考慮行人舒適度的空間纜索懸索橋車致振動(dòng)控制

唐茂林，王 鵬，2，李翠娟

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031;2.長(zhǎng)江勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430010)

0 引言

高速地鐵通過橋梁時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)的作用是隨時(shí)間變化的周期性荷載，在某特定軌道不平順譜影響下，可能使荷載激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率一致，引起結(jié)構(gòu)共振。共振導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的動(dòng)力響應(yīng)，影響橋上行人舒適度，此時(shí)有必要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制。許海亮[1]研究了路面不平整度激勵(lì)下車路耦合振動(dòng)，得出路面不平整度越差路面產(chǎn)生的振動(dòng)位移也越大；Den Hartog[2]首次提出了STMD系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧力作用下的最優(yōu)參數(shù)求解方法；Han[3]等利用阻尼比相同、調(diào)諧頻率等間隔分布的MTMD系統(tǒng)有效控制了結(jié)構(gòu)振動(dòng)；李春祥[4-5]對(duì)MTMD進(jìn)行了大量動(dòng)力分析，得出MTMD系統(tǒng)具有更好的有效性和魯棒性；樊健生[6]研究發(fā)現(xiàn)人-橋共振時(shí)采用MTMD將比單個(gè)TMD具有更高的減振效率；王文熙[7]研究了TMD系統(tǒng)在自身參數(shù)偏離下的減振有效性和可靠性問題,并給出增強(qiáng)TMD系統(tǒng)有效性和可靠性的一些建議。張鐸等[8]基于移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載列模型，研究了地鐵過橋時(shí)，諧振頻率、荷載列移速等對(duì)共振效應(yīng)的影響；肖新標(biāo)等[9]研究了TMD對(duì)不同速度簡(jiǎn)諧荷載激勵(lì)下橋梁動(dòng)力響應(yīng)的控制效果；郭文華[10]等提出TMD可有效抑制高速鐵路簡(jiǎn)支箱梁的共振效應(yīng)；王浩等[11]研究了TMD對(duì)南京長(zhǎng)江大橋車致振動(dòng)豎向加速度的控制效果；靖仕元[12]對(duì)長(zhǎng)沙磁浮工程道岔梁，采用多重調(diào)諧質(zhì)量調(diào)諧阻尼器(TMD)的方式控制一定激振頻率帶的振動(dòng)，達(dá)到控制頻率能全覆蓋；徐家云[13]研究得出TMD能夠較好地減小重載鐵路橋梁的振動(dòng)響應(yīng)。已有車致振動(dòng)控制方面的研究大都是基于鐵路簡(jiǎn)支梁或者連續(xù)梁橋，對(duì)帶有人行道的大跨度空間纜索懸索橋車致振動(dòng)方面的研究較少。

目前一些城市市政橋梁不僅承受地鐵軌道交通，還布置有人行道，對(duì)于這類橋梁，地鐵過橋時(shí)振動(dòng)問題突出，有必要對(duì)其行人走行舒適度進(jìn)行研究。本研究以某座跨度為(45+330+60) m的市政軌道交通懸索橋?yàn)楸尘埃罁?jù)表1中德國(guó)EN03[14]規(guī)范規(guī)定的采用峰值加速度作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，研究地鐵荷載作用下橋上行人的走行舒適度。該橋邊跨為平行纜，主跨為外張式空間纜，吊索間距為7.5 m，主梁采用桁架與箱梁的組合梁，在橋塔處連續(xù)通過，上層橋面承受雙向地鐵荷載，下層橋面布置有6 m寬的人行道。該橋?qū)嶋H設(shè)計(jì)中，兩岸橋塔塔頂橫向間距并不相同，矮塔側(cè)塔頂I.P點(diǎn)橫向間距為43 m，高塔側(cè)塔頂I.P點(diǎn)橫向間距為47.4 m，吊索下吊點(diǎn)橫向間距34.4 m。

