諧振腔內的高質量圓對稱艾里光束的產生方法*

朱一帆 耿滔

(上海理工大學光電信息與計算機工程學院, 上海市現代光學系統重點實驗室, 教育部光學儀器與系統工程研究中心, 上海 200093)

本文提出一種在諧振腔內產生高質量圓對稱艾里光束的方法, 通過使用針對特定參數光束設計的衍射光學元件替代反射腔鏡, 可在腔內獲得所需的特定參數光束.研究結果表明, 該方法產生的圓對稱艾里光束的參數可控; 模式能量損耗低, 接近高斯基模光束; 光束質量高, 明顯優于目前常用的傅里葉空間純相位全息編碼法.接著, 討論了組裝系統時產生的腔長誤差和同軸度誤差, 以及加工衍射元件時產生的刻蝕誤差對產生光束的影響.結果表明, 現有的機械調節技術和微納加工技術, 完全能滿足系統誤差的精度要求, 顯示該方法對誤差有較好的容差性.

1 引 言

由于具有無衍射、自加速和自修復等特性, 艾里光束自2007年被提出以來一直是光學領域的研究熱點之一[1?5].為了產生艾里光束, 研究者通常使用傅里葉空間的立方相位調制方法[1], 近年來隨著超表面技術的發展, 越來越多的研究者開始利用表面等離子激元產生艾里光束[6?8], 這種方法能在微納尺度獲得艾里光束, 在納米微粒操作和光傳感等領域有很大的應用前景.將一維艾里光束做徑向對稱處理, 可以得到圓對稱艾里光束(circular airy beam, CAB), CAB 是一種自聚焦光束, 當其在自由空間傳播時, 在焦點前光束能保持很低的光強分布, 而到達焦點時光強會突然提升數十甚至數百倍, 因此這種光束又被稱為突然自聚焦光束(abruptly autofocusing wave)[9,10].由于 CAB 具有的這種突然自聚焦特性, 使得其在生物醫學、激光加工、光學微操作和非線性光學等領域有著廣闊的應用前景, 受到了越來越多的關注[11?14].

CAB是一種特殊光束, 需要使用特定的方法來產生, 目前在可見光波段產生CAB的方法主要有兩種.一是使用具有徑向3/2次方分布的相位板或空間光調制器 (spatial light modulator, SLM)[15],使用這種方法可方便地獲得具有渦旋相位的CAB[16], 但缺點是無法針對CAB光環分布的疏密程度編碼, 即無法得到所需徑向比例系數的光束,因此使用者較少.另一種是在傅里葉空間使用經純相位全息編碼的相位板或SLM[10], 這種方法可以獲得所需特定參數的光束, 因此是目前最常用的產生CAB的方法[11?14].

但上述兩種方法對光源的使用效率都很低, 例如第二種常用方法的理論衍射效率(即衍射成像的光通量與再現時照明光源的總光通量之比)低于3%, 經編碼算法改進后雖有所提升, 但理論衍射效率仍低于7%[17], 嚴重阻礙了CAB的實際應用.基于此, 本文提出了一種在諧振腔內產生可控高質量CAB光束的方法, 并對產生光束的質量和能量損耗問題進行了理論探討.研究結果表明, 該方法不僅光束參數可控, 能量損耗低, 且光束質量也明顯優于純相位編碼方法.本文最后還討論了組裝系統時產生的對準誤差和衍射元件的加工誤差對產生光束的影響, 結果顯示本文提出的方法對誤差有較好的容差性.據我們所知, 目前在諧振腔內產生CAB的研究還未見報道.

2 理論方法

2.1 Fox-Li方法和特性向量法

在諧振腔中, 反射鏡2的光場分布U2可由反射鏡1的光場分布U1經衍射積分計算獲得

其中ρ為場點到源點的距離,K(θ) 為傾斜因子.由于諧振腔腔長遠遠大于反射鏡半徑, 因此取K(θ)≈ 1.同理, 光波經反射鏡2返回反射鏡1上的光場U1_1可由U2通過(1)式的衍射積分計算獲得.如此反復地迭代計算衍射積分, 當光波經過n次在腔內的往返傳播以后, 到達鏡面1的光場變為U1_n, 當滿足如下條件時可停止迭代.

其中δ為一趨于零的常數, 視計算精度要求取值,本文取為10–3.這種數值迭代方法稱為Fox-Li方法[18].

