卡爾曼濾波在機車速度信號處理中的應(yīng)用

羅永升

湖南中車時代通信信號有限公司 湖南長沙 410100

在機車的安全控制系統(tǒng)中，機車運行速度是整個系統(tǒng)中至關(guān)重要的信號之一。通常，機車速度通過速度傳感器被轉(zhuǎn)換為脈沖信號，計算該脈沖信號的頻率值即可獲得相對應(yīng)的速度值。然而，在傳感器的轉(zhuǎn)換過程中，會存在隨機的轉(zhuǎn)換誤差；在采集脈沖信號并計算成速度值的過程中，也會存在精度誤差和舍入誤差。這些誤差都將成為疊加的白噪聲，使得安全控制系統(tǒng)所獲取的速度值與真實值之間存在一定的偏差，給行車安全帶來不利影響。同時，因機車運行環(huán)境的影響，速度傳感器可能會檢測并輸出瞬間的尖峰干擾；脈沖形式的速度信號在電磁環(huán)境的傳輸過程中也會引入尖峰干擾。這種突發(fā)干擾給速度信號的計算帶來了很大的量化誤差，必須進行預(yù)處理才能作為行車控制的依據(jù)。

為了降低隨機噪聲的影響并抑制突發(fā)干擾對速度信號的污染，需要利用隨機過程的統(tǒng)計特性，對速度信號進行自適應(yīng)濾波[1]。卡爾曼濾波正是基于以最小均方誤差為準(zhǔn)則的一種線性濾波，可根據(jù)觀測信號調(diào)整濾波增益，使估計速度在統(tǒng)計意義上最好地逼近真實速度。

1 機車速度信號處理的數(shù)學(xué)模型

如果對速度信號的采樣周期足夠短，取一階近似，可以認為在一個采樣周期內(nèi)，機車做勻加速直線運動，但要考慮隨機加速度的影響。

建立觀測方程如下

其中C是觀測矩陣，在本數(shù)學(xué)模型中

2 卡爾曼濾波原理介紹

卡爾曼濾波是解決以最小均方誤差為準(zhǔn)則的最佳線性濾波問題，該方法最大的優(yōu)點是可用于對非平穩(wěn)隨機過程進行處理，并且利用狀態(tài)方程和遞推方法進行估計[2]。在數(shù)字信號處理領(lǐng)域，采用離散卡爾曼濾波解決離散時間系統(tǒng)狀態(tài)矢量的遞推估計問題。

2.1 基本原理

在對機車速度信號的處理中，已知離散的狀態(tài)方程和觀測方程分別如式（1）和式（2）所示，這種狀態(tài)估計就表現(xiàn)為根據(jù)k時刻的估計結(jié)果的一個估計，所得的狀態(tài)估計矢量記為，估計的均方誤差為

用1kP+表示誤差協(xié)方差矩陣

2.2 線性估計模型

根據(jù)卡爾曼濾波的基本原理可知， 時刻的最優(yōu)線性估計應(yīng)該是k時刻估計量

其中1kG+是設(shè)計選擇的卡爾曼濾波增益矩陣，遞歸式（3）就對應(yīng)于離散卡爾曼濾波器。只要計算出最優(yōu)卡爾曼濾波增益，就可以獲得使均方誤差最小的最優(yōu)線性遞歸估計。

2.3 遞歸計算

由于卡爾曼濾波采用遞歸計算的方法，需要確定 k = 0 時刻的初始化問題[3]。由于初始值是未知的，在沒有 k = 0 時刻的觀測數(shù)據(jù)時，可以選擇初始狀態(tài)估計為

選擇初始誤差協(xié)方差陣為

結(jié)合已知條件和輸入輸出關(guān)系，將離散卡爾曼濾波的遞歸算法進行總結(jié)，如表1所示。

3 計算機仿真

在基于MATLAB環(huán)境的計算機仿真中，速度信號的采樣周期為50ms。

3.1 對隨機噪聲的濾波仿真

觀測數(shù)據(jù)中疊加的高斯白噪聲方差為0.9，針對隨機噪聲干擾的仿真結(jié)果如圖1所示，其中方形點（“□”）表示疊加了噪聲的觀測數(shù)據(jù)，星形點（“＊”）為濾波后的估計值，平滑線表示用于參考的真實值。

