四階色散非線性薛定諤方程的明暗孤立波和怪波的形成機制*

李敏 王博婷 許韜 水涓涓

1) (華北電力大學數理學院, 北京 102206)

2) (中國石油大學 (北京)理學院, 北京 102249)

本文研究了四階色散非線性薛定諤方程的明暗孤立波和怪波的形成機制, 該模型既可以模擬高速光纖傳輸系統中超短脈沖的非線性傳輸和相互作用, 又可以描述具有八極與偶極相互作用的一維海森堡鐵磁鏈的非線性自旋激發現象.本文首先通過對四階色散非線性薛定諤方程的相平面分析, 發現由其約化得到的二維平面自治系統具有同宿軌道和異宿軌道, 并在相應條件下求得了方程的明孤立波解和暗孤立波解, 從而揭示了同異宿軌道和孤立波解的對應關系; 其次, 基于非零背景平面上的精確一階呼吸子解, 給出了呼吸子的群速度和相速度的顯式表達式, 進而分析得出呼吸子的速度存在跳躍現象.最后, 為了驗證在跳躍點處呼吸子可以轉化為怪波, 將呼吸子解在速度跳躍條件下取極限獲得了一階怪波解, 從而證實怪波的產生與呼吸子速度的不連續性有關.

專題：非線性物理

1 引 言

孤子、呼吸子和怪波是自然界中三種典型的非線性波現象, 由于在非線性光學、玻色-愛因斯坦凝聚、大氣物理以及等離子體等領域中的潛在應用而受到密切關注[1?20].其中, 孤子在群速度色散和非線性效應均衡作用下可以保持不變的波形和速度穩定地傳播, 從而在長距離、大容量和高速率光纖通信系統中有著重要應用[9].呼吸子的產生源于小擾動引起的平面波調制不穩定性[9].研究發現, 經典的非線性薛定諤方程(NLSE)具有兩類呼吸子解 : Kuznetsov-Ma 呼 吸 子 (簡 稱 KMB)[10]和Akhmediev 呼吸子 (簡稱 AB)[11].另外, 怪波在數學上可以通過NLSE的有理解(即KMB或AB呼吸子解的一種退化情形[10,11])進行描述, 同時也可以作為在周期邊界條件下不穩定Stokes波的一種同宿軌行為[12,13].怪波最早被用來描述在海洋中發現的來無影去無蹤的大振幅畸形波[14,15], 近年來也在非線性光學和水槽實驗中被觀察到[16,17].通常情況下, 學者們認為只有非線性可以解釋由能量的大量聚集而形成的高于周圍波平均高度的單個水峰現象[18,19], 并且認為調制不穩定性是怪波產生的初始過程[20].

近幾年, 人們在實驗和理論上開展了大量關于怪波形成機制的研究.例如, 文獻[21]在一個大的定向波池實驗中討論了平面波的調制不穩定性, 該研究為有限水深條件下怪波的產生給出了一定解釋; 文獻[22]通過光學實驗研究了在連續波泵浦區域超連續統的時間特性, 從而指出怪波可由孤子之間的相互碰撞產生; 文獻[23]借助數值模擬發現拉曼效應和三階色散可以激發怪波的形成; 文獻[24,25]在理論上指出由速度跳躍可以使得呼吸子演化為怪波, 并且非線性偏微分方程的行波解與對應的常微分方程的軌道存在對應關系, 即, 常微分方程中的同宿軌道和異宿軌道分別與非線性波方程中的孤立波和沖擊波相對應, 而對于非線性薛定諤型方程, 其約化后的常微分系統的同宿軌道和異宿軌道則分別對應鐘型的明孤立波解、沖擊波解或倒鐘型的暗孤立波解[26,27].

