基于Matlab的線性代數(shù)概念教學(xué)法的研究

楊麗萍

摘? 要：線性代數(shù)課程是高校理工科學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，具有概念多且抽象、課時(shí)少但應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)。調(diào)研發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)效果不佳，僅記住幾個(gè)概念、會(huì)簡單的計(jì)算，認(rèn)知層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有提高。文章借助Matlab軟件，提出針對概念教學(xué)的方法及策略。

關(guān)鍵詞：行列式;線性方程組的解;線性變換;二次型

中圖分類號(hào)：G640? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）03-0098-03

Abstract： Linear Algebra is an important basic course for college students of science and engineering. It has many abstract concepts and few class hours， but it is widely used. It is found that most of the students have poor learning effect. They only remember several concepts and can calculate simply， but their cognitive level and mathematical literacy have not been improved. This paper puts forward some methods and strategies for concept teaching with the help of MATLAB software.

Keywords： determinant; solution of linear equations; linear transformation; quadratic form

線性代數(shù)作為理工科學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，一般都是大二第一學(xué)期開設(shè)，大多數(shù)理工院校都采用的教材是同濟(jì)大學(xué)出版的，目前已經(jīng)到第六版，多年來教材內(nèi)容變化不大，但是授課學(xué)時(shí)變化很大，課時(shí)壓縮勢必會(huì)影響到教學(xué)。以我校為例，最初的46學(xué)時(shí)到現(xiàn)在的32學(xué)時(shí)，每周兩次課，八周結(jié)束，這么少的學(xué)時(shí)沒時(shí)間進(jìn)行拓展和試驗(yàn)，另一方面，線性代數(shù)具有概念多且抽象、邏輯性強(qiáng)但應(yīng)用廣泛等特征，學(xué)生學(xué)習(xí)這門課有一定的難度[1]，大部分學(xué)生以考試為學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，采用記概念、背算式的學(xué)習(xí)方法，缺乏深度思考及抽象的思維能力和邏輯推理能力，更欠缺解決實(shí)際問題的能力，線性代數(shù)的基本概念在整個(gè)教學(xué)內(nèi)容中占有重要位置[2]，概念的教學(xué)顯得尤為重要，如何讓學(xué)生從具體的概念中抽象邏輯推理是教學(xué)過程最關(guān)鍵的一環(huán)。對此，文章以概念教學(xué)為主線，提出了基于Matlab的線性代數(shù)概念教學(xué)法，就概念的幾何意義、概念之間的關(guān)聯(lián)以及概念的實(shí)際應(yīng)用三個(gè)方面展開探討。

一、注重概念的幾何解釋

借助Matlab軟件加強(qiáng)二維和三維空間中重要概念的可視化講授，使抽象概念更易于被學(xué)生接受，抽象就是抓住問題的本質(zhì)屬性，從簡單幾何概念抽象出復(fù)雜的代數(shù)概念，提升學(xué)生邏輯思維能力和邏輯推理能力。

（一）二、三階行列式的幾何意義

假設(shè)xoy平面上有兩個(gè)向量=（a1， b1， 0），=（a2， b2， 0），則由向量積的定義，知×的大小是sin？茲，其中？茲為向量，的夾角。而由向量積的計(jì)算公式，有：

，

可見向量積×的大小也是二階行列式a1 b1a2 b2的絕對值，即=sin？茲。因此由向量積的意義知，二階行列式的絕對值在幾何上表示該行列式的兩個(gè)二維行（或列）向量所“張成”的平行四邊形的面積，特別地，當(dāng)二階行列式等于零時(shí)，即平行四邊形面積為零，說明此兩向量不能“張成”平行四邊形，此時(shí)的平行四邊形退化為直線（即兩向量共線），三階行列式按第三行展開，有

