kHz），對應(yīng)的距離為3 m，符合參數(shù)設(shè)定值；譜線間隔為102 kHz，與最優(yōu)解N＝49對應(yīng)的距離差頻頻率分辨率結(jié)果一致。

圖15 差頻信號的時域仿真波形Fig.15 Time domain simulation waveform of beat signal

圖16 距離維FFT頻譜圖Fig.16 Range-dimensional FFT spectrogram

圖17 速度維FFT頻譜圖Fig.17 Velocity-dimensional FFT spectrogram

圖17中的峰值出現(xiàn)在位置47.66 kHz處，對應(yīng)的速度為v＝297.8m／s，考慮到實(shí)際測速精度為5.18m／s，在誤差范圍內(nèi)符合參數(shù)設(shè)定值；譜線間隔為0.83 kHz，與最優(yōu)解N＝49，M＝123對應(yīng)的多普勒頻率分辨率結(jié)果一致。

由以上仿真分析可看出，毫米波調(diào)頻引信的目標(biāo)距離速度信息可以利用優(yōu)化后的二維FFT算法直接提取，不用經(jīng)過二次混頻和多普勒濾波即可獲得相應(yīng)信息。

3.3 算法復(fù)雜度分析

優(yōu)化處理算法由于在引信參數(shù)設(shè)定后可離線處理，因此不占用實(shí)時硬件處理資源；優(yōu)化后的二維FFT算法復(fù)雜度主要來自于二維數(shù)據(jù)的存儲與2次FFT的計算［15］。假設(shè)二維數(shù)據(jù)存儲位數(shù)為16位，計算過程中需要存儲M組距離維N點(diǎn)FFT的結(jié)果和N組速度維M點(diǎn)FFT的結(jié)果，則存儲空間的大小為2×16×M×N；距離維FFT的復(fù)雜度為O（MNlog2N），速度維FFT的復(fù)雜度為O（NMlog2M），總 復(fù) 雜 度 為O（MNlog2N＋NMlog2M）。

表1從采樣點(diǎn)數(shù)、算法復(fù)雜度、測距精度和測速精度4個方面對比了優(yōu)化前后二維FFT信號處理算法仿真測試結(jié)果。

從表1中可以看出，在距離分辨率和速度分辨率一定的情況下，本文提出的優(yōu)化二維FFT算法能夠減少采樣點(diǎn)數(shù)，降低算法復(fù)雜度，適合硬件實(shí)時計算；換言之，相同采樣點(diǎn)數(shù)的前提下本文算法可以同時提高測距測速精度。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的實(shí)時性，采用FPGA硬件平臺進(jìn)行檢驗(yàn)。本文采用的FPGA芯片為Spartan 6系列中的XC6SLX16，其時鐘頻率為50MHz［16］。本文采用Verilog HDL硬件描述語言編寫二維FFT算法，整個過程中占用的資源量如圖18所示，功能仿真后的時序圖如圖19所示。

表1 優(yōu)化前后仿真測試結(jié)果對比Table 1 Comparison of simulation test results before and after optimization

圖18 算法實(shí)現(xiàn)所用FPGA資源Fig.18 FPGA resource used for algorithm implementation

由圖18可以看出，本次計算使用了13個DSP48A1s單元，其中每個單元包含一個乘法器，一個加法器和一個累加器，占總量的40%；使用了一個Block RAM存儲單元，占總存儲空間的3%，滿足實(shí)際需求。

由圖19中可以看出，二維FFT算法可以在FPGA芯片上實(shí)現(xiàn)，其中距離維FFT頻譜峰值處對應(yīng)的頻率值分別為805、903 kHz，速度維FFT頻譜峰值處對應(yīng)的頻率值為49 kHz，與MATLAB仿真結(jié)果有所差異，這主要是由于數(shù)據(jù)處理過程中需要對定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行截位操作，從而引入一定的誤差。且每次計算時長為tatency＋MNTclk，其中Tclk為時鐘周期，tatency為距離維FFT IP核的延時，其延時與距離維FFT點(diǎn)數(shù)關(guān)系如表2所示。

由于采用基-2 FFT，因此距離維FFT處理時進(jìn)行了補(bǔ)零，將49點(diǎn)采樣數(shù)據(jù)補(bǔ)零至64點(diǎn)數(shù)據(jù)后再做距離維FFT處理，延時latency1＝269Tclk。因此二維 FFT 算法執(zhí)行一次的總時長為162.82μs，對應(yīng)引信的移動距離約為0.049m，再加上采樣引起的距離延遲為則一次二維FFT處理引起的距離延遲為0.049 06 m，與實(shí)際測距精度0.383m相比很小，可忽略其對信息提取精度的影響，滿足引信實(shí)時性需求。

圖19 算法功能仿真時序圖Fig.19 Sequence chart of algorithm function simulation

表2 距離維FFT IP核延時與FFT點(diǎn)數(shù)的關(guān)系Table 2 Relationship between distance-dimensional FFT IP core delay and number of FFT points

4 結(jié) 論

1）本文通過理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了基于相對距離評價函數(shù)優(yōu)化的二維FFT算法可以用于同時提取毫米波調(diào)頻引信的距離速度信息，在實(shí)際提取過程中，需要考慮測量精度與實(shí)時性這2個因素，根據(jù)本文算法進(jìn)行優(yōu)化，然后再對差頻信號進(jìn)行二維FFT處理，可以在測距精度與測速精度同時達(dá)到最優(yōu)的條件下提取信息。

2）本文算法同時提高了實(shí)際測距測速精度，由于采用離線處理，不占用硬件資源，降低了信號處理單元中數(shù)字系統(tǒng)處理的復(fù)雜度。

3）本文算法的實(shí)時性滿足實(shí)際引信的工程需求，因此選用合適的FPGA芯片和外圍配置電路可以實(shí)現(xiàn)毫米波調(diào)頻引信的信號處理要求，能夠在復(fù)雜的環(huán)境下提取目標(biāo)信息。