關于二元不定方程整數解的MATLAB解法

張志恒

(鄭州財稅金融職業學院，鄭州 450048)

0 引言

不定式的方程是指由多個未知數組成且未知數取值為整數的方程，本研究的主要目標是二元不定式，即方程中含有兩個未知數。定數方程的定義式為：xn+yn=zn，n≥2。現階段，不定式方程并沒有一個統一的解題方法，需根據不定式的基本原則對不定式方程進行求解，然后再根據這一原則利用高等數學、初等數學中所學的知識進行解題。本研究將以二元不定方程整數解的MATLAB解法為例來介紹如何通過MATLAB軟件求取不等式的解。

1 基本定義介紹

1.1 二元不定方程定義

形如xn-Dy2=c的方程為二元n(n≥2)次不等式，其中D是一個不等于0的正整數，c是一個不等于0的整數。需要注意的是，當出現n=2，c=±1時，此方程式就為二元一次不定式。

1.2 MATLAB相關編程定義

MATLAB軟件是由美國MathWork公司研發而成的一款數學軟件，該軟件主要用于數據的可視化、數據分析、數學運算等，是一款高級計算語言軟件。該軟件的產生為科學研究者、工程設計者帶來了很多方便，為他們提供了更加全面的問題解決方案，MATLAB軟件的研發出品具有非常重要的意義。

MATLAB與Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件，其中MATLAB的基本數據單位與Mathematica、Maple的基本數據單位截然不同，其基本數據單位為矩陣，因此它的數學運算能力更加突出。①for循環：for循環是指對循環的結果進行輸出，for循環主要包括以下幾個單詞：index、increment、endvalue。它們在for循環語句中所代表的含義：index是指循環變量；increment是指增量；endvalue是指對運行的循環進行中止判斷。②if與 else或elseif的連用：if與else或elseif的連用是對前面邏輯問題的選擇，如果對前面的邏輯條件選擇認同，那么就使用if else語句。如果對前面的邏輯條件選擇否認，那么就使用if elseif。③函數floor(x)：函數floor(x)是指x向左進行整數取值。例如：floor(-2.6) =-3，floor(3.7)=3。④函數sqrt(x)：函數sqrt(x)是指進行x平方根的取值。例如：sqrt(16)=4。⑤函數power(x，1/n)：函數power(x，1/n)是指進行x的n次方根的取值。例如：power(9，1/2)=3。⑥“==”表示當對兩個式子進行計算時，如果兩個式子的值相等，那么程序將自動返回到1進行運算。如果兩個式子的值不相等，那么程序將自動返回到0進行運算。

2 編程求解二元不定方程整數解的MATLAB設計思路

step1：對x0、y0這兩個重要變量進行定義，然后對y取值范圍進行設定，本程序對于y的取值范圍規定為y≤50 000。

step2:確定本程序循環的表達式以及需要執行的次數，并將“s”定義為不定式整數解的個數。

step3：確定本程序循環中for循環的語句，然后根據不定式整數解的算法過程確定for循環執行的次數，并對循環次數x、y進行定義。

step4：對于不定式的求解過程使用if語句來實現，并對整數解進行輸出，完成輸出后結束整個程序。

3 編程求解二元不定方程整數解的MATLAB設計程序

利用MATLAB軟件來求取二元不定方程整數解，本研究針對這個問題進行了編程設計，具體程序如下：

(1)進行二元二次不定式方程x2+Dy2=c(y≤50 000)的求解程序為：

x0=?；y0=?；

y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(D*50 000^2+c))；

x=1∶x1;s=0;

for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;

if x^2-D*y^2==c；

s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;

end

end

end

(2)推廣：二元n次不定式方程xn+yn=c(y≤50 000)的求整數解程序為：

x0=?；y0=?；

y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(D*50 000^n+c))；

x=1∶x1;s=0;

for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;

if x^n-D*y^n==c；

s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;

end

end

end

4 用MATLAB程序解二元不定方程的應用

例1：求以下二元二次不定方程x2-43y2=-3(y≤50 000)的整數解。

解：將以上二元二次不定式方程所給出的已知條件帶入到以下的MATLAB程序中：

x0=?；y0=?；

y=1∶50 000；x1=floor(sqrt(43*50 000^2+1-3)，1/1)；

x=1∶x1;s=0;

for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;

if x^2-43*y^2==-3；

s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;

end

end

end

通過以上的程序運算，得出此二元二次不定式的整數解為：

x0=[13，400，90 932]；y0=[2，61，13 867]；S=3

例2：求取下面二元三次不定式x3-26y2=1(y≤50 000)的整數解。

解：將以上二元三次方程中的已知條件帶入到MATLAB程序中：

x0=?；y0=?；

y=1∶50 000；x1=floor(power(26*50 000^2+1,1/3))；

x=1∶x1;s=0;

for y=1∶1∶50 000;for x=1∶1∶x1;

if x^3-26*y^2==1；

s=s+1；x0(s)=x;y0(s)=y;

end

end

end

通過MATLAB程序的運算能夠快速求得x3-26y2=1(y≤50 000)的整數解，即x0=[3,313]；y0=[1，1 086]；S=2。