《導數的概念》教學案例

王夢瑋

一、案例背景

1、指導思想

把教學看作是一個由教師的“導”、學生的“學”及教學過程中的“悟”為三大部分，組成的含有多要素的和諧整體。以問題為核心，通過對導數概念的發生、發展和運用過程的演繹、探究和揭示，組織和推動教學。在這個過程中，教師主要起的是引導作用，啟發誘導學生分析問題，引導學生從兩個具體引例提煉歸納出導數的概念，引導學生用函數的思想去認識導數從具體點向開區間拓展的過程;學生通過合作，探究和解決問題。通過教師的“導”和學生的“學”，最終“悟”出導數的本質。

2、教學內容

“導數的概念”是選自華中科技大學出版社出版的《高等數學及應用》中的第三章第一節的內容，是全章的核心。一方面是函數知識的深化、極限知識的發展，是一種特殊的極限，另一方面是后續知識——導數的幾何意義及應用的基礎，具有承前啟后的作用。本節課的主要教學內容包括導數概念的兩層意義，一個是在某一個具體點上，一個是在開區間上。

3、教學目標

基于教學內容的難易程度和學生的學習基礎，確定了以下教學目標。在知識方面，正確認識導數的概念，應用導數定義求簡單函數的導數，掌握求導數的步驟;在能力方面，培養學生運用導數的知識解決實際問題的能力，培養學生的自學、歸納、抽象和概括的能力;在情感方面，通過導數概念的建構過程，使學生掌握從具體到抽象、特殊到一般的思維方法。

4、教學重、難點

重點：導數的概念的形成過程。

難點：對導數概念的實質理解。

5、學情分析

在學習基礎方面，大部分學生都有高中的學習經歷，高中數學中對導數已有簡單的介紹，并且剛學完極限的知識，所以對于新知教學有較好的基礎。在能力方面，求知欲望強烈，喜歡參與性學習，具有積極的學習態度，傾向于生動、形象的信息化教學。但也存在不足之處，部分學員抽象思維能力不夠強，而本節課的教學內容超過了學生的直觀經驗，所以理解起來，具有一定的難度。針對于這種學期，決定采用兩種直觀的方法，一個是建立表格，進行數值逼近，一個是畫幾何圖像，動態展示，最終讓學生突出重點，突破難點。

二、案例敘述

傳統的課堂教學一直都是老師單向灌輸、學生被動接受的局面，這樣不僅會使課堂氛圍枯燥乏味，更會使得作為認知主體的學生在整個教學過程中一直被動地接受知識，學生學習的主動性會被忽略，會被壓抑。所以如何在數學課堂上，注重學生的主體地位，引導學生主動性學習成為了課堂的關鍵。

筆者將此次課堂教學內容分為以下五個環節：

（一）新課導入

我們這學期的數學課主要學極限和微積分的兩部分內容。極限部分，我們在上節課已經學完了，它是微積分的基礎。從這節課開始，我們將開始微積分的學習之旅。微積分又分為兩部分，一個是微分，一個是積分，積分的雛形可追溯到古希臘和我國魏晉時期，而微分的概念直至十七世紀才應運而生，那么微分是在什么時代背景下產生的呢？十七世紀的歐洲，當時文藝復興帶來了人們思想的覺醒，神學的教條權威和繁瑣的哲學逐步被摧毀，封建社會開始解體，取而代之的是資本主義社會，生產力大大解放，促進了航海業、機械制造業和軍事的迅猛發展，迫切需要解決以下兩類數學問題：一是，在航海以及力學等領域中涉及到的變速直線運動的瞬時速度問題;二是，在光學等領域中涉及到求平面曲線某一點的切線斜率問題。這兩類問題利用當時的數學工具是解決不了的，在這樣的歷史背景下，著名的物理學家牛頓從物理角度出發，解決了第一類問題，而德國的數學家萊布尼茲則是從幾何角度出發，解決了第二類問題。巧合的是，他們對于這兩類問題的解答思路竟然驚人的相似。

（二）引例分析

1.引例：求變速直線運動的瞬時速度

以現實生活中的汽車在高速公路行駛，遇到定點測速的指示牌為例，引出求汽車在某一時刻 下的瞬時速度，假設這個汽車的路程和時間的關系為 。

針對瞬時速度這個新概念創設學生比較熟悉的問題情景，讓學生從概念的現實原型出發，體驗感受直觀背景和概念之間的關系，為學生主動建構新知提供自然地生長點。

建立表格，當時刻 附近的時間區間 變得越來越小時，觀察平均速度 的變化趨勢。通過對數值變化趨勢的分析，使學生自己發現、解決問題，得到瞬時速度是平均速度的極限的結論。

以上是從物理角度出發，接下來引導學生從數學角度出發，再分析一下這個問題。首先是對于這個結論的數學結構，是函數增量與自變量增量之比的極限;然后是解決這個問題時，所用到的數學思想，取一個時間區間 ，先分割，讓 變得越來越小，然后用每個區間上的平均速度近似代替瞬時速度，最后取極限，得到精確值。通過回顧解決過程，引導學生自己總結出所蘊含的數學思想是分割、近似、取極限。

2.引例：求曲線在某一點上的切線斜率

借助多媒體，先向學生展示高中所學的圓的切線的定義，發現這個定義并不適用于一般曲線，從而引出問題，一般曲線的切線是如何定義的？曲線上的某一點的切線斜率又如何求呢？

因為兩個引例所面對的問題是相似的，一個是速度不斷改變的問題，一個是斜率不斷改變的問題，而且兩位偉人在解決這兩類問題的時候思路又是相似的，所以可以采用與引例1中相同的方法解決第二類問題。

（三）講授定義

上述兩類問題只是當時的現實需求，從這兩類問題也可以拓展到其他領域，比如加速度，速度的增量與時間增量之比的極限;還有角速度，是轉過的角度與時間增量之比的極限。這些問題的結論都是一種特殊的極限。這種特殊的極限形式，在數學上，我們稱之為導數，從而引出導數的概念。

引導學生舍棄問題的具體含義，抽象出導數的定義，由淺入深，由易到難，由特殊到一般，幫助學生實現思維上的飛躍。

（四）練習反饋

例：計算函數 的導數。引導學生結合導數的定義式解決。先讓學生自己思考，老師進行巡回指導，發現問題，糾正問題，最后給出規范的解題過程。由 、 ，給學生留了一個課后思考題，思考一下， 的導數等于多少呢？

采用多層次、多角度的練習題，由易到難，不僅能夠滿足不同水平的學生的知識需求，還能幫助學生從知覺水平的應用到思維水平應用的自然過渡。

（五）小結

小結整理，建立體系化知識。通過對方法、思想和應用三方面進行總結，提煉計算方法，總結數學思想，增強學生的應用意識。

三、教學反思

在課堂上，要學會轉變，一個是以傳授知識為主要目標的繼承性教育轉變為以培養能力為主要目標的創新性教育;另外一個是以教師為中心的注入式教育，轉變為教師主導與學生主體作用相結合的探究式教育。