王宏軍

（山西醫科大學汾陽學院 山西省汾陽市 032200）

在計算梯形明渠特征水深時，其均為隱函數的一元高次方程，并沒有進行較為直接的解析，求解工作可以通過試算法或者圖解法進行計算。在計算上采取試算法十分麻煩，在對曲線進行查詢時也極易出現誤差，對精度產生影響[1]。現報道如下：

1 梯形明渠水力計算的基本方程

1.1 梯形明渠均勻流水深的函數表達式

根據相關文獻顯示，明渠均勻流流量的基本方程主要為：

過水面積：A=（b+mh）h

將上述各要素帶入（1）式中可得，

在計算梯形明渠正常水深時，已知參數包括粗糙系數n、邊坡系數m、底坡i、底寬b、設計流量Q，求水深h。

由此可見，在計算梯形明渠正常水深時，實質上是對含多個未知參數的高次方程進行求解，在理論上并無解析解。梯形斷面如圖1所示。

1.2 梯形明渠臨界水深的函數表達式

根據相關文獻顯示，明渠臨界水深的基本方程主要為：

過水面積：(b+mhk)hk=Ak

水面寬度：b+2mhk=Bk

將上述各要素帶入（3）式中可得，

在計算梯形明渠正常水深時，已知參數包括粗糙系數n、邊坡系數m、底寬b、設計流量Q，求水深hk。

2 計算梯形明渠水力的數學模型

2.1 梯形明渠均勻流水深的模型建立及求解

2.1.1 建立模型

改寫后的方程主要為：

圖1：梯形斷面

圖2：γ-p 的關系曲線

圖3：x-k 關系曲線圖

而迭代公式為：

表1：不同計算方法的誤差比較

表2：不同計算方法的誤差比較

2.1.2 求解模型

迭代法是一種常用的求解方法，其可以進行逐步逼近，從而達到最準確的結果，任意給定的m 和p 在迭代公式中，總有且有一個γ 與之相對應[2]。

根據實際工程中，γ 以及m 的取值具有一定的范圍，γ 的范圍主要為[0，2]，m 范圍主要為[0，4]。具體關系曲線見圖2。

由上述關系曲線可得，

其中A=f1(m)，B=f2(m)。

在實際的工程范圍內，γ 以及m 的取值具有一定的范圍，γ 的范圍主要為[0，2]，m 范圍主要為[0，4]：

計算迭代式，可以得到相對滿意的結果。

可以得到計算公式。即：

2.2 梯形明渠臨界水深的模型建立及求解

2.2.1 建立模型

梯形明渠（恒等變形）臨界水深的基本方程可以寫成以下：

2.2.2 求解模型

經過對多組數據進行優化，且進行回歸分析可得相關曲線。見圖3。

即

經過大量的運算可得出最佳的公式，見下式：

計算梯形明渠臨界水深公式見下式：

3 應用實例

解析比較幾種數模，多個公式的計算結果見表1。

從表1 的誤差結果分析可以得出，采取直接計算公式的方法來進行模型求解，操作簡單便捷，具有較高的精確度，可以滿足實際工程的需要。

例題：有一個梯形明渠斷面，已知參數為邊坡系數m=1.0000，流量Q=15.0000m3/s，底寬b=5.0000，求臨界水深hk。

3.1 計算此文公式可得，

3.2 解析比較幾種數模

多個公式的計算結果見表2。

從表2 的誤差結果分析可以得出，采取直接計算公式的方法來進行模型求解，操作簡單便捷，具有較高的精確度，可以滿足實際工程的需要。

4 結語

數學建模在日常應用中十分重要，是在各個領域中應用數學的具體表現，因此數學建模在梯形明渠水力計算中的應用價值較高，可以進一步推廣。