本文將從結構不連續性角度研究如下四階色散非線性薛定諤方程[28?30]的孤立波解和怪波解形式機制:

其中q(x,t) 代表波的慢變包絡振幅,x和t是歸一化的空間和時間變量,ε2是一個表示高階線性和非線性強度的無量綱小參數,aj(j=1,2,···,8 )為實參數.方程(1)主要來源于光纖光學和磁力學:在光學中可以模擬高速光纖傳輸系統中超短脈沖的非線性傳播及相互作用[31], 在磁力學中亦可描述具有八極與偶極相互作用的一維海森堡鐵磁鏈的非線性自旋激發現象[32].特別地, 當參數取值為a1= 1,a2= 2,a3= 1,a4= 8,a5= 2,a6= 6,a7= 4,a8= 6 時, 該方程是一個可積模型, 具有Lax對和無窮多守恒律[33].文獻[34]借助雙線性方法獲得了方程(1)的雙線性形式及N孤子解, 并通過漸近分析揭示了孤子的彈性碰撞現象.文獻[30]利用達布變換方法構造了呼吸子解和高階怪波解的精確表達式.

本文將首先利用相平面分析方法研究方程(1)經約化后得到的常微分方程的動力學性質, 分別給出同宿軌道和異宿軌道對應的參數條件, 并在相應條件下求得了方程(1)的明孤立波解和暗孤立波解, 揭示了同異宿軌道與孤立波解之間的對應關系;其次, 基于文獻[30]獲得的呼吸子解表達式, 分析了呼吸子的群速度和相速度隨參數的變化關系, 進而確定速度發生跳躍的參數條件; 為了驗證在速度跳躍的參數條件下呼吸子可以轉化成怪波, 在該條件下對呼吸子解取極限得到一階怪波解, 從而揭示怪波形成與速度跳躍之間的關聯.

2 方程(1)的二維相平面分析及明暗孤立波解的產生條件

為了分析方程(1)對應常微分方程的平衡點及相軌跡, 對方程(1)做如下行波解約化:

其中a,c,K和?都是實數,?(ξ) 是ξ的實函數.將其代入方程(1)中, 得到關于?的常微分方程:

進一步, 分離方程(3)的實部和虛部, 得到

將(4)式關于ξ積分一次并取積分常數為零, 可得

而對 (4) 式關于ξ求一階導, 得到?′′′′如下:

結合 (6)式和 (7)式消掉方程 (5)中的?′′,?′′和?′′′′, 有

另一方面, 將方程(6)兩邊同乘以 2?′, 得

同時, 對方程 (8) 關于ξ求一階導數, 有

由于方程(9)和方程(10)含有相同項, 兩者需相容, 則參數滿足以下條件:

因此, 在條件 (11)式和 (12)式下, 方程 (9)和方程(10)可同時化為如下常微分方程:

為了借助平面動力系統分岔理論討論二階常微分方程(13)的二維平衡點類型及相軌跡, 在變換X≡ ?和Y=?ξ下, 方程 (13) 可等價于如下二維平面動力系統:

該系統是一個哈密爾頓系統, 具有如下哈密爾頓函數:

為了判斷系統(15)的平衡點的類型, 我們得出其相應的雅克比矩陣為

根據特征值與平衡點的對應關系, 我們對系統(15)的平衡點類型及解的穩定性分析如下:

1) 當β1/β2? 0 時, 系統只有一個平衡點 (0,0)并且在該點處J的特征值為如果β1>0, 則 (0, 0) 點是中心點; 如果β1<0 , 則 (0,0)點是不穩定鞍點.

2) 當β1/β2<0時 , 系 統 有 三 個 平 衡 點:對應這些平衡點,J的特征值分別為和若β1<0 , 則S0是不穩定鞍點, 而S1和S2是中心點, 此時存在圍繞中心點S1和S2繞至S0的同宿軌道.若β1>0 , 那么S0是中心點,S1和S2是不穩定的鞍點, 此時系統存在異宿軌道.