表1 EN03規(guī)定的舒適度等級(jí)(單位：m/s2)

1 橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析

懸索橋具有強(qiáng)烈的非線性[15]，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與外載荷激勵(lì)的變化不成比例。懸索橋的車橋振動(dòng)分析為瞬態(tài)非線性分析，因此在ANSYS中建立結(jié)構(gòu)三維有限元模型如圖1所示。其中采用link10單元模擬吊桿和主纜，采用beam4單元模擬主塔和主梁，考慮車輛激勵(lì)在ANSYS進(jìn)行瞬態(tài)非線性時(shí)程分析。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

1.1 動(dòng)力特性分析

動(dòng)力特性是橋梁全局動(dòng)態(tài)剛度指標(biāo)的重要體現(xiàn)，是橋梁動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性主要包括結(jié)構(gòu)的振型、自振頻率、模態(tài)質(zhì)量等，本研究主要研究在地鐵激勵(lì)下該橋的豎向振動(dòng)，表2展示了該橋前三階豎彎振型的關(guān)鍵參數(shù)。

表2 主要振型自振頻率Tab.2 Natural frequencies of main modes

1.2 考慮軌道不平順的車致振動(dòng)分析

地鐵車輛作用主要由軌道不平順引起的簡(jiǎn)諧荷載和常量的軸重荷載疊加而成。地鐵激勵(lì)的簡(jiǎn)諧荷載幅值近似取為[8]P=0.2·Po=32 kN，地鐵主軸重Po=160 kN，則實(shí)際車輛荷載即可等效為圖2中按特定間距排列的簡(jiǎn)諧荷載。該橋設(shè)計(jì)地鐵為由6輛車編組的A型地鐵，圖中只示意了3輛，地鐵激勵(lì)大小為：

P(t)=160+32×sin(ωt)。

(1)

確定荷載模式以后，在該橋上下游加載相向而行的兩列簡(jiǎn)諧地鐵荷載列，模擬地鐵在橋上會(huì)車，諧振頻率分別與該橋的一階和三階豎彎模態(tài)頻率相同，由于二階豎彎模態(tài)質(zhì)量不大，并不能激發(fā)結(jié)構(gòu)共振，此處不做研究。圖3～圖4為移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載列作用下，主跨330 m范圍內(nèi)主梁位移和加速度時(shí)程變化圖，從圖中數(shù)據(jù)可以看出，在列車荷載激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)分別被激發(fā)了一階和三階豎彎共振，且一階豎彎模態(tài)頻率簡(jiǎn)諧荷載列激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)都要比三階頻率簡(jiǎn)諧荷載作用下的響應(yīng)大。結(jié)構(gòu)被激發(fā)一階豎彎共振時(shí)，主梁最大位移值為-0.393 m，最大加速度值為1.122 m/s2，行人走行舒適度等級(jí)為“不舒適”；激發(fā)三階豎彎共振時(shí)，主梁最大位移響應(yīng)為-0.224 m，最大加速度響應(yīng)為0.492 m/s2，行人走行舒適度處于“很舒適”等級(jí)。

圖2 地鐵簡(jiǎn)諧荷載(單位:kN)Fig.2 Simple harmonic load of subway(unit:kN)

圖3 一階豎彎頻率簡(jiǎn)諧荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.3 Structural responses under first-order vertical bending frequency harmonic loading

圖4 三階豎彎頻率簡(jiǎn)諧荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.4 Structural responses under third-order vertical bending frequency harmonic loading

2 基于TMD的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制

上一節(jié)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軌道不平順的諧振頻率與一階豎彎模態(tài)頻率相同時(shí)，行人走行舒適度處于“不舒適”等級(jí)，采用TMD對(duì)主梁振動(dòng)進(jìn)行控制是有必要的。

