QQ直播課堂教學(xué)模式探究
——以三重積分定義為例

張艷妮

(吉林建筑科技學(xué)院，長春 130112)

1 三重積分的定義教學(xué)設(shè)計

1.1 通過解決非均勻物體的質(zhì)量問題引出課題

通過計算一杯水和一塊鉆石的質(zhì)量來總結(jié)出水和鉆石的共同點，即密度是均勻不變的，還總結(jié)出密度均勻的物質(zhì)其質(zhì)量都等于密度乘以體積。要想求出一個密度均勻物體的質(zhì)量，應(yīng)先將物體置于空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)物體為Ω，密度函數(shù)μ(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，求物體Ω的質(zhì)量。物體的密度是不斷變化的連續(xù)函數(shù)，可以借助分割、近似、求和、取極限這四步來求物體的質(zhì)量。

分割：通過三組曲面將物體分成n個小的閉子區(qū)域，每個小區(qū)域的體積記為Δvi，小區(qū)域的直徑記為di。近似：在每個小區(qū)域上任取一點，以該點處的密度來近似代替整個小區(qū)域的密度，該密度乘以小區(qū)域的體積就是小區(qū)域質(zhì)量的近似值。求和：對得到的n個小區(qū)域質(zhì)量近似值求和，進(jìn)而得到整個物體質(zhì)量的近似值。取極限：當(dāng)每個小區(qū)域的直徑都特別小，直徑的最大值趨于0時，求得的質(zhì)量近似值就無限趨于要求的精確值，這兩個趨近過程就是求極限的思想。當(dāng)每個小區(qū)域直徑最大值趨于0時，對所求得的和式取極限就能得到物體Ω質(zhì)量的精確值，也就是固定和式的極限。若極限值存在，就稱這個極限值為函數(shù)在Ω上的三重積分。

在三重積分的講解過程中，理論講解比較枯燥且抽象，學(xué)生難以理解，對此，可在PPT中插入一些圖片，并進(jìn)行一些動畫設(shè)計。這樣不僅保證了課程內(nèi)容的生動形象，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解能力。從qq在線課堂的教學(xué)情況可以看出，學(xué)生的參與程度較好。

1.2 對三重積分的定義進(jìn)行講解說明

利用PPT給學(xué)生展示三重積分的定義，并按照分割、近似、求和、取極限這四個步驟對定義進(jìn)行講解，最后給出了三重積分的定義式以及各符號的名稱。通過對定義進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生一起給出對于三重積分定義的幾點說明：①三重積分的實質(zhì)就是固定和式的極限。②借助三重積分的定義，可以推導(dǎo)出本節(jié)課引入的例子就是密度函數(shù)在有界閉區(qū)域Ω上的三重積分，也就是說三重積分的物理意義是密度非均勻物體的質(zhì)量。③由定義中的條件可以得出，三重積分存在的充要條件是要求被積函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)連續(xù)。④提出問題讓學(xué)生自主思考被積函數(shù)是1的三重積分所代表的意義。根據(jù)三重積分的定義，當(dāng)被積函數(shù)是1時，右側(cè)的和式極限就相當(dāng)于對n個小區(qū)域的體積求和，得到的就是整個閉區(qū)域Ω的體積。以后再遇到求曲頂柱體體積的問題，除了可以用二重積分來求，也可以用被積函數(shù)是1的三重積分來求。