為了演示系統(15)存在的同宿軌道和異宿軌道, 選取特定參數畫出系統(15)在條件β1/β2<0下的相位圖, 如圖1 所示.當取定β1= –1/10 和β2=1/18, 圖1(a)顯示有一個鞍點和兩個中心點,隨著時間的變化從鞍點出發的軌道最終會返回形成同宿軌道.而當β1=1 和β2=?5/9 時, 圖1(b)顯示有一個中心點和兩個鞍點, 并形成從一個鞍點到另一個鞍點的異宿軌道.

圖1 系統 (15) 的相位圖 (a)同宿軌道 (b1 = –1/10, b2 =1/18); (b) 異宿軌道 (b1 = 1, b2 = –5/9)Fig.1.Phase portraits of System (15): (a) Homoclinic orbits (b1 = –1/10, b2 = 1/18); (b) heteroclinic orbits (b1 =1, b2 = –5/9).

進一步, 根據相位軌道與非線性偏微分方程的解之間的對應關系[26,27], 可以得出如下結論: 如果β1/β2<0且β1<0 , 則方程(1)具有明孤立波解;而當β1/β2<0 且β1>0 時, 方程 (1) 有沖擊波解或 暗 孤 立 波 解.通 過 (14)式, 可 以 將 條 件β1/β2<0和β1<0 具 體 表 示 為6K2ε2α3? 3α1+3c/2K< 0,a5–a4–a6> 0 且a3< 0 或者6K2ε2α3?3α1+ 3c/2K< 0,a5–a4–a6> 0 且a3< 0.同樣地, 條件β1/β2<0 且β1>0 可具體寫成 6K2ε2α3? 3α1+3c/2K<0 ,a5–a4–a6> 0且a3< 0 或者 6K2ε2α3?3α1+ 3c/2K< 0,a5–a4–a6> 0 且a3< 0.

下面為了驗證方程(1)中明孤立波解和暗孤立波解的存在性, 分別在同宿軌和異宿軌條件下利用哈密爾頓函數對系統 (15)進行求解.令h?=hi=H(Si)(i=0,1,2), 則有

事實上, 由相容性條件(11)式和(12)式可知表達式(8)與哈密爾頓函數(16)式是等價的, 故可得

1) 當β1<0 且β2>0 時, 則平衡點S0是不穩定鞍點, 而平衡點S1和S2是中心點, 此時存在圍繞中心點S1 和S2 至S0 的同宿軌道.當h?=h0時, 由表達式(16)得到

將解(21)式代入變換(2)式中得到方程(1)的明孤立波解為

其中

2) 當β1>0 且β2<0 時, 那么平衡點S0為中心點, 平衡點S1和S2是不穩定的鞍點, 此時存在異宿軌道.當h?=h1=h2時, 由表達式 (16) 得到

可求得

將解(24)式代入變換(2)式中得到方程(1)的暗孤立波解為

根據參數條件, 在解(22)式和(25)式中選取恰當的參數值得到明暗孤立波的傳播圖形, 如圖2所示.

圖2 (a)由明孤立波解(22)式描述的明孤立波傳輸圖形,其中參數 選取為 a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 8, a5 = 2,a6 = 6, a7 = 4, a8 = 6, c = 1, K = 1, ? = 51/16, e = 1,a = 1; (b) 由暗孤立波解 (25)式描述的暗孤立波傳輸圖形,其中參數選取為 a1 = –1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = –8, a5 =–2, a6 = –6, a7 = –4, a8 = 6, c = –7, K = 1, ? =–123/32, e = 1, a = 1Fig.2.(a) Propagation of bright solitary wave via Solution(22) with the parameters chosen as a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1,a4 = 8, a5 = 2, a6 = 6, a7 = 4, a8 = 6, c = 1, K = 1, ? =51/16, e = 1, a = 1; (b) propagation of dark solitary wave via Solution (25) with the parameters chosen as a1 = –1,a2 = 2, a3 = 1, a4 = –8, a5 = –2, a6 = –6, a7 = –4, a8 = 6,c = –7, K = 1, ? = –123/32, e = 1, a = 1.