2.1 抑振原理

待控結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為質(zhì)量矩陣只有一個(gè)自由度的質(zhì)量塊Mp;結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為Cp;剛度系數(shù)為Kp;在待控結(jié)構(gòu)上裝置TMD系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制。單調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(STMD)系統(tǒng)只有單個(gè)子TMD；多調(diào)諧頻率質(zhì)量阻尼器(MTMD)系統(tǒng)具有多個(gè)子TMD，子TMD的自振頻率以結(jié)構(gòu)被控模態(tài)頻率為中心，按一定的間隔對(duì)稱分布。每一個(gè)子TMD都由一個(gè)質(zhì)量為mi的質(zhì)量塊、一個(gè)剛度系數(shù)為ki的彈簧以及一個(gè)阻尼系數(shù)為ci的線彈性阻尼器組成。根據(jù)子TMD頻率特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，STMD系統(tǒng)只能對(duì)一個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行控制，而MTMD系統(tǒng)則能對(duì)一個(gè)小的頻率段進(jìn)行控制。該橋利用STMD與MTMD系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制的力學(xué)模型如圖5、圖6所示。在主梁振幅響應(yīng)最大區(qū)域安裝N個(gè)子TMD，每個(gè)子TMD質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣分別為mi，ki，ci。可以把主梁運(yùn)動(dòng)微分方程寫成如下非矩陣形式：

(2)

式中，yp(x,t)為主梁在車輛激勵(lì)下各點(diǎn)的位移;P(t)為所計(jì)入軌道不平順影響后的地鐵激勵(lì)。假設(shè)第i個(gè)子TMD的位移響應(yīng)為yi(x,t)，可以得出如下第i個(gè)TMD的受力平衡方程式：

(i=1, 2,…,n)。

(3)

圖5 STMD力學(xué)模型 Fig.5 Mechanical model of STMD

圖6 MTMD力學(xué)模型Fig.6 Mechanical model of MTMD

2.2 參數(shù)確定

采用Den Hartog最佳參數(shù)確定方法[2]確定TMD最優(yōu)參數(shù)，其中最優(yōu)頻率比:

(4)

最優(yōu)阻尼比:

(5)

TMD主要物理參數(shù):

fTMD=f·αopt，

(6)

(7)

cTMD=2mTMD·ωTMD·εopt，

(8)

式中,f為主結(jié)構(gòu)待控振型自振頻率；μ為阻尼器質(zhì)量與結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量之比;ω為角頻率。

此處考慮到恒載撓度，STMD系統(tǒng)質(zhì)量比μ取0.02。依據(jù)以上方法，得出針對(duì)該橋一階豎彎模態(tài)振動(dòng)控制的STMD系統(tǒng)主要參數(shù)如表3所示。

表3 STMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)

文獻(xiàn)[4-5]介紹了MTMD主要參數(shù)的計(jì)算方法，其中平均頻率為：

(9)

第j個(gè)子TMD的頻率為：

(10)

頻率間隔為:

(11)

調(diào)諧頻率系數(shù):

(12)

則每個(gè)子TMD的調(diào)頻系數(shù):

(13)

總質(zhì)量比:

(14)

平均阻尼比系數(shù):

(15)

式中,ωs為橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率;ms為對(duì)應(yīng)模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量，調(diào)諧頻率系數(shù)與平均阻尼比可由公式(4)～(5)計(jì)算得到。一個(gè)TMD系統(tǒng)有n個(gè)子TMD，ωj為第j個(gè)子TMD的角頻率；ω1為第1個(gè)TMD的角頻率；mj為第j個(gè)子TMD的質(zhì)量;εj為第j個(gè)子TMD的阻尼比。

由等量分析原則，此處MTMD系統(tǒng)總質(zhì)量比也取0.02、最優(yōu)頻率間隔取0.16，采用5個(gè)質(zhì)量與阻尼比相同，阻尼系數(shù)與剛度系數(shù)不同的子TMD對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制。依據(jù)上述方法，計(jì)算針對(duì)該橋一階豎彎振動(dòng)控制的MTMD系統(tǒng)參數(shù)如表4所示。

