概念、模型、樣例三位一體

盧艷嫻

【摘要】乘法分配律由于其變化形式的多樣，學生對其意義內涵不易理解，更難以靈活運用。本文以人教版四年級下冊《乘法分配律》為例，闡述筆者通過閱讀概念、建構模型、分析樣例的課堂教學實踐，豐富學生對乘法分配律的認識，提高應用能力。

【關鍵詞】閱讀概念;建構模型;分析樣例

有人說，數學只不過是“公式化”的東西而已，但其實我們簡單地把數學研究的數量關系、結構變化、空間信息等概念機械地套用公式來教學，忽視知識本身的內涵，學生脫離了問題情境，被動地接受知識，當遇到變化的題型練習時就無所適從。筆者認為，要克服這個鴻溝還是有可能的，如果知道學習對象的背景，則有可能掌握其實質。因此，在數學教學的過程中，幫助學生把抽象的數學知識模型化，化繁為簡，抑制恐懼心理，從而使學生對數學學習產生濃厚的興趣，獲得成功。

一、教學思考

（一）課標的指引

數學課程標準指出：“根據學生的認知結構、智力發展水平和教師業務能力素質等，用最優化的組合方法，把學科的基本原理、概念知識以及它們之間內在的本質結構關系傳授給學生，培養學生的探究能力識和創新意，真正發揮學生在學習活動中的主人翁地位。”這就提醒了我們一線的數學教師在教學中，只有有效地把數學知識與數學方法整合教學，才能真正做到“授之以漁”。

思考：能否把數學的一些概念和原理在學生頭腦中建構模型，幫助學生增強數感，發展模型思維，提高學生學習數學的能力？

（二）教材的啟示

我們現階段使用的修訂版教材，無論從教學素材的選擇還是教學內容的呈現方式上，都很好地體現了“以學生發展為本”的教學理念。怎樣高效地實踐數學課程標準中的理念，教材中也作出了適度的提示，很好地引領我們走進新課程。例如，修訂版四年級數學下冊《乘法運算定律》（如圖一），教材中沒有直接出示乘法分配律的概念表述，而是以小學生植樹的生活情景提出問題，在解決問題的過程中通過及時的點撥，引導學生思考，然后總結特征，歸納定義。

思考：教材中創新的直觀樣例，是否可以讓學生通過觀察、思考、分析、自主探索等數學活動，促進理解，提高自己的認知水平？

（三）學生的困惑

學生學習數學的大部分知識是建立在計算的基礎之上，在教學中發現，即便是優生，他們在做“計算下面各題，怎樣簡便就怎樣算”此類題目時，往往得分率都不高;還有一些學生勤奮好學，平時大量地練習計算，但每當測試時計算題也都失分嚴重。長此以往，他們雖然會努力去傾聽老師的講解卻難以理解其中的技巧，以致心灰意冷。以下是學生常見的部分錯例（如圖二）：

思考：嘗試在計算教學中通過分析樣例，幫助學生建構運算定律的模型，是否有助于提升學生計算的正確率？

（四）問題提出

通過上述的分析，那么究竟怎樣才能使學生有效地獲得數學知識？我認為可以從“數學概念”“模型教學”“樣例形式”三個維度去思考：1.要注重數學概念的教學，概念所反映的對象特有的本質屬性，是導出數學學科知識的邏輯基礎，理解數學概念是提高學生解題能力的思維前提;2.要把數學研究的對象或問題轉化為數學的結構關系，即建構數學模型，幫助學生理解其本質特征和變化規律;3.針對理解能力薄弱的學生，要以直觀的樣例形式呈現知識，簡化認知結構，讓學生內化知識，同時思維能力也得以發展。

二、建模策略

為了探索有效的構建運算定律與簡便運算的策略，筆者以變化形式多，學生最難以掌握的乘法分配律教學為例，嘗試圍繞“閱讀概念、建構模型、分析樣例”三個方面談一談如何強化學生的簡算意識，增強數感，豐富學生應用運算定律和簡便運算的經驗，提高計算的準確率。