1.3 對三重積分問題進(jìn)行求解

將三重積分分解為三次積分，并在空間直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系這三種坐標(biāo)系中進(jìn)行分解。空間直角坐標(biāo)系：將有界閉區(qū)域分成n個小的閉子區(qū)域，除了含有邊界曲面的區(qū)域外，中間的區(qū)域都是長方體，長方體的體積就等于長、寬、高的乘積，因此，長方體的體積元素dV=dxdydz。計算過程中，可以將三重積分按照這三個變量的范圍分成三次積分來進(jìn)行求解。柱面坐標(biāo)系：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的關(guān)系將三重積分直角坐標(biāo)系中的x,y替換成極坐標(biāo)r,θ，那么(r,θ,z)就是所建立的柱面坐標(biāo)。這些內(nèi)容學(xué)生學(xué)習(xí)過，可以引導(dǎo)學(xué)生自己建立出柱面坐標(biāo)系，并確定這三個坐標(biāo)的范圍以及它們都是由哪些平面組成的。畫出平面后，學(xué)生還可以對照直角坐標(biāo)系得出柱面坐標(biāo)系中的面積元素表達(dá)式，并利用柱面坐標(biāo)系的特點將三重積分化為三次積分來進(jìn)行求解。球面坐標(biāo)系：用球面上的點與原點的距離r作為其中一個變量，用球面上的點與原點連線，將其與z軸的夾角φ作為第二個變量，第三個變量是極坐標(biāo)中的極角θ，由這三個變量構(gòu)成的坐標(biāo)系被稱為球面坐標(biāo)系。

可利用PPT動畫功能將這三個曲面給學(xué)生演示出來，并讓學(xué)生總結(jié)出這三個變量的范圍以及面積元素表達(dá)式。還應(yīng)結(jié)合具體實例給學(xué)生講解如何在球坐標(biāo)系下將三重積分化為三次積分來進(jìn)行求解，讓學(xué)生掌握這三個不同坐標(biāo)系的形成過程、特點及區(qū)別，使其明白這三個坐標(biāo)系分別適合于什么類型的三重積分求解，教師應(yīng)針對具體問題進(jìn)行講解。

2 QQ直播課堂的教學(xué)模式

在QQ直播過程中，學(xué)生可以聽到教師具體、細(xì)致的講課過程，還能看到生動的課件動畫演示，能夠最逼真地模擬實際上課流程，但仍與實際授課過程存在一定差距，不能完全達(dá)到與學(xué)生面對面的教學(xué)效果，也不能實時關(guān)注學(xué)生具體的聽課情況。針對這些問題，應(yīng)在QQ直播過程中與學(xué)生進(jìn)行在線互動。

2.1 在課前進(jìn)行課程錄制

在每節(jié)課上課之前，教師應(yīng)把要講的知識點提前錄制出來，這樣做的目的有兩個，一是防止在上課過程中因網(wǎng)絡(luò)突然出現(xiàn)故障而影響學(xué)生正常上課，可以讓學(xué)生先自主學(xué)習(xí)，這種方法既能為維修網(wǎng)絡(luò)爭取時間又不會耽誤學(xué)生學(xué)習(xí)。二是每節(jié)課后把課程視頻發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行課后鞏固。

2.2 在課前進(jìn)行打卡簽到

在課程開始時，應(yīng)發(fā)布上課打卡小程序，讓學(xué)生以自己的班級、姓名、學(xué)號來進(jìn)行打卡，設(shè)置時間3 min，在3 min內(nèi)打卡則說明學(xué)生按時上課。之所以設(shè)置為3 min，是為了防止學(xué)生網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)問題，可以給學(xué)生一個簡單修復(fù)的時間。

2.3 統(tǒng)計直播課堂的出勤率

為了防止出現(xiàn)學(xué)生打卡后不進(jìn)直播課堂聽課的情況，需在直播課堂的授課過程中分幾個時間段不定時統(tǒng)計幾次學(xué)生的出勤率，如果統(tǒng)計幾次學(xué)生都不在線，那就說明學(xué)生曠課了。如果學(xué)生只是偶爾一次不在線，也有可能是因為網(wǎng)絡(luò)掉線了，一定要分多次進(jìn)行統(tǒng)計，不能用一次的結(jié)果作為最終結(jié)果。

2.4 采用連麥的方式與學(xué)生直接互動

連麥分為兩種情況，一是點名讓學(xué)生與教師通過連麥來回答問題，這種方法既可以考查學(xué)生對所講內(nèi)容的理解，又可以檢查學(xué)生的聽課情況，能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)起到督促作用。二是學(xué)生有問題時可主動與教師連麥，教師可以直接針對問題進(jìn)行解答。

3 結(jié)語

QQ直播課堂這種授課方式在互動上還存在一些不足，具有一些局限性，但卻不受時間和地域的限制，課后學(xué)生的反響較好，能基本滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，會成為未來一種常見的輔助授課方式。