一個可積的逆空時非局部Sasa-Satsuma方程*

宋彩芹 朱佐農

1) (上海理工大學理學院, 上海 200093)

2) (上海交通大學數學科學學院, 上海 200240)

本文給出了一個可積的逆空時(逆空間-逆時間)非局部Sasa-Satsuma方程.建立了這個方程的Darboux變換,并且構造了這個逆空時非局部方程在零背景條件下的孤子解.

專題：非線性物理

1 一個可積的逆空時非局部Sasa-Satsuma方程

耦合的Sasa-Satsuma系統

是一個非線性可積系統.這個系統在約化條件R(X,T)= ±Q?(X,T)下轉化為經典的Sasa-Satsuma方程[1?14],

這是一個可積的高階非線性薛定諤方程.這個方程可以用來描述光纖中飛秒脈沖的傳播[2,3].

最近, Ablowitz和Musslimani[15]給出了一個逆空間的可積非局部NLS方程,

這個逆空間的可積非局部NLS方程引起了人們對這類非局部可積非線性系統的極大研究興趣.若干逆空間、逆時間或逆空時非局部可積方程被提出并被研究[15?24].作者在文獻[20]中研究了一個逆空時可積非局部Sasa-Satsuma方程:

我們注意到這樣一個事實: 對于系統(1), 如果做約化R(X,T)=Q(?X,?T) , 則可得到如下逆空時非局部Sasa-Satsuma方程:

在變換

下, 逆空時非局部Sasa-Sasuma方程(5)轉化為如下形式:

顯然, 方程(7)也可以看作為一個逆空時非局部mKdV型方程.本文的主要目的是建立逆空時非局部 Sasa-Sasuma方程 (7)的 Darboux變換, 并給出這個方程的孤子解.

2 逆空時非局部Sasa-Satsuma方程(7)的Darboux變換

我們注意到方程(7)可以從系統

通過約化v=u(?x,?t) 而得到.Sasa-Satsuma 系統 (8)和耦合系統 (1)是等價的.事實上, 在變換

下, 這兩個系統可以相互轉化.對于耦合Sasa-Satsuma系統 (8)在不同的約束條件下可以化為不同的方程: 當v=u時, 系統 (8) 化為 mKdV 方程; 當v=u?時, 系統 (8) 化為一個復的 mKdV 型方程即經典的Sasa-Satsuma方程.Sasa-Satsuma方程 (8)是 Lax 可積的.事實上, 系統 (8)可由如下的線性譜問題

的可積性條件Ut?Vx+UV?VU=0得到,其中

我們用Φ(x,t;λj) 來表示線性譜問題(9)在譜參數λ=λj下的特征向量函數.令Θj=Φ′(x,t;λj)M,那么可以直接驗證

是線性譜問題(9)的伴隨問題

在譜參數λ=?λj下的特征函數, 這里上標 ′ 表示矩陣的轉置, 矩陣M是

將Φ(x,t;λj) 和?l(x,t;λj) 分別簡記為Φj和?j,l.類似于文獻[20], 我們可以獲得Sasa-Satsuma方程(7)的 Darboux變 換.首 先 給 出 (8)式 的 雙Darboux變換.作如下特征函數的變換:

則聯系于耦合的Sasa-Satsuma系統 (8)的線性譜問題(9)變換為

我們期望矩陣P[1] 與矩陣P有完全相同的結構.可以驗證如果矩陣P[1] 中的u[1],v[1] 與矩陣P中的u,v有如下關系:

如果令矩陣P中的v=u(?x,?t) 并選取適當的參數使得S23=S13(?x,?t) , 那么P[1] 中的v[1]就等于u[1](?x,?t) .從而u[1] 與u的關系實質上就是逆空時非局部Sasa-Satsuma方程(7)的B?cklund 變換.u[1] 是這個逆空時非局部 Sasa-Satsuma方程的解.

進一步, 可以給出耦合Sasa-Satsuma系統(8)的n次雙Darboux變換.令

其中R=(η1,η2,···,ηn) 并且

其中ηk=(Φ2k?1,Φ2k) ,

變換后位勢函數u[n] 和v[n] 可以由矩陣P[n] 與矩陣P之間的關系

給出.設a,b是一個 2n階行向量, 那么根據等式關系

可以得到

其 中rl=(?1,l,?2,l,···,?2n?1,l,?2n,l),l=1,2,3.需要指出, 文獻[5]給出了Sasa-Satsuma方程(即方程(8)中取v=u?)的Darboux變換, 但沒有給出 高 階 Darboux變 換.這 里 給 出 了 Sasa-Satsuma 系統 (8)的高階雙 Darboux 變換.在約化v=u?下 , 取及特征函數Φ2j=即可獲得Sasa-Satsuma方程的高階Darboux變換.

3 逆空時非局部Sasa-Satsuma方程(7)的解

借助于Darboux變換, 我們將構造方程(7)的解.方程(7)有指數形式的解u=reκ(x?(κ2+6r2)t) ,其中r和k是任意的實數.特別地,u=0 是一個解.解對應的線性譜問題得到在譜參數λ=λj時的特征函數為

用 Darboux 變換, 獲得u[1] 和v[1] 如下:

顯然, 要得到逆空時非局部方程(7)的解, 需要選擇適當的參數, 使得v[1]=u[1](?x,?t) .經過分析,我們發現在如下幾種參數情況下:

有v[1]=u[1](?x,?t) .從而逆空時非局部方程(7)的解被構造.對于情形 (1)—(3), 有u(x,t)=u(?x,?t), 而對于情形 (4)—(5)有u(x,t)= ?u(?x,?t).我們給出了對應于情形(1)—(3)的解u(x,t) 的圖, 如圖1 所示.

值得指出, 經典的Sasa-Satsuma方程有一個顯著的特征, 即存在雙峰孤波解.對于逆空時非局部可積方程(4), 我們也給出了類似的雙峰孤波解.但對于本文研究的逆空時非局部可積方程(7), 并沒有發現這樣的雙峰孤波解的存在.從這個意義上說, 逆空時非局部可積方程(4)和方程(7)確有不同的性質.逆空時非局部可積方程(7)值得進一步研究.