由于任意連續函數可作離散化處理, 那么(1)式中的U1和U2可用列向量表示為

當p,q足夠大, 即劃分的單元區域足夠的小, 由(1)式, 反射鏡2上單元n處的光場可表示為

2009年以來，煙草行業逐步在全系統推廣福建省煙草公司審計委派制的經驗和做法，在全系統實行內部審計委派制，即由省級公司向地市級公司派駐審計人員，建立“雙重領導，垂直管理、監督駐地、參審異地”的內部審計運行體系。委派制實施以來，內部審計工作成效顯著，審計監督的整體性和宏觀性作用得到有效發揮，為全系統規范健康發展提供了有力保障。但從運行情況來看，也存在著不少的問題，期待通過深化改革，進一步激活活力，發揮內部審計的作用。

其中Wm為反射鏡1上第m單元的面積.(4)式可改寫為

其中D=BA為光場經過一個來回的傳輸矩陣, 它僅與諧振腔的幾何尺寸有關.

根據諧振腔的自再現理論, 光場的特征向量應滿足:

其中γ為方程特征值, 描述了光場經過一個來回光程的振幅衰減和相位變化.比較(6)式和(7)式可知,γ即為傳輸矩陣D的特征值, 而D包含了腔內所有可能的光場模式分布.那么, 求解腔內光場模式分布的問題轉換為求解特征向量U1和相應的特征值γ的問題.這種方法稱為特性向量法[19?21], 與Fox-Li方法相比, 特性向量法的優點在于可以一次算出一系列模式分布, 且計算不受光場初值的影響, 可適用于任何非規則形狀的腔鏡.因此本文采用了特性向量法計算腔內的光場模式分布以及相應的模式能量損耗.

2.2 衍射光學元件的設計方法

CAB在初始面上的光場分布可以表示為

其中C為振幅常數,Ai(·) 為艾里函數,r為光場的徑向坐標, 參數r0決定了主光環的半徑,w為徑向比例系數, 影響光環分布的疏密程度,a為指數衰減系數.圖1(a)和圖1(b)分別給出了CAB在初始面的光強和相位分布, 其中光強分布對最大值做了歸一化處理, 計算參數為r0= 1 mm,w= 0.2 mm,a= 0.15.圖1(c)給出了 CAB 的側面光強分布,從圖1(c)可以看到在焦點前光強峰值沿拋物線軌跡傳播, 并向焦點位置匯聚.聚焦前, 光軸上的光強幾乎為零, 在焦點處突然達到最大值, 顯示出突然自聚焦特性.

產生CAB的諧振腔示意圖如圖2所示, 為了在腔內獲得CAB, 我們使用了具有特定表面結構的衍射光學元件代替了其中的平面反射鏡, 用于選取所需的激光模式, 凹面反射鏡被設為光束輸出鏡.

圖1 (a) CAB 初始面的光強分布; (b) CAB 初始面的相位分布; (c) CAB 的側面光強分布Fig.1.(a) Intensity distributions of the CAB at the initial plane; (b) phase distributions of the CAB at the initial plane; (c) intensity distributions of the CAB during propagation in the r-z plane.

圖2 諧振腔示意圖Fig.2.Schematic of the laser resonator configuration for CAB generation.

其 中φ1(x1,y1) 為U1(x1,y1) 的 相 位.從 圖1(b) 可以看出, 由于 CAB 的相位呈 0 ? π 環狀分布, 能自動滿足(10)式的要求.由(9)式可知, 此時衍射光學元件為純相位調制, 避免了使用振幅調制帶來的能量損耗, 且可選擇使用反射式的SLM來代替衍射光學元件.

通過上述設計原理獲得的CAB出現在凹面反射鏡的凹面處, 因此如果輸出鏡為一般的平凹鏡(即凹面反射鏡外表面為平面), 當光波經凹面透射到圖2中的虛線位置輸出時, 光波在腔鏡內部的傳播會產生一個的光程差, 其中n為反射鏡的折射率,R為凹面的曲率半徑,r為徑向坐標.在本文中凹面鏡曲率半徑遠遠大于反射鏡截面半徑, 滿足r?R, 有?≈nr2/2R, 因此以平凹鏡輸出時, 光波會附加一個相位畸變?φ≈knr2/2R, 其中k為光束的真空波數.所以,在凹面鏡的外側我們使用了凸面結構對這一相位畸變進行了修正, 如圖2 所示.在r?R和r?R′的近似條件下, 可由簡單的幾何關系得

其中R′為凸面的曲率半徑.