3 呼吸子的速度跳躍點及怪波的形成條件

目前, 怪波解已經被發現存在于很多非線性發展方程中, 例如NLSE、Hirota方程、導數非線性薛定諤方程、Sasa-Satsuma方程、離散Ablowitz-Ladik方程以及變系數高階非線性薛定諤方程等[35?37].本節將基于方程(1)在可積條件下求得的呼吸子解[30], 分析呼吸子的速度跳躍現象以及怪波產生的條件.

在可積條件下, 分別取方程(1)中的參數為a1=1,a2= 2,a3= 1,a4= 8,a5= 2,a6= 6,a7=4,a8= 6, 得到如下形式:

基于AKNS譜問題, 方程(26)的Lax對表示如下[30]:

文獻[30]基于Lax對(27)式給出了方程(26)的一階達布變換, 其中勢函數變換關系如下:

這里?1=?2if1,1f2,1Im(λ1) ,?2=f1,1f2,2?f1,2f2,1,其 中是Lax對(27)式相應的兩組線性無關解.

以方程(26)的平面波解作為種子解:

其中b=ε2(a4?12a2c2+6c4)+2c2?a2,a,b,c分別代表波的波數、頻率和振幅.此時, 與q[0]對應的Lax對(27)式的解為

將平面波解(30)式及特征函數(31a)式和(31b)式代入變換(29)式中, 得到方程(26)的一階呼吸子解為[30]:

其中

這里下標R和I分別代表相關參數的實部和虛部.圖3展示了由呼吸子解(32)式描述的單個呼吸子的動力學演化, 其在演化過程中呈現出隨時間的周期性震蕩現象.

接下來, 將基于呼吸子解的精確表達式(32)來分析呼吸子的速度跳躍現象.根據非線性波速度的相關理論[38,39], 從表達式(32)中可以看出,呼吸子沿時間和空間軸方向發生周期性震蕩, 其震蕩 性 體 現 在三 角 函 數 部分 cos(2G) 或 s in(2G) , 且G中的k2和w2分別代表震蕩的空間和時間頻率,震蕩速度對應于呼吸子相速度Vp.另外, 呼吸子可以在 (x,t) 平面上沿直線傳播, 其傳播軌跡由F=0決定, 傳播速度對應于呼吸子的群速度Vg.因此,得到呼吸子解(32)式的群速度Vg和相速度Vp的表達式如下:

圖3 解 (32)式描述的一階呼吸子的動力學演化, 其中參數選取為 ξ =0 , η =1/2 , c =2/5 和a=0Fig.3.The propagation of one breather via Solution (32)with the parameters chosen as ξ =0 , η =1/2 , c=2/5 and a =0 .

當η→ ±c時, 群速度Vg和相速度Vp化簡如下:

從表達式(35)式和(36)式中可以看出, 當ξ沿不同方向趨于 ?a/2 時的符號是不同的,從而導致群速度Vg和相速度Vp趨于不同的值, 即產生跳躍現象.為了圖形演示速度關于參數a的跳躍現象, 我們在條件η→ ±c下, 保留參數a且將其他 參 數 取 定, 即ε2=1 ,η=c,c=1 和ξ=1 , 得到,

圖4 呼吸子的群速度 Vg (紅實線)和相速度 Vp (藍虛線)隨參數a的變化關系Fig.4.Group velocity Vg (red-solid line) and phase velocity Vp (blue-dot line) of the breather.

圖4給出了群速度Vg和相速度Vp隨參數a的變化關系.以Vg為例, 由圖4可清晰地看到群速度在a=?2 處出現突然的跳躍.為了更加說明該跳躍點, 我們計算了群速度在該點的左右極限, 發現從而表明群速度在a=?2 處不連續.類似地, 相速度Vp在a=?2處的左右極限分別為14和–54, 也是不連續的, 即a=?2為跳躍點.通過對表達式(37)的分析, 速度跳躍點的出現是由于分母中包含從而導 致Vg和VP在a=?2 點 處不連續.根據 文 獻[24]中關于臨界頻率的定義, 由于速度在波數a=?2處表現出了速度的不連續性, 因此該不連續點可以定義為方程(26)的臨界波數.

