基本不等式的核心與本質

黃書冷

摘? 要：在新課程標準和新的評價體系的指導思想下，高中數學的教育教學的重心發生了很大的變化，提出了數學六大核心素養，加大了對學生能力的培養，加大了知識之間的聯系和相互運用，特別體現在讓學生自己取挖掘知識的內涵與本質上。基本不等式作為高中數學的一個重要知識，它的難度比較大，需要基礎的知識比較多，還有它的實際運用（最優化問題）也比較廣泛。在實際的教學中，絕大部分老師都會走公式推導、公式變形、公式運用的這樣一條老路，但是這種模式在體現和培養學生數學核心素養方面還是力度明顯是不夠的，我們應該繼續挖掘知識的內涵和本質，尋找各知識之間的關系。對于基本不等式這個知識點，除了公式的本身的推理、記憶、變式、運用，再強調“一正二定三相等”這七個核心關鍵字。這七個關鍵字，我們該如何對它進行解釋、強調？如何引導學生對它更深層次的認識？本文對此理解是：一正指兩個數是正數，也可以兩個數都是負數;二定指和為定值或積為定值，也理解是相乘和相加兩種形式;三相等指考慮等號成立的情況可不可以取得到，也可以就兩個數相等時取等號。

關鍵詞：不等式;兩種函數;思路

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1992-7711（2020）35-189-01

在實際的教育教學中，我們經常強調方程、函數、不等式三者之間的對應關系，比如解不等式先解方程，解方程看函數圖像（零點問題），解不等式看函數的圖像等等。那么對于基本不等式這樣一個新的知識，從名字我們的感覺它就是一個不等式，但是我們在課堂教學中就不能單一的強調它的不等式的性質，應該加入方程和函數的元素，讓學生掌握知識真正的內在本質，從而提升學生發現探索知識的能力。本文就通過對一個例題的四種解法過程的分析，來體現基本不等式內在本質。主要有：兩種形式（化和或化積）、兩個定值、兩種函數（二次或雙勾）、兩個數（a或b）。

【思路分析】利用基本不等式將有和有積的形式，化成全積的形式，再通過解一元二次不等式求出積的取值范圍，再代回求和的最值。重點考查了學生利用基本不等式變形的運用能力，是本質中兩種形式相互轉化的體現，將基本不等式變成一元二次不等式，體現知識之間的相互運用;另外也對學生解一元二次不等式的能力考查;

【思路分析】利用基本不等式將有和有積的形式，化成全和的形式，也是是本質中兩種形式的體現。對比方法一，采用了換元的方法，將是的形式做了一些簡化，通過解一元二次不等式求出和的取值范圍，寫和的最小值;

【思路分析】通過消元的思想，將含有兩個變量的式子變成只有一個變量的函數關系式（雙勾型函數），再構造積為定值，利用基本不等式求出和的最小值。消元法是一種非常適合減少變量，降低難度的方法，讓學生更容易去接受;函數思想是高中最重要的思想，通過本道例題的解題思路，可以得到一種解決不等式的通式通法，即變成只有一個變量的函數，利用函數的知識來解決這一類型題;本思路也用了構造法，體現了兩種定值中的積為定值的本質;最后解決問題又利用了基本不等式來求函數的最值問題，完美體現了知識之間的相互應用和相互轉化。

【思路分析】利用基本不等式中兩個正數的本質，提出“等位等價”的思想，即一個含有兩個變量的式子中，將兩個變量交換位置，式子本身沒有變化，那么他們就具有等位等價性。本題通過換元法的思想，將不是等位等價的兩個變量，變成兩個具有等位等價性的變量，從這個角度加大學生的思考力度，提出問題思考的方向，給出命題的方向。最后通過令兩個數相等，解一元二次方程，得出最值。本方法的最大優勢在于可以快速的解決選擇和填空題，更能體現知識的本質。

參考文獻：

[1]教育部考試中心? 普通高等學校招生全國統一考試大綱

[2]高考數學科考核目標研究.任子朝

[3] 基本不等式與“對勾”函數.余小芬、劉成龍

[4] 五大變形方法搞定基本不等式求最值問題.華燕萍

（作者單位：廣東省東源中學，廣東? ?河源? ?517500）