由混合積的幾何意義[3]知道，三個(gè)三維行向量組成的三階行列式的絕對值在幾何上表示由它們“張成”的平行六面體的體積，特別地，三階行列式等于零時(shí)，此時(shí)平行六面體體積為零，說明三個(gè)向量不能“張成”平行六面體，即這個(gè)六面體退化為平面（直線），此時(shí)稱三個(gè)向量共面（共線），更一般地，可引導(dǎo)學(xué)生推理n階行列式的幾何意義，完成從形象到抽象的過渡。

（二）線性方程解的幾何意義

線性方程組求解問題是線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容，特別是方程組解的結(jié)構(gòu)，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)更是難點(diǎn)。線性方程組的解不外乎三種情況：無解，唯一解和無窮多解，為了加深學(xué)生對問題的幾何理解，通過Matlab軟件中的ezplot命令畫圖（圖1），展示二維（或三維）空間上二元（或三元）線性方程組解的情況。

例1 以下二元一次方程組解的情況

（1）? ? ? ? ? ?;（2）? ? ? ? ? ? ;（3） ;

二元方程在平面上表示一條直線，方程組的解就是各直線的公共點(diǎn)，方程組（1）的兩條直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故有唯一解，方程組（2）的兩條直線平行，沒有交點(diǎn)，故無解，方程組（3）的兩條直線重合，故有無窮多個(gè)解。

對于三元一次方程形成的方程組解的情況在空間解析幾何中，平面與三元一次方程一一對應(yīng)，m個(gè)三元一次方程組成的線性方程組解的情況可以用m個(gè)平面有無公共點(diǎn)來判別，解的個(gè)數(shù)就是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。方程組有解，表明這m個(gè)平面有公共點(diǎn)。特別地，有唯一解時(shí)表示m個(gè)平面交于一點(diǎn);有無窮多解且基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量時(shí)，表示這些平面相交于一條直線;若基礎(chǔ)解系含兩個(gè)解向量，則表示這些平面重合。如果方程組無解，則表明平面沒有公共點(diǎn)。有了低維空間上解的幾何解釋，再過渡到代數(shù)概念，對于更多元的線性方程組雖然不能想象出在高維空間內(nèi)的幾何圖形，但是關(guān)于解的基本理論是一脈相承的。[4-5]

二、注重概念與其它學(xué)科的聯(lián)系

注重不同概念間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)這門課程本身不是孤立的、而是更具開放性與延伸性，二次型是線性代數(shù)的重要概念之一，它起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問題的研究。二次型的理論在物理學(xué)、幾何學(xué)、概率論等學(xué)科中都已得到了廣泛的應(yīng)用。以往教師授課都是按照教材上強(qiáng)調(diào)怎么將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型及一個(gè)二次型判定是否正定，這樣，學(xué)生學(xué)完后幾乎不知道二次型有什么用，或者怎么用，因?yàn)檫@樣授課完全與之前所學(xué)《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容割裂開，學(xué)生獲得的僅是一個(gè)新概念而已，而線性代數(shù)課程教學(xué)大綱要求先修課程是高等數(shù)學(xué)，即授課群體都需要有微積分知識(shí)的儲(chǔ)備，如二次型概念就與高等數(shù)學(xué)中的二次曲面及多元函數(shù)最值關(guān)聯(lián)緊密，講授時(shí)不僅要使學(xué)生對二次型這個(gè)概念有更深層次的認(rèn)識(shí)，更要拓寬認(rèn)知結(jié)構(gòu)。二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型問題，大部分學(xué)生都會(huì)，但如果問該二次型等于常數(shù)時(shí)表示何種曲面，估計(jì)會(huì)有好多人不清楚，沒思路，如果是在其標(biāo)準(zhǔn)型的基礎(chǔ)上問表示何種曲面，這樣啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生逐步揭示正確答案。

再如多元齊二次函數(shù)（二次型）在某條件下的最大值及最小值問題，常規(guī)解法是拉格朗日乘數(shù)法或化為無條件極值（如果條件本身復(fù)雜就不能化為無條件極值問題），對于拉格朗日乘數(shù)法需要求解含有多（變量個(gè)數(shù)加條件個(gè)數(shù)）個(gè)方程的方程組，求解過程很繁瑣，用二次型求解思路是解出二次型對應(yīng)矩陣的最大和最小的特征值，再結(jié)合瑞利定理即可。[6]