表4 MTMD系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)表

2.3 振動(dòng)控制分析

在有限元模型中采用mass21單元模擬阻尼器的質(zhì)量，采用combin14單元模擬阻尼器的彈簧剛度和阻尼剛度，并將mass21單元與結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起。已有研究表明，在滿足空間要求的情況下，盡可能的把TMD布置在主梁動(dòng)力響應(yīng)最大的位置，其抑振效果最好[16]。如圖7所示，可以在桁架下層橋面跨中5片下橫梁中間預(yù)設(shè)節(jié)點(diǎn)板，將整個(gè)TMD系統(tǒng)裝配在圖中位置，最大限度減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

圖7 TMD系統(tǒng)在主梁上的布置圖Fig.7 Layout of TMD system on main girder

本研究主要針對(duì)一階振動(dòng)進(jìn)行控制，將表3、表4設(shè)計(jì)的STMD與MTMD系統(tǒng)布置在上述主梁跨中位置。圖8為雙向地鐵過橋時(shí)，兩類系統(tǒng)控制下跨中主梁位移、加速度時(shí)程曲線。從中可以看出STMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.751 m/s2，有效降低了33.2%；MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.712 m/s2，有效降低了36.6%。兩類系統(tǒng)都實(shí)行人舒適度進(jìn)入“中度舒適”等級(jí)，對(duì)比分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，MTMD系統(tǒng)具有更好的抑振效果。

圖8 跨中主梁位移、加速度響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.8 Time-history curves of displacement and acceleration response of main girder at midspan

2.4 參數(shù)敏感性分析

TMD在加工制造時(shí)存在加工誤差，可能引起自身參數(shù)與設(shè)計(jì)值不相符，影響抑振效果[17]。此處對(duì)STMD、MTMD系統(tǒng)的子TMD主要參數(shù)存在誤差時(shí)的抑振能力進(jìn)行研究，結(jié)果可作為TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的依據(jù)，也可對(duì)分析TMD制造誤差影響抑振效果提供參考。在表3、表4設(shè)計(jì)參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別讓質(zhì)量、剛度、阻尼參數(shù)按下述3種狀態(tài)發(fā)生偏移。

狀態(tài)1：在剛度和阻尼保持不變的情況下，各子TMD質(zhì)量按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生改變；

狀態(tài)2：在質(zhì)量和阻尼保持不變的情況下，各子TMD剛度按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生改變；

狀態(tài)3：在質(zhì)量和剛度保持不變的情況下，各子TMD阻尼按其設(shè)計(jì)參數(shù)的0.7，0.85，1.15，1.3倍發(fā)生偏改變。

圖9繪出了跨中加速度響應(yīng)極值隨著子TMD質(zhì)量、剛度、阻尼發(fā)生偏移時(shí)的變化情況。從中可以看出：子TMD質(zhì)量發(fā)生偏移時(shí)，系統(tǒng)的抑振效果會(huì)下降；剛度增加15%獲得更好的抑振效果，此時(shí)STMD與MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.731，0.681 m/s2，分別降低了34.8%，39.3%；隨著子TMD阻尼的增加，系統(tǒng)的減振效率呈單調(diào)下降趨勢(shì)，但影響不明顯。

圖9 加速度峰值隨TMD偏移變化曲線Fig.9 Curves of acceleration maximum value vs. deviation of TMD

3 魯棒性分析

3.1 結(jié)構(gòu)自身頻率變化的魯棒性分析

橋梁在運(yùn)營(yíng)期間，結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生收縮徐變[18]，建筑材料也可能存在老化現(xiàn)象，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)實(shí)際自振頻率與TMD設(shè)計(jì)時(shí)所采用的并不一致，進(jìn)一步對(duì)STMD與MTMD系統(tǒng)的抑振效果帶來影響。為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)自振頻率改變，本研究將該橋跨矢比由8.5修改為9.5，結(jié)構(gòu)一階豎彎模態(tài)頻率降到1.95 rad/s，進(jìn)而研究抑振系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)自身頻率改變后的魯棒性能。表5列出了頻率變化后，雙向地鐵激勵(lì)下兩類系統(tǒng)的抑振效果，從中可以發(fā)現(xiàn)，MTMD系統(tǒng)依舊具有較高的有效率，跨中加速度減小了32.4%，STMD系統(tǒng)減小了29.7%。由此可見，MTMD抑振系統(tǒng)具有更好的魯棒性，能更長(zhǎng)久保障橋上行人舒適度。