已有研究表明呼吸子在速度跳躍點會轉變為怪波[24,25].為了驗證方程(26)中怪波的形成與速度跳躍的關系, 我們將呼吸子解 (32)式在ξ→ ?a/2和η→c條件下取極限, 即λ1=ξ+iη→λ0=–a/2 + ic, 得到方程 (26)的一階怪波解如下:

這里α1和α2是兩個非零的實參數.圖5給出了由解(42)式描繪的一階怪波的動力學演化, 其中參數選取為c=1 ,η=1 ,ε2=1 和α1=α2=1 .通過極限計算, 當x→ ∞ 或t→ ∞ 時, 一階怪波 |qrw|2在無窮遠處高度為1, 從而說明了怪波的空間和時間局域性.進一步, 借助數值近似計算可以驗證|qrw|2分別在點 (0.3660257, –1)和 (–1.3660251, –1)附近 取 得 最 小 值 5 .32932×10?13和 5 .3456×10?13,在點 (–0.4999952, –1)附近取得最大值 9, 該值即為一階怪波的振幅.因此, 解(42)式符合一階怪波解具有一個極大值點和兩個極小值點的特點, 且最高點振幅為背景波三倍以上.以上分析表明方程(26)的呼吸子解(42)式在速度跳躍條件ξ→ ?a/2 和η→c下轉化成了怪波, 進而證明速度的不連續性可以產生怪波.值得注意的是, 該速度跳躍條件與達布變換方法求怪波解[24]時的譜參數取值相一致,而該譜參數條件對應方程的調制不穩定區域[40],因此調制不穩定性與速度跳躍從不同角度揭示了怪波產生的條件.

圖5 解 (42)式描述的一階怪波的動力學演化, 其中參數選取為 ξ =1 , η =1 , c =1 , α1=1 , α2=1 和a=?2Fig.5.The propagation of first-order rogue wave via Solution (42) with the parameters chosen as ξ =1 , η =1 ,c=1, α1=1 , α2=1 and a =?2 .

4 結 論

本文研究了一個在光纖光學和磁力學提出的四階色散非線性薛定諤方程(1), 分別從動力學分析和速度不連續性兩方面探討了孤立波和怪波的產生條件.

首先, 利用行波解約化將該四階色散非線性薛定諤方程變為常微分方程, 然后通過分離常微分方程的實虛部得到二維平面自治系統, 即系統(15a)和(15b).進而, 借助相平面分析方法討論了系統(15a)和(15b)的平衡點類型及解的穩定性,同時根據平衡點類型與相軌道的關系發現二維平面自治系統具有同宿軌道和異宿軌道, 并在相應條件下求解得到了方程(1)的明孤立波解和暗孤立波解, 從而驗證了同異宿軌道分別對應非線性方程的明暗孤立波解.

其次, 為了從速度不連續性角度研究怪波的產生條件, 我們基于非零背景平面之上的精確一階呼吸子解, 推導出了呼吸子的群速度和相速度的顯式表達式.通過對速度表達式的理論分析發現, 當ξ→ ?a/2和η→ ±c時, 群速度和相速度均關于波數存在不連續點, 即跳躍點或臨界波數(見圖3所示).同時, 從數學上指出了該跳躍點的出現是由于速度表達式中含有因子為了驗證呼吸子在速度跳躍點可以轉化成怪波, 對一階呼吸子解在速度不連續點處取極限獲得了方程(26)的一階怪波解, 從而表明怪波的形成與呼吸子速度的不連續性有關.另外, 如果取定速度表達式(35)式和(36)式中其他參數而只保留振幅參數c, 則群速度和相速度均不會出現不連續點, 如圖6所示.在圖6 中, 參數選取為和a=1 , 此時群速度和相速度都是關于振幅參數c的連續函數.

感謝深圳大學高等研究院的賀勁松教授在中國石油大學(北京)所作關于怪波形成機制的學術報告.