例2 求函數(shù)f=2x12+5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3，在條件x12+x22+x32=2下的最值。

在Matlab命令窗口先輸入eig（A），得矩陣A的特征值;再輸入最值命令函數(shù)就得到最大特征值10，最小特征值1。利用瑞利定理，有不等式：

學(xué)生思路清晰，繁瑣計(jì)算讓計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。這樣快速得出最大值為20，最小值為2的結(jié)論，比較傳統(tǒng)的筆算省時(shí)省力，準(zhǔn)確度更高，同時(shí)也彌補(bǔ)了少學(xué)時(shí)的缺陷。

三、注重概念的實(shí)際應(yīng)用

如果不考慮圖像的顏色，只考慮圖像的形狀，則一個(gè)平面圖像是由許多平面上點(diǎn)的一個(gè)集合，在平面上，一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)二維數(shù)對表示，即平面上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示為一個(gè)二維列向量，因此平面圖形可以看作是由許多點(diǎn)的位置構(gòu)成的集合，即用一個(gè)矩陣的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中。[7]在最簡單的二維圖形符號(hào)中，字母用于在屏幕上做標(biāo)記，某些字母作為線框?qū)ο蟠鎯?chǔ)，對圖形的操縱和顯示用到的方法涉及到《線性代數(shù)》里的線性變換概念。

例3 在平面上有8個(gè)點(diǎn)，分別是

（0，0），（0.5，0），（0.5，6.42），（6，0），（6，8），（5.5，8），（5.5，1.58），（0，8），

由這8個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成正體大寫字母“N”的數(shù)據(jù)矩陣：

現(xiàn)在想將字母“N”改為斜體，將其各頂點(diǎn)向右平移其縱坐標(biāo)的0.25個(gè)單位即可;而后再將斜體字變細(xì)，將其橫坐標(biāo)縮減為原來的0.75，這里實(shí)質(zhì)上是描述了兩個(gè)線性變換。由于線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)的變換矩陣分別是

和

令變換后的兩種字體對應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣分別是Y和Z，即有以下兩線性變換：

為了更直觀，在Matlab窗口中用plot命令畫出字符變換前后的圖形如圖2。

這樣設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)字庫時(shí)，斜體或粗（細(xì)）體字庫可以不必單獨(dú)建立，只要對正體字庫進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性變換，就可以實(shí)現(xiàn)斜體字、粗（細(xì)）體字等的變換，從而節(jié)約內(nèi)存，線性代數(shù)中的概念在其他領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例還有很多，鑒于學(xué)時(shí)短，學(xué)生的專業(yè)不同，教師可以根據(jù)授課班級(jí)的具體實(shí)際選取應(yīng)用實(shí)例講解，采取布置課余大作業(yè)，讓學(xué)生通過查資料、邊學(xué)習(xí)邊研究，任課教師以此作為平時(shí)成績的考核依據(jù)。

四、結(jié)束語

文章闡述的概念教學(xué)法，主要從概念的幾何意義、概念間的關(guān)聯(lián)以及概念的實(shí)際應(yīng)用三個(gè)方面闡述，選取的都是線性代數(shù)課程中的基本概念，任課教師對這些概念要挖掘它們的深層含義，引導(dǎo)學(xué)生追尋概念間的來龍去脈，把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。鼓勵(lì)學(xué)生自主思索、積極發(fā)現(xiàn)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，借助Matlab軟件實(shí)現(xiàn)課程的多功能性，摒棄以考試為目標(biāo)的功利主義，本著提高學(xué)生認(rèn)知水平，拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)去教學(xué)，這樣的教學(xué)才符合時(shí)代要求。

參考文獻(xiàn)：

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[7]潘云鶴，董金祥，陳德人.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)原理、方法及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2003.