初中數學教學中“猜想與反思”的有效滲透

張宗國

（福建省霞浦縣第五中學，福建 寧德 355109）

猜想是進行科學研究的一種廣泛應用的思想方法，它是根據已知的原理和事實，對未知的現象及其規律所作出的一種假定性命題。反思是對自己認知過程、認知結果的監控和體會。知識和理解要靠學生自己領悟才能獲得，而領悟又靠思維過程的不斷反思才能達到。

一、猜想與反思在初中數學教學中的作用

在數學教學中，教師有效指導學生獲得猜想與反思，有助于培養他們的數學能力，這是數學教育的一個很重要的研究課題。同時，引導學生進行反思是學生得到發展、教學獲得成功的重要保障。在課堂上要積極倡導以學生為主體的理念，引導他們由靜聽轉變為主動探索，聽中有思，思中有悟，在聽講中學會捕捉引起猜想與反思的問題。

二、猜想與反思在初中數學教學中的滲透應用

例1：關于y 的多項式3y2-11y+n 分解因式后有一個因式是(y-3)，試求n的值。

引導學生大膽猜想：該多項式分解的結果會有什么樣的因式，如果該多項式的值等于零，又會有什么樣的發現，從而得到兩種解法。

解法一：假設另一個因式是3y+m，那么原多項式3y2-11y+n=(y-3)(3y+m)，展開右式，比較對應項系數，就可得到n=6。

反思領悟：分解因式與整式乘法之間的互逆關系，以及分解因式與方程的根也有一定的關系。引導學生繼續思考：分解二次三項式的因式可否采用上面的方法？回答是肯定的。比如：分解y2+3y-28 的因式，仍然可以這樣猜測：如果該多項式能分解，那么它總可以分解為兩個一次因式，所以假設，y2+3y-28=(y+a)(y+b)，展開右式，比較對應項系數，容易發現y2+3y-28=(y-4)(y+7)。教學中還可以進一步反思：分解二次三項式的簡便方法“十字相乘法”。

解法二：令原多項式的值為零，那么關于y 的方程3y2-11y+n==0 有一根為3，將y=3 代入，就可求出n 的值。

例2：用黑白兩種正六邊形瓷磚拼成如圖1 所示的圖案，那么接下來第4 個圖案將有白色瓷磚多少塊？第n 個圖案有白色瓷磚多少塊？

各級部門對工程概（估）算進行審查，既是保證概（估）算編制質量、合理確定工程投資、發揮投資效益的需要，又是被審人員提高業務水平、擴大知識視野的有效途徑。

學生乙先從整體觀察，再細細比較后發現，白色瓷磚在增加過程中有一定規律，黑色瓷磚周圍總有6 塊白色瓷磚，但是從第2 個開始，相鄰的兩塊黑色瓷磚中間的白色瓷磚是重復的，第2 個圖案重復了2 塊，第3 個重復了4 塊，接下來每增加一個黑色瓷磚，白色的就重復2 塊，所以第4 個圖案重復的白色瓷磚應該是3×2=6 塊，那么白色的瓷磚應該是6×4-6=18 塊。在尋找答案的過程中，他畫出表1 來幫助。他“感覺”有一種數學的“模式”存在，而前幾個特殊的例子可以幫助他找到這個模式。根據圖1 的3 個圖案，學生乙猜測出第n個圖案中有白色瓷磚的數目是6×n-(n-1)×2=4n+2。繼續觀察，學生乙還可以發現，第一塊黑色瓷磚的周圍的白色瓷磚有6 塊，接著每增加一塊黑色的瓷磚，白色的瓷磚就增加4 塊，于是，第4 個圖案有6+4×3=18 塊白色瓷磚，猜測第n個有白色瓷磚的數目是6+4×(n-1)=4n+2。學生乙經過反思，又有這樣的想法，將每一個圖案左邊兩塊白色的瓷磚拿開，那么每一塊黑色的瓷磚就對應著4 塊白色的瓷磚，所以第n 個圖案有白色瓷磚(4n+2)塊。

以某起110KV高壓斷路器合閘拒動的操作為例，當運行人員將操作機構的后門打開，會發現有煙霧出現，這就說明了分閘線圈被燒毀，可以通過手動機構來成功分閘。修理與調試工作人員也要通過對這起高壓斷路器進行試驗與檢查，檢查的重點在于斷路器的機械特性與最低動作電壓等方面的試驗。由試驗可以發現，某起 110KV高壓斷路器分閘線圈最低電壓的設計值很高，在裝好斷路器之后，最低動作電壓已經超出了標準值。對斷路器機構與分閘線 圈進行調整，將最低動作電壓調整到符合標準的要求[4]。

在答題中，學生甲首先觀察前幾個圖案，而后就畫出了第4 個圖案，他一個接一個的數白色瓷磚的個數，經過多次的數一數，他確定第4 個圖案白色瓷磚是18 塊，可是第n 個圖案，他感覺無從下手，這可怎么辦呢？

這是一道探索規律的問題，在七年級教材中類似的題型也有出現過，但對于經常解決常規問題的學生來說，需要引導他們有效開展猜想與反思。

高折射率電介質元件相對于x和y軸傾斜45°，這可以引起對沿x或y方向偏振的入射波的線偏振轉換，即，反射波的偏振角度相對于入射波被旋轉90°。以y方向極化的入射場為例，該場可以分解為兩個分量，分別沿?=45°和135°極化，如圖2。圖3和4繪制了它們反射波的振幅和相位，在53到70 GHz的頻段范圍內兩個正交極化之間實現了全反射和180°的相位差。因此，y方向偏振入射場下，反射的兩個分量形成了x方向偏振反射場，如圖2所示。圖5表示電介質超表面的偏振轉換效率，定義為|Ecross|2/（|Ecross|2+|Eco|2）。很明顯，轉換效率在53到70 GHz之間保持在0.93以上。

為了這件事，我發揮自身特長草書唐詩一幅，到裝裱店加急仿古精裱后如期帶去，意外的賀禮，使教師職業的妹妹格外喜愛，她表示，這是錦上添花。

從這兩位學生解題思路形成的過程，可以看出兩者的差異，對于解決常規數學問題，他們可能沒有太多區別，可在“猜想與反思”中，他們的表現大不相同。這是在平時的解題思路形成過程中，逐步形成的數學能力的結果。因此，教師要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求，指導學生從整體上觀察研究對象的特征，教會學生猜想與反思，幫助學生養成猜想與反思的習慣，不斷創設使學生引發猜想、積極反思的問題情境。

三、結語

猜想與反思在學生發現數學規律、尋找數學本質過程中起著重要的作用。在日常生活和工作中，猜想與反思也是人們至關重要的能力。通過引導學生觀察一些表象問題，猜想事物的本質，從中概括反思一般規律，這是學生認識世界和改變世界的必要手段。