關于曲率的示范課設計

摘要：本文提供了曲率的示范課設計思路，融入極限思想和數學建模思想，并給出了示教過程，對廣大的高校教師在曲率的教學方面起到了一個拋磚引玉的作用。

關鍵詞：曲率;數學建模;極限思想

曲率大家并不陌生，然而，想真正上好曲率這節課卻并不是很簡單，經常容易陷入單純推導公式和做題的尷尬境地。本文在借鑒了前人課程設計[1]的基礎上做了深入探討，并給出曲率的示范課設計。

1 提出問題

火車是常用的交通工具，當火車在直道上行駛時，不產生向心力，而火車在圓弧彎道上行駛時會產生較大的向心力mv2R（其中m：火車的質量;v：火車的速度;R：圓弧的半徑），如果火車直接由直道進入圓弧彎道，向心力就會由0突變到mv2R，因此容易導致事故的發生。為了行駛安全可以接入一段緩和曲線在直道和圓弧彎道之間，問：接入緩和曲線的原理是什么？緩和曲線的方程如何表示？

這些問題的回答都和曲線的彎曲程度有關，那如何刻畫曲線的彎曲程度呢？

2 分析問題[2]

一般的曲線在不同點處有不同的彎曲程度，因此，需要引入一個刻畫曲線上任意點處彎曲程度的量。觀察發現，在點的小鄰域內，任意點的彎曲程度近似相等，因此可以借鑒求瞬時速度的方法，先求出平均彎曲程度，再求一點處的彎曲程度。通過下面的實驗說明和平均彎曲程度有關的量。

結論1：弧長相同，弧段的彎曲程度增加，切線轉角增加，即兩者成正比;

結論2：切線轉角相同，弧段長度減少，彎曲程度增加，即兩者成反比。

下面刻畫弧段MM′彎曲程度的平均值。

假設C是一段光滑的曲線，M0是度量弧長s的基點，規定曲線的正向是x增大的方向，M是曲線上任意一點，有向弧段M0M的值s規定如下：M0M=s;M0M的方向與曲線的正向一致時s>0，相反時s<0。顯然，s是x的單調增函數。

由結論1、2可知，可以用單位弧段上切線轉角的大小來刻畫弧段MM′的平均彎曲程度，由于曲線的彎曲程度和彎曲方向無關，所以，記MM′的平均彎曲程度K-=ΔαΔs，稱之為平均曲率。根據前面的分析，如果平均彎曲程度的極限狀態存在，這個極限值就是曲線在點M處的曲率，記為K，K=limΔs→0ΔαΔs。

下面計算一下圖4的曲率。

練習：求半徑為R的圓上任一點的曲率。

解：Δs=R·Δα，K=limΔs→0ΔαΔs=1R

結論：圓上任一點的曲率相同。R越大，圓弧彎曲的越小;R越小，圓弧彎曲的越大。

為了更好地解決一般曲線在任意點的曲率問題，這里有必要討論利于計算的曲率的計算公式。

如圖3，曲線C的方程為y=f（x），該函數二階可導，點M處曲線的曲率為K，K=limΔs→0ΔαΔs=limΔs→0ΔαΔs=dαds

由前面學習的結果可知ds=1+y′2dx，下面討論dα。

由圖3可知，tanα=y′，則α=arctany′，dα=11+y′2·y″dx。將ds，dα代入K=dαds，得直角坐標系下曲率的計算公式K=y″（1+y′2）32。

在實際問題中，曲線的形式是多種多樣的，方程也不一定是直角坐標系下的方程，思考：當曲線的形式是參數方程、極坐標方程時曲率的計算公式如何？

練習：求曲線y=ax2+bx+c上曲率最大的點。

結論：拋物線上曲率最大的點是拋物線的頂點，且頂點處的曲率K=2a，a是二次項的系數。

上面已經得到刻畫曲線彎曲程度的量，也可以計算曲率了，但是給定一個點處的曲率為0.5，能否想象得到該點的彎曲程度呢？如果給定一個圓的半徑為2厘米，則很容易想到該圓每點處的彎曲程度。因此，為了更好地理解曲率和應用曲率解決實際問題，下面引入曲率圓和曲率半徑的概念。

3 曲率圓和曲率半徑

如圖5，設曲線C是光滑的，在點M（x，y）處，曲線y=f（x）的曲率為K（K≠0），在點M處曲線的法線上，在凹的一側取一點D，使得DM=1K=ρ。則有如下概念：

點M處的曲率圓：以D為圓心，以ρ為半徑的圓;曲率中心：D;曲率半徑：ρ。

在點M附近，曲率圓及曲線之間有很大的相似之處：

（1）共同切線;（2）凹向相同;（3）曲率相同。

應用：在實際應用中，當點M附近的曲線研究起來比較復雜時，通常會用該點處的曲率圓弧來取代，以簡化實際問題。

4 解決問題

分析：問題一，接入緩和曲線的原理是什么？

如果火車直接由直道進入圓弧彎道，向心力由0突變到mv2R，其數學本質是軌道在接入點O處曲線的曲率由0突變到1R（直線的曲率是0，圓弧在點O的曲率是1R）。因此，接入一段緩和曲線于直道與圓弧彎道之間，其目的是為了讓曲率連續的由0變到1R，圖6中OA為緩和曲線。

問題二：緩和曲線的方程如何表示？

（1）模型分析。根據《鐵路設計規范》技術要求，緩和曲線應該比較簡單，長度較短，且使得接入點O和A處的曲率連續變化。

（2）模型建立。如圖6建立直角坐標系，接入點O為坐標原點，直線軌道所在的直線為x軸，OA的長度為l，OA的方程為y=f（x），接入點A的坐標設為A（x0，y0），AB是圓弧，半徑為R，方程為y=g（x）。

（3）模型求解。緩和曲線滿足的條件：

f（0）=0，f（x0）=g（x0），f′（0）=0，f″（0）=0，KA=1R。

根據要求，緩和曲線的設計要簡單一點，即滿足條件f（0）=0，f′（0）=0，f″（0）=0，又比較簡單的曲線，可以設f（x）=ax3+bx2+cx+d。

根據條件計算可得f（x）=ax3，又因為緩和曲線在O和A處的曲率是連續變化，易得Kf=6ax1+9a2x432，容易看出KO=0，下面關鍵就是在接入點A處使曲率KA=6ax01+9a2x4032能夠連續的變化到1R，又因為緩沖曲線的設計一般比較短，則x0相對來說比較小，于是9a2x40可以忽略不計，則KA≈6ax0=y″（x0），x0是未知的，當緩和曲線較短時，l≈x0，則KA≈6al，又A是圓弧彎道上的點，所以KA=1R，即1R≈6al，a≈±16Rl，根據這里建立的坐標系，a取正，綜上可得緩和曲線的方程：y≈x36Rl。

5 結論

綜上所述，在得到了緩和曲線在A處的曲率KA=6ax01+9a2x4032時，由于考慮到緩和曲線比較短，因此直接忽略了9a2x40這一項，因此KA≈6ax0=y″（x0），由于曲率的計算公式為K=y″（1+y′2）32，因此，實際上是把y′忽略了。事實上，在一些現實問題中，當y′和1比起來比較小時，y′可以忽略，即有曲率的近似計算公式K≈y″。有了這樣的簡化，對于一些比較復雜的問題處理起來就要容易一些。

參考文獻：

[1]張聰，孫莉敏，等.關于曲率的教學設計[J].高師理科學刊，2017，9：6668.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：169173.

作者簡介：王佳穎（1987—），女，陜西咸陽人，碩士，講師，主要從事數學教學和數學建模方面的研究。