高階Ablowitz-Ladik方程的局域波解及穩定性分析*

聞小永 王昊天

(北京信息科技大學理學院, 北京 100192)

本文構造了一類高階Ablowitz-Ladik方程的廣義 ( M,N?M) -波Darboux變換, 借助符號計算從不同背景出發研究了該模型豐富的局域波解, 并利用數值模擬研究了這些解的動力學穩定性.

專題：非線性物理

1 引 言

1955年, Fermi, Pasta 和 Ulam 領導的科學家小組用數值方法計算了用非線性彈簧聯結的64個質點組成的諧振子的振動, 其目的是從數值實驗上驗證統計力學中的能量均分定理, 這在后來被人們稱為著名的 FPU 實驗[1].1967年, Toda[2]考慮晶體的非線性振動, 提出了著名的Toda晶格方程近似模擬這種情況, 并得到了該模型的孤子解, 從而使FPU試驗問題得到合理的解釋和正確解答[1].Toda晶格方程作為一類可積的半離散的非線性微分差分方程可以描述一些物理學中的非線性波的傳播現象, 該方程的提出引起了人們對可積的離散孤子方程研究的熱潮.可積系統中的非線性微分差分方程(又稱離散的孤子方程)是一類重要的半離散的非線性偏微分方程, 近年來國際上對這類模型的研究有著極大的興趣, 這些方程與元胞自動機、DNA的研究、辛算法有密切的關系, 在電學、光學、磁性流體、超導、生物和等離子體中有著廣泛的應用, 有十分廣闊的應用前景, 目前離散問題的研究是國際上研究熱點之一[3].日本科學家Hirota[4]指出連續的孤子方程可以被離散化, 并且不遠的將來將會是差分方程的時代, 這里所說的差分方程就是離散的孤子方程.

近年來, 孤子方程的局域波解受到了數學家和物理學家的廣泛關注, 按傳播特性, 局域波主要包括孤子、呼吸子、怪波等[5?18], 廣泛存在于非線性光學、玻色斯坦凝聚、等離子物理等各種非線性物理系統[5?16].孤子又稱孤立波, 是一種在傳播過程中形狀、幅度和速度都維持不變的脈沖狀行波, 并且孤子與其他同類孤子相遇后, 能維持其幅度、形狀和速度不變[5,6].呼吸子是一種特殊的局域周期振蕩孤子, 按傳播方向有空間周期的Akhmediev呼吸子和時間周期的Kuznetsov-Ma呼吸子[5,6],從光學和流體力學到玻色-愛因斯坦凝聚體和等離子體等各種物理情況下都能廣泛地觀察到呼吸子的傳播現象, 關于呼吸子碰撞特性的研究最近取得一系列有趣的結果, 包括棋盤干涉時空結構[7], 具有不同傳播特征的super-regular呼吸子作用現象[8?11]等.怪波最初是用來描述海洋中出現的大振幅波, 突然出現然后又很快消失得無影無蹤, 怪波也被稱為畸形波, 是一種短時間內存在的大振幅的局域波動[5,6,14?18].怪波發生物理機理的研究是怪波研究的重點, 調制不穩定性通常被認為是呼吸子和怪波發生的主要機制, 并且一些文獻認為它可能是形成怪波和呼吸子的必要條件[10,11].目前不同類型的局域波作用解是國際上研究的熱點問題, 然而大部分問題和方法僅限于連續的孤子方程的局域波及其作用[5?24].例如文獻[5,6]研究了高維非線性模型的局域波作用解包括呼吸子和怪波以及Lump解之間的相互作用解; 文獻[14]研究了非線性光纖中呼吸子和怪波的相互作用現象.這些局域波作用對于理解新的物理現象具有重要的理論意義.然而對于離散孤子方程的局域波的研究, 由于研究的困難性, 據我們所知, 研究還不充分, 不系統[25,26], 因此本文將研究離散的非線性微分差分方程豐富的局域波解.作為例子, 研究下面的非線性微分差分方程

其 中rn=r(n,t),rn,t=drn/dt, 星 號 ? 表 示 共 軛 ,i是虛數單位,σ=±1 , 這里加號和減號分別表示聚焦和散焦情況.方程(1)可以通過AKNS方法得到[3], 這里為節省篇幅不給出具體推導過程.由于方程 (1)和 Ablowitz-Ladik 方程[3,27](即irn,t=rn?1+rn+1?2rn?σ|rn|2(rn?1+rn+1))屬于同一個梯隊, 是這個梯隊的第二個方程, 我們稱方程(1)為高階的 Ablowitz-Ladik方程.正如五階 KdV方程可以像KdV方程能描述淺水波的運動一樣[3],我們有理由相信方程(1)也可能像它對應的低階Ablowitz-Ladik方程一樣可以描述光纖中光孤子的傳播, 因此研究方程(1)具有重要的理論和物理意義.雖然對離散的Ablowitz-Ladik方程的局域波已經有了一定的研究結果, 特別是應用雙線性方法得到了它的怪波[28?30], 然而對于離散的孤子方程(1)還沒有系統的方法進行研究, 特別是仍然沒有通過我們提出的廣義 (M,N?M) 波Darboux變換進行系統的研究.因此本文將應用廣義(M,N–M)波Darboux變換從研究方程(1)的精確解出發, 尋找其新奇的局域波結構, 特別是不同類型的局域波相互作用的新奇局域波結構.