3 結果與討論

本文在計算中設光束波長為 6 32.8nm (氦氖激光器), 凹面鏡和衍射光學元件的截面半徑為 4 mm ,腔長L=1450mm , 凹面鏡的曲率半徑R=2000mm ,

由(11)式可得外側凸面的曲率半徑R′=666.7mm .衍射光學元件上的相位分布由(9)式可得θ(x2,y2)=?2φ2(x2,y2).仿真計算使用了柱坐標系, 腔鏡在徑向和角向被分別劃分為100和150個單元格.由特征向量法可知, 光波在腔內經過一個來回后能量損耗比例為 1 ? |γ|2.換言之, 特征值的絕對值 |γ| 越大的模式, 能量損耗越小, 即越有可能在腔中被激發.需要說明的是, 本文的討論雖然以氦氖激光為例,但設計方法同樣適用于其他波段的激光器, 只是需根據不同的工作波長重新設計衍射元件的相位分布.

表1 不同參數條件下的衍射光學元件上的相位分布和計算獲得的最大3個 |γ| 對應模式的光強分布Table 1.The phase distributions of the diffractive optical elements, the three largest |γ| and the calculated intensity distributions of corresponding modes with different parameters.

表1列出了針對不同參數CAB設計的衍射光學元件上的相位分布, 以及利用這些相位分布計算出的最大3個 |γ| 所對應模式的光強分布.從表1中可以看到, 不同參數計算所得的基模光束均為設計所需的CAB.我們利用Fox-Li方法使用相同的參數進行了驗證, 計算結果如圖3所示, 所得模式與特征向量法的結果完全吻合.腔內基模光場的主峰位置隨著參數r0的增大逐漸外移, |γ| 隨之逐漸減小, 這表明為了獲得較大r0的CAB光束, 應適當增加腔鏡的半徑.如前所述, 腔內光場模式的單程損耗比例為 1 ? |γ|2, 那么, 表1中3種情況的基模, 其單程損耗比例分別為 0.56%, 0.60%和0.80%, 均小于1%, 接近產生高斯基模時光波的損耗(約0.14%), 說明這種方法產生的CAB能量損耗極小.

為了直觀地觀察產生光束的質量, 圖4給出了表1中3種情況基模輸出光束的徑向光強分布, 并與各自對應的理想CAB和使用純相位編碼法[10]產生的光束進行了比較.從圖4中可以看到, 純相位編碼方法產生的光束光強分布與理想的CAB基本能吻合, 其中次光環的峰值明顯大于理想光束次光環的峰值, 且光環峰值不能按照從里到外的次序依次遞減, 有跳變的現象存在.本方法產生的光束,其光強分布幾乎與理想CAB完全重合, 重合度明顯優于使用純相位編碼方法產生的光束.這是由于本方法產生的CAB由腔內產生, 由于諧振腔的存在, 光波在腔內多次反射, 使得能量損失最小的基模得以保留, 而其他的損耗較大的高階模式則加以抑制, 隨著光波在腔內往返次數的增加, 混雜的高階模式逐漸衰減, 最終獲得了比腔外產生方法更純凈的CAB模式.

圖3 不同參數條件下, 使用 Fox-Li方法計算獲得的腔內光場模式分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15;(b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm,w = 0.25 mm 和 a = 0.2Fig.3.Calculation results of the intensity distributions of the modes by using Fox-Li method with different parameters: (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm,w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

為了考察產生光束的傳輸特性與理想CAB是否吻合, 圖5給出了表1中3種情況基模輸出光束在自由空間沿z軸傳播的光軸強度分布, 并和各自對應的理想CAB和使用純相位編碼方法產生的光束進行了比較, 圖中I0為各光束在初始面的主光環峰值.從圖5中可以看到, 純相位編碼方法產生的光束, 其焦點處的峰值明顯大于理想光束, 這是因為相比于理想CAB, 這種光束在初始面的次光環和高階次光環獲得了更多的能量, 而已有的研究表明, CAB主光環對焦斑峰值幾乎沒有貢獻, 可以使用壓制主光環的調制方法提升光束的焦斑峰值[23,24].本方法產生的光束, 其光軸光強分布幾乎與理想光束完全重合, 再一次證明腔內產生的光束質量明顯優于目前常用的純相位編碼方法產生的光束.

圖4 理想CAB和使用不同方法產生的光束的徑向光強分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15; (b) r0 =1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w =0.25 mm 和 a = 0.2Fig.4.Radial intensity distributions of the ideal CAB and the beams produced by different methods: (a) r0 = 1 mm,w = 0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

本文采用的方法需針對固定腔長設計衍射光學元件, 而在實際組裝諧振腔時很難做到腔長與設計長度完全吻合, 因此需要考慮腔長誤差對產生光束的影響.另外組裝系統時, 衍射元件中心和凹面鏡的中心還不可避免的會產生同軸度誤差.為了評價這些誤差對光束質量的影響, 引入結構相似性指數作為評判標準.結構相似性理論是一種常用的圖像質量測量的理論, 可以用來評估失真圖像與參考圖像的相似程度.結構相似性指數可以表示為[25]

圖5 理想CAB和使用不同方法產生的光束的光軸光強分布 (a) r0 = 1 mm, w = 0.2 mm 和 a = 0.15; (b) r0 =1.1 mm, w = 0.22 mm 和 a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w =0.25 mm 和 a = 0.2Fig.5.On-axis intensity contrast of the ideal CAB and the beams produced by different methods: (a) r0 = 1 mm, w =0.2 mm and a = 0.15; (b) r0 = 1.1 mm, w = 0.22 mm and a = 0.17; (c) r0 = 1.2 mm, w = 0.25 mm and a = 0.2.

