也談巧用隱形圓解題

郭敏

摘? 要：在近幾年初中數(shù)學(xué)中考壓軸題中，常涉及到隱形圓，這些題目難度較大，得分率低。本文通過歸納了能構(gòu)造隱形圓的三個條件，使學(xué)生對這類問題找到突破口，從而提升數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

關(guān)鍵詞：定點;定長;定角;構(gòu)造;隱形圓;四點共圓

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1992-7711（2020）35-045-02

在近幾年不少地區(qū)的初中數(shù)學(xué)中考題中，有一些壓軸題，呈現(xiàn)方式多樣、入手較難、得分率低，但深入挖掘題目中的隱含條件或潛在信息，通過一定的轉(zhuǎn)化或變形，反而可以轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，最終利用圓的知識來解決，我們稱這類問題為隱形圓問題。因此，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧，在第二輪中考復(fù)習(xí)中，筆者在講隱形圓這個專題時，給學(xué)生歸納了構(gòu)造隱形圓解題的三種思路。

一、由定長構(gòu)造隱形圓

當題目中的條件出現(xiàn)“定長”這個條件時，可考慮作隱形圓，然后利用圓中相關(guān)性質(zhì)來解題，達到化難為易、事半功倍的解題效果。

分析：觀察題目中的條件EA=EB=EC，既A、B、C三點到點E的距離相等，這就聯(lián)想到圓的定義：到定點的距離等于定長的所有點的組成的圖形叫做圓。則以點E為圓心，EA長為半徑作出隱形圓，如圖2，由圓的性質(zhì)：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可求得∠AEC=2∠ABC=140°，然后再通過四邊形內(nèi)角和，就可以得到∠DAE+∠DCE=360°-∠AEC-∠ADC=360°-140°-70°=150°.

該題的難度不大，比較容易從條件EA=EB=EC中構(gòu)造出隱形圓，先讓學(xué)生進行一個熱身，再進入難度稍大的題目，這樣學(xué)生就比較容易理解了。

分析：由條件AC = BC = DC，可以構(gòu)造出以點C為圓心，AC為半徑的隱形圓，如圖4.再延長AC交⊙C于E，連接DE.因為AC = BC = DC= 4，所以AE=2AC=8，又因為AC=DC，所以∠DAC=∠ADC.又因為AB∥CD，則∠BAD=∠ADC，所以∠DAC=∠BAD.根據(jù)在同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，可得弧BD=弧ED，所以BD=ED.又因為AE是直徑，由直徑所對的圓周角是直角，所以∠ADE=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理可得ED=? 82-62 =2? 7，所以BD=2? 7 .

學(xué)生在理解了例1后，做這題時可以很快構(gòu)造出隱形圓，再利用圓的相關(guān)性質(zhì)就可以求出BD的長了。

歸納：當題目條件中出現(xiàn)一個定點，并能找到這個定點的距離等于定長的這些條件時，就可以根據(jù)圓的定義構(gòu)造出隱形圓，再結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，化繁為簡，化難為易，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合思維和解題能力。

二、由定角構(gòu)造隱形圓

當題目中出現(xiàn) “定角”這個條件時，可考慮構(gòu)造隱形圓來解題。這是根據(jù)圓中的任意一條弦長確定后，則所對的圓周角也確定而來的。

例3：如圖5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°，求線段CP的最小值。

分析：由P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°，這個條件中可以看到：P點在運動過程中，始終保持∠APB=90°。因此，點P在以AB為直徑的圓上運動，作出此圓，圓心為O，如圖6.連接OC，交⊙O于點P，由“兩點之間線段最短”就可以得知此時的CP長度最小。因為AB=6，所以O(shè)B=OP=? ? AB=3.在Rt△OBC中，由勾股定理可得OC=? 32+42? =5，所以CP=OC-OP=5-3=2.

本題由“P是△ABC內(nèi)部一動點，且∠APB=90°”可知∠APB是一個定角，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，得出點P的運動軌跡是以AB為直徑的圓弧上，從而構(gòu)造出隱形圓。

例4：如圖7，在四邊形ABCD中，∠B=60，∠D=30，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度數(shù)

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）若AB=1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足AE2=BE2+CE2。求點E運動路徑的長度。

歸納：根據(jù)定理“同弧或等弧所對的圓周角相等”，當題目條件中存在“定角”時，可知這些問題中的動點的運動軌跡在某個圓上，從而構(gòu)造出隱形圓，使問題中隱晦不清的關(guān)系清晰展現(xiàn)出來。

三、由四點共圓構(gòu)造隱形圓

當題目中的條件有“對角互補”這樣的條件時，可考慮構(gòu)造隱形圓來解題。

分析：由條件∠ACB=∠ADB=90°，則可由四邊形的一組對角互補可證得A、B、C、D四點共圓，從而構(gòu)造出隱形圓，如圖11，再利用同弧所對的圓周角相等，得∠ADC=∠ABC=25°。

例6：已知四邊形ABCD是正方形，AB=4，點E在AD邊上，點F在AB的延長線上，∠DCE=∠BCF，AE= 1 . 求：tan∠ACE.

分析：由正方形ABCD可得∠DAB=∠DCB=∠D=∠ABC

筆者在講隱形圓專題時，根據(jù)學(xué)生的實際能力，設(shè)計的習(xí)題由淺入深，逐步鞏固強化。使學(xué)生對存在類似這三種條件的題目，知道入手方向，更好地借助圓的相關(guān)性質(zhì)來解題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造隱形圓來解決數(shù)學(xué)問題是一種廣泛的解題技巧。解題時，需要我們通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱形圓，運用數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、特殊與一般結(jié)合等思想方法。這也要求在平時的教學(xué)中教師多引導(dǎo)學(xué)生善于從復(fù)雜的幾何圖形中抓住圖形的本質(zhì)特征，抽象出常用的數(shù)學(xué)模型，化繁為簡，化難為易，從而不斷提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

參考文獻：

[1]沈萍華.道是無“緣”卻有“圓”──構(gòu)造隱形圓解題的幾種思路 [J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（3）：59—61.

[2]蔡衛(wèi)兵.“隱形圓”模型的探究與運用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017（4）：56—59.

[3]王運思.圖中無圓，心中有圓，“圓”來真好 [J] .數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（5）：3—4.

（作者單位：廣州市花都區(qū)新華街云山學(xué)校，廣東? ?廣州? ?510000）