表1

圖1 疊加隨機噪聲的仿真圖

由圖1可以看出，濾波后的估計值是真實速度值的無偏估計，且均方誤差明顯小于觀測量的誤差。通過疊加統(tǒng)計獨立的隨機噪聲并進行多次仿真，計算出經(jīng)過卡爾曼濾波以后，估計值的噪聲均方誤差如表2所示。

表2 噪聲均方誤差表

3.2 對突發(fā)干擾的濾波仿真

在本仿真中，將突發(fā)干擾模擬為單采樣點的尖峰干擾，突變值為36 m/s（130km/h），且分為正向突變和負向突變。針對突發(fā)干擾的仿真結(jié)果如圖2所示，其中方形點（“□”）表示疊加了噪聲的觀測數(shù)據(jù)，星形點（“＊”）為濾波后的估計值，平滑線表示用于參考的真實值。

由圖2可知，卡爾曼濾波能有效的抑制尖峰干擾。并且調(diào)整加速度的擾動均方誤差，可以使濾波抑制后加速度的變化值與機車運行時加速度的物理極值相匹配。

4 算法可用性分析

4.1 計算量分析

在機車速度信號的卡爾曼濾波計算過程中，通過計算方法的調(diào)整，可以降低計算量。當(dāng)確定數(shù)學(xué)模型后，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A、觀測矩陣C得以確定且為固定值；觀測噪聲的方差是由整個機車的安全控制系統(tǒng)決定的，也為常數(shù)；加速度的擾動方差根據(jù)機車的物理加速度極值可設(shè)定為常數(shù)。因此，卡爾曼濾波的增益矩陣Gk、誤差協(xié)方差矩陣Pk與觀測數(shù)據(jù)無關(guān)，且隨著遞推運算次數(shù)的增加，Gk和Pk逐漸趨于穩(wěn)定值，從而這兩個矩陣可以離線計算并存儲在固定介質(zhì)中，減少了實時在線計算量，提高了實時處理能力。

離散卡爾曼濾波的狀態(tài)估計采用遞推估計方法，數(shù)據(jù)存儲量少，特別是避免了高階矩陣求逆的問題，提高了運算效率。在針對機車速度信號的處理中，如果機車的運行距離不依賴于估計的速度值而是利用單獨的方法進行計算，則可以將該數(shù)學(xué)模型設(shè)定為只包含速度和加速度兩個狀態(tài)的估計模型，從而所有的矩陣運算從三維降低到二維，進一步降低計算量，使算法的可用性得到提高。

圖2 勻速階段的突發(fā)干擾仿真圖

4.2 算法實現(xiàn)方案

速度信號為脈沖信號，需要專門的數(shù)字電路或集成模塊進行信號的采集，主要的方式有兩種：利用可編程邏輯器件（CPLD、FPGA等）或CPU自帶的脈沖處理模塊獲取離散數(shù)據(jù)，再分別進行硬件解析、軟件處理和表決，以實現(xiàn)對速度信號的安全計算。

5 結(jié)語

本文通過搭建機車運行的狀態(tài)方程和基于加性高斯白噪聲的速度值觀測方程，利用離散卡爾曼濾波算法估計機車的運行速度。該濾波算法以遞推方式進行線性估計，并能得到最小均方誤差的速度信號估計值。在實際應(yīng)用中，卡爾曼濾波能很大程度的降低高斯白噪聲帶來的隨機影響，且能有效的抑制突發(fā)干擾，是確保機車運行中速度安全和距離安全的重要手段之一；該方法的計算量小，實現(xiàn)方式簡單，適合在機車的安全控制系統(tǒng)中推廣使用。