其中A, B分別表示參考圖像和失真圖像,σA和σB分別表示參考圖像和失真圖像的標準差,σAB為參考圖像和失真圖像的相關系數.S(A,B) 的最大值為1, 其值越接近1說明失真圖像越接近參考圖像.

圖6(a)給出了光束參數為r0= 1 mm,w=0.2 mm 和a= 0.15 時, 基模特征值的絕對值 |γ| 以及結構相似性指數S與腔長誤差δl的關系, 這里腔長誤差δl定義為實際腔長與設計腔長的差值.從圖6(a)中可以看到, 即使腔長誤差達到了 2 mm ,對基模光束帶來的不良影響都非常小, 基模的能量損耗仍然極小, 且光束質量保持在較高水準, 表明這種諧振腔系統對腔長誤差具有極好的容差性.

圖6 光 束 參 數 為 r0=1mm , w =0.2mm 和a=0.15時, 系統對準誤差對產生光束質量的影響 (a)基模的|γ|以及S與腔長誤差 δl 的關系; (b)基模的 | γ| 以及S與同軸度誤差 δd 的關系Fig.6.The influence of the alignment errors on formation of the fundamental mode with r0=1mm , w=0.2mm and a =0.15 : (a) |γ| and S of the fundamental mode as a function of δl ; (b) |γ| and S of the fundamental mode as a function of δd .

圖6(b)給出了光束參數相同時, 基模的 |γ| 以及S與同軸度誤差δd的關系, 這里同軸度誤差δd定義為衍射元件中心和凹面鏡中心之間的垂直距離.從圖6(b) 中可以看出, 隨著δd的增加, |γ| 下降速度較慢,S則下降速度較快.這說明能量損耗受同軸度誤差的影響較小, 而光束質量受同軸度誤差影響較大.計算結果表明, 當δd<7 μm 時,S值能保持在0.99以上, 即產生的光束質量較高.因此建議實際組裝系統時, 同軸度誤差需小于 7 μm , 而這一精度要求以現有的機械調節技術并不難滿足.

除了系統組裝時產生的對準誤差以外, 衍射元件本身的加工誤差也會對光束質量產生不利的影響.如通常使用的離子束刻蝕技術會產生刻蝕誤差, 即理想刻蝕深度與實際刻蝕深度之間的差值.本文使用了較苛刻的誤差分布模型-離散隨機分布來分析刻蝕誤差的影響, 即大小隨機的刻蝕誤差離散地分布在衍射元件表面, 并令其中的最大誤差值為δh, 用以表征加工精度.圖7給出了基模的 |γ| 以及S與δh的關系, 光束參數與圖6相同.從圖7中可以看到, 隨著δh的增加, |γ| 下降速度較快,S則下降速度較慢.這說明能量損耗受刻蝕誤差的影響較大, 而光束質量受刻蝕誤差影響較小, 這一結論與同軸度誤差的影響正好相反.計算結果表明, 當δh<0.06λ(約 3 8nm )時, |γ| 值能保持在 0.97 以上,能量損耗仍保持較低水平.因此在加工衍射元件時, 建議刻蝕誤差小于 3 8nm , 以現有的微納加工技術完全能滿足這一精度要求.

圖7 基模的 |γ| 以及 S 與 δh 的關系Fig.7.|γ| and S of the fundamental mode as a function of δh.

4 結 論

本文提出了一種可以在諧振腔內產生CAB的方法, 且產生光束的參數可以通過改變衍射光學元件上的相位分布來進行調控.研究發現, 該方法在能量損耗和光束質量兩方面都明顯優于目前常用的傅里葉空間的純相位全息編碼法, 且使用該方法組成的諧振腔系統對誤差有很好的容差性.但另一方面, 相位全息方法光路簡單, 且使用了成熟的商業光學器件, 系統搭建要求低.而腔內產生方法由于諧振腔腔長較長, 系統所占空間較大, 需額外定制加工較高精度的衍射光學元件, 且諧振腔的搭建對光路校準有較高的要求, 因此實現難度要高于相位全息法.