（一）閱讀概念——理解規律的內涵

數學的概念是學生需要掌握的基礎知識，是學生解題的依據，數學概念的教學在數學教學中占據重要的地位。一些學生之所以覺得“乘法分配律”很難學懂，概念不清往往是最直接的原因。有效的數學閱讀可以提高學生的審題能力、分析問題能力、發展思維能力。指導學生進行數學閱讀，能夠從概念中提煉出有用的文字信息，通過理解數學對象的特有本質屬性，幫助學生提高解決數學問題的能力。因此在教學中，只有在學生反復研讀概念，對乘法分配律的內涵有了較為理性的認識后，方能正確靈活地應用，從而進行簡便運算。乘法分配律的概念表述如下：（如圖三）

學生對乘法分配律的認識，是一個不斷深化的過程。但相比之下，當整數乘法分配律推廣到小數、分數時，教材的描述顯得較為簡單。（如圖四）

對于中高年級的小學生來說，他們憑借著已有的知識經驗，就會把這些題目看成簡單的數學等式，這些學生的認知是片面的，只看到數學知識的外部聯系，忽略了數學知識的本質內涵意義——概念。

因此，在教學這部分內容時，我是先讓學生回顧乘法分配律的概念表述，然后用字母表示乘法分配律，接著舉例說明，總結出整數乘法分配律對于小數、分數的乘法分配律同樣適用。最后著重強調乘法分配律的兩種應用模式：在分析“兩個數的和與一個數相乘”理解分配的含義時，利用學生已有的生活經驗，想象成分配實物到每個人手中，必須是每個人都拿到同樣的實物;在分析“與這個數分別相乘，再相加”時，學生的理解是從每人手中收取同樣的實物，讓學生感受生活中也存在這樣的合理性，然后再代入數字進行驗證。學生通過對概念的反復閱讀、口述，不僅增強了口頭表達能力，而且進一步理解了乘法分配律的內涵。

（二）建構模型——理解規律的運算

乘法分配律是簡便運算中不可或缺的形式之一，很多學生在運用乘法分配律進行計算時不能做到正確運算，究其原因，是學生沒有真正理解運算規律，沒有在心中建構相應的模型。我覺得可以多角度分析，幫助學生理解乘法分配律的算理，很好地突破這一難點。

1.從乘法的意義中感悟規律

乘法分配律的表達形式變化多端，部分學生在解題時都不會靈活處理，他們憑著頭腦中模糊的印象亂套公式，只要能湊整就都認為成功了。然而教學乘法分配律不能架設空中樓閣，應注意結合學生已有的知識內容，解題經驗，找到知識的聯系處，經過一定的過渡，順利地幫助學生建構新的知識結構。此時我們必須想到乘法分配律的知識結構——乘法的意義。如下圖（如圖五）

以乘法的意義為依據，學生不但能從形式上更好地把握乘法分配律，還能從內涵上加以理解，從而達到正確運算的效果。例如：

乘法意義的模型建構：（a±b）× c? =? a ×c ± b × c

利用乘法的意義分析算式的原理：（a±b）個 c 等于 a 個c 加上或減去 b 個 c 。學生在感性認識的基礎上，通過比較、分析、綜合運用乘法的意義，逐步把握乘法分配律的本質屬性，思維模式更趨深入，而不是單純地依靠記憶，只有這樣才能在運算中熟練運用，減少失誤。

2.從情景教學中掌握規律

信手翻閱教科書，我們可以看到的都是學生喜聞樂見的生活情景。例如修訂版四年級下冊的《乘法分配律》一課，教材提供了學生植樹的生活情景，題中問“一共有多少名同學參加了這次植樹活動？”在引導學生解決問題時，通過分析得出不同的計算方法，通過對比得出計算結果相等，通過舉例驗證得出乘法分配律的意義。這樣的設計，力求體現“創設問題情境——建構數學模型——解釋、應用與拓展規律”的模式，讓學生經歷探索數學知識的全過程。

乘法分配律的內涵形式是多種多樣的，所以可以從不同的角度出發，創設多方面的情景反映其形式，幫助學生掌握規律。（如圖六）

常見的算法有以下的兩種形式：

①先算1套運動服的單價，再算60套運動服的總價：

列式：（75+45）×60

= 120 × 60

= 7200（元）

②先分別算60件上衣和60條褲子的價錢，再算運動服的總價：

列式：75×60+45×60

= 4500 + 2700

= 7200（元）

生活情景的模型建構：（75+45）×60 = 75×60+45×60

用字母表示： （a+b）×c? =? a×c+b×c

就題目本身的特點而言，學生不難理解，我們借助具體的生活情境去體會乘法分配律的形式，在教學中淡化算法技巧的講授，著力引導學生將乘法分配律的運算規律應用于解決生活中的實際問題，同時注意解決問題策略的多樣化。嘗試多渠道創設生活情景，從形式上把握乘法分配律的規律，勾勒出乘法分配律的模型，讓學生篩選，找出最佳的計算方案，為學生正確運用乘法分配律提供保障。

