試論統計學在高等數學教學中的應用

曹鉆

高等數學是大學中最重要的必修課之一，但是高等數學的門檻較高，在高等數學課堂上引入統計學方法，有助于學生理解并應用高等數學知識。本文簡述了高等數學教學與統計學的發展現狀，分析了高等數學與統計學的共同點，為統計學內容在高等數學教學中的運用奠定了堅實的基礎，提出了在高等數學教學中利用統計學知識的可行策略。

1 高等數學教學與統計學的發展現狀

在大學的高等數學教學過程中，教師們需要通過不斷的創新自己的教學模式，才能激發學生們的學習興趣。現在我國教育課程改革中大力倡導新型課堂，在這種新型課堂之中，學生能夠更多地參與課堂教學，當有沒弄清楚或者不明白的時候可以直接向教師提出。通過這種教學模式，學生不僅能夠提高自己的學習效率，教師也可以從中發現自己在教學過程中還有哪些可以提高的地方，并在之后加以改進。

統計學是數學課程中一個重要的分支，它以隨機現象量的規律研究為主要內容。這門學科涉及到很多方面，小到各種圖表，大到概率論等，都可以被視作統計學方面的內容。統計學在人們的生產和生活中有著極為廣泛的應用，為人們工作的開展帶來了許多便利。

2 高等數學與統計學的共同點分析

高等數學與統計學作為大學數學學習中的兩大學科，存在很多共同之處。首先，二者具有十分相似的基礎。高等數學是大學學科中非常重要的一門學科，是所有學校許多專業的必修課之一。統計學也是數學王冠上一顆璀璨的寶石，在整個學科中有著舉足輕重的地位，是數學學習中不可缺少的知識，利用統計學知識作為工具，可以解決很多難題。從具體內容上來說，高等數學和統計學都需要以變量作為基本的研究對象，所以具有十分相似的理論基礎。其次，高等數學和統計學在教學中也具有很多的相似之處，無論是高等數學還是統計學，都要求學生有著扎實的數學基礎。

3 統計學在高等數學教學中的應用

3.1 利用統計學中的數形結合思想來構建數學模型

從數學這門學科誕生的那一天起，數形結合的思想就在數學學科的發展之中得到了充分的應用，并且在今天仍然表現出了旺盛的生命力。為了提升教師在高等數學課堂上的教學效率，教師可以將統計學中應用非常廣泛的數形結合思想應用在高等數學的教學過程中。教師可以通過構建一些數學模型，幫助學生理解或者證明一些高等數學中的定理。例如在“間斷點分類”這一節課的講解過程中，如果教師能夠根據課本上的講述以及自己的教學經驗繪制出間斷點的圖象，如圖3-1所示。學生們就可以從教師繪制的坐標系中看到第一類間斷點函數左右象限均是存在的，第二類間斷點函數至少有一個左右象限是不存在的。理解了這些知識，學生們在學習連續函數的相關知識的時候就會輕松很多，不會再犯一些最基礎的錯誤。

圖3-1 間斷點的分類

3.2 利用統計學知識簡化高等數學的證明

高等數學中包含了許多的定理，這些定理是數學大廈之中的根基與骨架，如果沒有這些數學定理的支撐，高等數學將舉步維艱甚至不復存在。對于學生來說，這些定理的證明很多情況下是一個讓人頭痛的問題，如果教師還是采用傳統的教學引導過程，學生們很有可能會因為過程的過于繁瑣復雜而感到無趣，甚至主動放棄這一塊的知識。例如微分學中的基本定理之一的拉格朗日中值定理，如果函數滿足兩個條件：在閉區間上連續;在開區間內可導;那么在開區間內至少有一點使拉格朗日中值公式成立。可以巧妙借助統計學思想，構造輔助函數，根據羅爾定理可得至少有一點在范圍內且導數為，變形后即可證明。

再比如在證明高等數學中一些不等式的時候，可以適當選擇構造隨機變量的方式，對其進行證明。

在這種情況下，教師就要另辟蹊徑，采用統計學的知識來幫助引導學生進行定理的證明，可以讓學生們耳目一新，掌握實用的數學思維。統計學的很多知識在高等數學中的定理證明中會發揮出具大的作用，學生會在理解題意的基礎上發散思維，在積極思考的過程中完善自身的數學知識架構，擁有簡潔明晰的證明思路。

3.3? 統計學在高等數學教學質量評估中的應用

除了高等數學教學內容上可以與統計學結合以外，統計分析方法還可以被應用于高等數學教學質量評估當中。一般而言，在進行高等數學成績評估時，會綜合考量學生各項表現，以得到更為準確的評定結果。那么利用多元統計分析，便可以十分清晰的對其教學成果進行評價，得到的分析結果也可以對于日后教學方式改進起到一定參考作用。

假設在進行教學成果評估時需要參考個指標，記為隨機變量，進行主成分分析之后成為對個指標形成的線性組合進行分析研究，得到新的主成分，有如下關系：

要注意對于重要信息量的保留，充分全面反映原指標內容。SPSS軟件正是利用多元分析理念，實現對高等數學教學質量的有效評估，確定出各線性組合中權重較大的指標，有效反映出影響課堂教學效果的主要影響因素，對分析提升高等數學教學水平有著非常重要的反饋意義。

4 結語

高等數學有其固有的特點，就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。統計學作為近代數學的重要組成之一，對于高等數學教學的優化具有重要的啟發作用。為了提高高等數學課堂中的教學效率，教師在教學過程中引入一定的統計學思維，可以幫助學生拓展思維，打破思維定式，激發學生們的學習興趣，取得優秀的成績。

（作者單位：西安培華學院）