表5 不同模型加速度響應(yīng)極值(單位：m/s2)

3.2 TMD個(gè)數(shù)對(duì)抑振系統(tǒng)魯棒性的影響

保證質(zhì)量比為2%不變的前提下，分別將13個(gè)，9個(gè)，5個(gè)，1個(gè)子TMD裝置原橋主梁跨中，研究MTMD系統(tǒng)魯棒性隨子TMD個(gè)數(shù)的變化情況。隨著子TMD個(gè)數(shù)的減少，單個(gè)子TMD的質(zhì)量與體積也將增加。采用9個(gè)子TMD時(shí)，可以考慮將子TMD布置在下橫梁與下弦桿交點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)板，同一個(gè)下橫梁與兩片桁架的節(jié)點(diǎn)處就可以布置兩個(gè)子TMD；采用13個(gè)子TMD時(shí)，可以同時(shí)將子TMD布置在下橫梁與兩片桁架的節(jié)點(diǎn)以及下橫梁中間的節(jié)點(diǎn)，同一個(gè)下橫梁上就可以布置3個(gè)子TMD。這樣盡可能的將TMD布置在橋梁跨中附近，可使TMD系統(tǒng)發(fā)揮更好的抑振效果。

分析過程中，激勵(lì)荷載選用前文介紹的地鐵模型，模擬雙向地鐵在橋上會(huì)車，地鐵諧振頻率為1.87 rad/s。作用地鐵激勵(lì)頻率與該橋一階豎彎模態(tài)頻率2.07 rad/s偏移時(shí)，各類MTMD系統(tǒng)的加速度響應(yīng)如圖10所示，從中可以發(fā)現(xiàn)，主梁的加速度響應(yīng)極值隨著TMD個(gè)數(shù)的增加有所下降，但幅度逐漸減弱，趨于平緩。因此，適當(dāng)?shù)脑黾覶MD個(gè)數(shù)，可以有效解決激勵(lì)荷載頻率改變對(duì)橋上行人舒適度帶來的影響。

圖10 加速度峰值隨TMD個(gè)數(shù)變化曲線Fig.10 Curves of acceleration maximum value vs. number of TMD

4 結(jié)論

本研究依托某市政軌道交通空間纜索體系懸索橋，以橋上行人走行舒適度為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)該結(jié)構(gòu)在考慮軌道不平順影響的簡(jiǎn)諧地鐵荷載激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析，并分別研究了調(diào)諧質(zhì)量阻尼器STMD以及MTMD系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)的抑振效果。本研究主要結(jié)論如下：

(1)該橋一階豎彎振型模態(tài)質(zhì)量較大，當(dāng)軌道不平順的諧振頻率接近該模態(tài)頻率時(shí)，容易激發(fā)結(jié)構(gòu)共振，引起橋上行人走行不適。

(2)無阻尼器時(shí)，跨中加速度響應(yīng)極值為1.122 m/s2；STMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.731 m/s2，有效降低了34.8%；MTMD系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)最大加速度為0.681 m/s2，有效降低了39.3%。添加阻尼器使橋上行人舒適度從“不舒適”進(jìn)入“中度舒適”。

(3)結(jié)構(gòu)自身頻率發(fā)生改變時(shí)，MTMD系統(tǒng)也能較好地控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，魯棒性良好；另外，隨著TMD個(gè)數(shù)的增加，MTMD系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步提高。