本文的主要結構安排如下: 第二節構造出方程(1)的Lax對和廣義 (M,N?M) 波Darboux變換; 第三節將應用廣義 (M,N?M) -波Darboux變換給出方程(1)不同類型的局域波解, 并通過數值模擬研究其傳播穩定性; 最后是本文的結論.

2 Lax對和廣義(M,N–M)-波Darboux變換

由AKNS方法[3], 可以構造方程(1)的Lax對如下

這里φn=(?n,ψn)T表示 Lax 對 (2)式的解, T 表示轉置.借助符號計算 Maple, 容易驗證方程(2)的相容性條件Un,t=Vn+1Un?UnVn等價于方程(1).接下來基于Lax對(2)式, 構造方程(1)的廣義 (M,N?M) - 波 Darboux 變換, 然后通過它構造方程(1)的局域波解.為此考慮下面的規范變換

其中是Tn是 2 ×2 的矩陣, 根據 Darboux 變換的知識,必須滿足

為此, 我們構造一個特殊的Darboux陣如下

這里N是正整數,是n,t的未知函數.當選擇N個合 適 的λk(k=1,2,...,N) ,可以通過解下面的方程組得到:

通過上面的分析并根據文獻[710]中的步驟,若φ(λk)=(?(λk),ψ(λk))T,(k=1,2,...,M) 是Lax對的M個解, 且rn是方程(1)的種子解, 則可以得到關于方程(1)如下的廣義 (M,N?M) -波Darboux變換定理:

定理1當方程(1)的新解和舊解rn的變換如下

其中

3 方程(1)的局域波解及其動力學穩定性

在這一節將討論如何應用定理1中的(M,N?M)-波Darboux變換得到方程(1)豐富的局域波解.下面考慮兩類種子解情形下的Lax對的解.

情形1把種子解rn=0 代入(2)式中得到Lax對 的 解 為φn=(?n,ψn)T=(λ2neξ,e?ξ)T, 這 里

情形2把種子解rn=cei(c2+1)(?6c2+2)t代入(2)中得到Lax對的解為

這里eω,dω是任意的實常數.為了得到怪波解, 需要對情形 2的解進行泰勒展開, 為此令在ε=0處對情形2的解進行泰勒展開, 有φ(ε2)=這里略去的展開式, 僅列出φ(0)=(?(0),ψ(0))T,這里下面將討論三種特殊情況的Darboux變換得到不同的局域波解.

3.1 應用N-波Darboux變換得到多孤子和多呼吸子解

根據定理 1, 當M=N, 廣義 (M,N?M) -波Darboux變換可以約化為通常的N-波Darboux變換, 當N=1 , 使用情形 1 中 Lax 對的解, 一孤子解可以整理為

圖1 (a1)?(c1) 取參數 λ1= ?1+2i 時的一孤子解; (a2)?(c2) 取參數 λ1=3+i,λ2=1+2i 時的二孤子解.左列: 精確解;中列: 數值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數值解.圈中的數字 1 和 2 分別表示參數 λ1 和 λ2 對應的孤子Fig.1.(a1)?(c1) One-soliton solution with parameter λ1= ?1+2i ; (a2)?(c2) two-soliton solution with parameters λ1=3+i,λ2=1+2i.Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

圖2 (a1)?(c1) 取參數 λ1=11/4 時的一呼吸子解; (a2)?(c2) 取參數 λ1=2,λ2=3 時的二呼吸子解.左列: 精確解; 中列: 數值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數值解.圈中的數字1和2分別表示參數 λ1 和 λ2 對應的呼吸子Fig.2.(a1)?(c1) One-breather solution with parameter λ1=11/4 ; (a2)?(c2) two-breather solution with parameters λ1=2,λ2=3 .Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

當N=2 , 由定理 1中 (8)式, 我們能夠得到二孤子解, 這里為節省篇幅, 不列出具體表達式,通過漸近分析, 可以知道二孤子之間的碰撞是彈性作用.圖1(a2)顯示了二孤子的彈性作用結構, 兩孤子在碰撞前后, 形狀振幅速度沒有發生改變.圖1(b2)顯示了二孤子沒有加入噪聲時的數值演化, 圖1(c2)顯示了二孤子加入 2 % 小噪聲時的數值演化.類似于一孤子, 在較短的時間內小噪聲對二孤子的碰撞作用影響很小.

下面利用N-波Darboux變換和情形2時的Lax對的解研究方程(1)的呼吸子解.這里取參數C1= ?C2=c=1,δ(ε)=0.當N=1,2 , 由 (8)式可以得到一呼吸子和二呼吸子解.圖2(a1)–圖2(c1)和圖(a2)–圖2(c2)分別顯示了一和二呼吸子的精確解、數值解以及加 2 % 小噪聲的數值解.在較短的時間內, 一、二呼吸子都有較好的數值穩定性, 隨著時間的增加, 不論是否有噪聲, 數值演化都顯示出較大的振動, 表現出不穩定.