3.從數形結合思想中應用規律

數形結合的思想就是根據問題提供的數學信息與規律結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使精確刻劃的數量關系與直觀形象的空間形式巧妙、和諧地結合在一起。幾何圖形的計算也應用了乘法分配律的規律，例如（圖七）：

此題求“做這個畫框需要多長的木條？”實際上是求長方形的周長，可以這樣解題：

①（長+寬）×2? ?列式：（+）×2

② 長×2+寬×2? ?列式：×2+×2

數形思想的模型建構：（長+寬）×2 = 長×2+寬×2

（+）×2 = ×2+×2

用字母表示：（a+b）×c = a×c+b×c

根據幾何圖形的特征，教材展示的兩種解題方法是應用了乘法分配律的表達形式。學生在運用數學知識去解決問題的過程中，數學思想和方法是隱性的，常常藏匿于一些看似淺顯的數學知識里面。讓學生感悟和掌握數學思想和方法，是《標準（2011版）》中提出的重要目標任務。為此，教材在內容的選擇與編排上處處都讓學生領略最為基本的數學思想和方法，引導學生有條理地思考，以簡捷地獲取探索數學知識、解決問題的基本方法，提升數學能力。

（三）分析樣例——提高規律的實效

所謂“樣例教學”是指讓學生借助教材中提煉出的示范性材料，（下轉第18版）（上接第17版）獲得解決問題的規則、圖式或方法的一種教學方式。數學樣例是實際問題的形式化，是學生在數學學習過程中認知技能獲取的有效手段。在實際教學中，經常會發現學生傾向于通過考察一個或幾個有解題步驟的例題來完成練習，解決問題。然而相對于小學生所學的其他簡便運算方法，乘法分配律是比較難以理解和掌握的，除了因為乘法分配律算式中含有兩級運算以外，它具有的典型常規題型與非典型的變形題型，學生難以把握規律，即使是對乘法分配律的公式表達熟記于心，在應用時也難免出錯。因此，在學生學習乘法分配律的典型錯例中提供樣例，有助于學生進一步解決練習題，并能起到規范解題格式的作用。

例如：修訂版六年級上冊第9頁的習題：87×

六年級學生雖然已具有一定的知識經驗，但對于最初接觸到分數乘法分配律的他們來說，這無疑是一道難題。此時我直接引導，圍繞教材中“為了計算簡便，可以先約分再乘。”這句話（修訂版六年級上冊第5頁的提示）進行引導，學生會想到從分母86入手簡算。

像上題，是乘法分配律的變式題，需要將一個數拆分成兩個數的和，再分別與另一個數相乘。這樣的習題學生在四、五年級學習的整數與小數乘法分配律中并不少見，他們頭腦中早已建構了規律的表象，在這里了又及時提供習題的樣例，相信學生以后解決問題時也就得心應手。

樣例2：對比習題

此類習題，學生容易發生錯誤，借助乘法的意義設計樣例，不但可以從內涵上幫助學生進一步掌握乘法分配律的形式，也可以依據乘法的意義來糾正錯誤。

樣例3：延伸習題

此類題中呈現的形式，體現了乘法分配律是加、減法與乘、除法之間的紐帶，它并不是單一的運算關系，部分學生由于忽視對概念的理解并運用，做題時都沒達到最佳的效果。給學生提供參考的樣例，幫助學生理解和掌握學習內容，鞏固所學知識，提高學習效率。然而，數學課程教學是“以學生的發展為本”的，因此，要為發展學生的數學思維和提升其思維品質服務。閱讀概念幫助學生理解乘法分配律的本質內涵，建構模型讓學生理解乘法分配律多變的表達形式，分析樣例培養學生掌握帶規律性知識的能力。這樣從多方面的策略中讓學生感悟乘法分配律的規律，真正做到“怎樣簡便就怎樣算”。

總之，我通過“閱讀概念→建構模型→分析樣例”三個教學策略，幫助學生建構乘法分配律，從而更好地掌握、運用乘法分配律。

參考文獻：

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