3.2 應用(1,N–1)-波Darboux變換得到怪波解

根據定理 1, 當M=1 時, 我們僅使用一個譜參數, 利用 ( 1,N?1) -波 Darboux變換和情形 2時Lax對的解結合泰勒展開式可以得到方程(1)的怪波解.這里取參數C1= ?C2=1/ε,c=3/4 ,當N=1,2 , 由(8)式可以得到一階和二階怪波解.

當N=1 時, 由 ( 1,0) -波 Darboux 變換可以得到一階怪波解通過整理為

該解是非奇性的, 并且在時間和空間上都是局域的.圖3(a1)—圖3(c1)顯示了一階怪波(10)式的精確解、數值解以及加 2 % 小噪聲的數值解.在較短的時間內, 一階怪波解具有較好的數值穩定性.

由定理 1 中 (8)式, 當N=2 時, 由 ( 1,1) -波Darboux變換可以得到二階怪波解, 這里為節省篇幅, 不列出具體表達式.圖3(a2)—圖3(c2)和圖(a3)—圖3(c3)分別顯示了具有強作用和弱作用的二階怪波解的精確解、數值解以及加 2 % 小噪聲的數值解.在較短的時間內, 二階怪波具有較好的數值穩定性.隨著時間的增加, 不論是否有噪聲,數值演化都表現出較強的振動和不穩定.

3.3 應用(2,N–2)-波Darboux變換得到怪波與呼吸子的混合作用解

根據定理 1, 當M=2 時, 我們將使用兩個譜參數, 利用 ( 2,N?2) -波 Darboux變換和情形 2時Lax對的解結合泰勒展開式, 可以得到方程(1)的怪波與呼吸子的混合作用解.由(8)式, 當N=2時, 需要說明的是, 對于兩個譜參數, 一個譜參數使用情形2時Lax對的解結合泰勒展開式, 參數選取與3.2小節中求怪波的參數相同, 對另一個譜參數仍使用情形2時Lax對的解但不使用泰勒展開, 參數C1= ?C2=1,c=3/4,δ(ε)=0 .由 ( 2,0) -波Darboux變換可以得到一階怪波和一呼吸子的混合作用解, 這里不列出具體表達式.如果在泰勒展開式中對變量n做一定的平移變換, 就可以控制怪波的位置.圖4(a1)—圖4(c1)和圖4(a2)—圖4(c2)分別顯示了一階怪波和一呼吸子的強作用和弱作用情況下的精確解、數值解以及加 2 % 小噪聲的數值解.兩行圖的區別是弱作用時, 對怪波沿n軸正半軸平移了10個單位, 實現了怪波和呼吸子的分離.數值模擬顯示了這些混合解的正確性, 在較短時間內, 不論是否有噪聲, 混合作用解均具有較好的數值穩定性.

圖3 (a1)—(c1)一 階怪波解; (a2)—(c2)取參數 e1=d1=0 時具有強作用的二階怪波解; (a3)—(c3)取 參 數e1=100,d1=0時具有弱作用的二階怪波解.左列: 精確解; 中列: 數值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數值解Fig.3.(a1)?(c1) First-order rogue wave solution; (a2)?(c2) strong interaction second-order rogue wave solution with e1=d1=0 ;(a3)?(c3) weak interaction second-order rogue wave solution with e1=100,d1=0 .Left column: Exact solutions; Middle column:Numerical solutions without noise; Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

圖4 (a1)—(c1) 一呼吸子和一階怪波的混合強作用; (a2)—(c2) 一呼吸子和一階怪波的混合弱作用.左列: 精確解; 中列: 數值解; 右列: 加 2 % 小噪聲的數值解.圈中的數字 1 表示呼吸子, 數字 2 表示怪波Fig.4.(a1)?(c1) Mixed strong interaction between one-breather and first-order rogue wave; (a2)?(c2) mixed weak interaction between one-breather and first-order rogue wave.Left column: Exact solutions; Middle column: Numerical solutions without noise;Right column: Numerical solutions with 2 % small noise.

4 結 論

本文構造了高階Ablowitz-Ladik方程的廣義(M,N?M)-波Darboux變換, 借助符號計算和數值計算, 通過不同特殊情形的Darboux變換, 得到了該模型多孤子解、多呼吸子解、高階怪波解以及怪波與呼吸子的相互作用解, 并且應用數值模擬研究了它們的穩定性.需要說明的是當3MN?1, 利用廣義 (M,N?M) -波 Darboux 變換,也可以得到更豐富的局域波作用結構, 本文不做討論.本文給出的廣義 (M,N?M) -波Darboux變換方法為研究Lax可積模型豐富的局域波提供了很好的解決思路, 得到的結果更為全面, 比通常的Darboux變換更具有普遍性, 關于方程(1)的局域波結構的研究豐富了非線性微分差分方程的已知結果, 將為實際應用提供可靠的理論支持, 希望本文得到的結果為解釋實際的物理現象提供理論依據.

感謝北京信息科技大學理學院孤子與可積系統討論班成員的討論.