代數體函數與其k 階導數的唯一性

2020-01-15 02:54:06朱新瑤劉曉俊

上海理工大學學報 2019年6期

朱新瑤，劉曉俊

（上海理工大學理學院，上海 200093）

1 問題的提出

本文涉及的代數體函數值分布論的相關概念和記號參見文獻[1-2]。

對于具有公共值的亞純函數的唯一性問題國內外眾多專家學者進行了廣泛研究，得到了許多結果[3-11]，其中一個有意義的方向是與其導數具有公共分擔值的亞純函數的唯一性問題。

1983 年，Gundersen[2]證明了定理A。

定理A設 f(z)為非常數的亞純函數， a,b為兩個互異的有限復數，若 f(z)和 f′(z)C M 分擔 a,b，則f(z)= f′(z)。

1986 年，Frank 等[12]證明了定理B。

定理B設 f(z)為非常數亞純函數， a,b為兩個互異的有限復數，若 f(z)和 f(k)(z)C M 分擔 a,b，則有f(z)= f(k)(z)。

自然地，我們會考慮如何將上述結果推廣到代數體函數。代數體函數是一種比亞純函數更為廣泛的多值函數，它由不可約方程

來確定，其中 Av(z),···,A0(z)是復平面上一組沒有公共零點的解析函數。特別地，當Av(z),···,A0(z)都為多項式時，W (z) 為代數函數。本文假設Av(z),···,A0(z)中至少有一個是超越整函數。當 v ≥2時，W(z) 為多值函數；當 v=1時， W(z)就是亞純函數。顯然， v值代數體函數是亞純函數的自然推廣。在本文中代數體函數 W(z) 的一階導數記作 W′(z) ， k階導數記作 W(k)(z),它們都為 v值代數體函數。

關于代數體函數的唯一性問題，劉慧芳[13]將定理A 推廣到代數體函數，得到了定理C。

定理C設 W(z) 為 v(v≥2)值代數體函數，a1,a2,···,a2v為 2v 個互異的有限復數，若 W(z) 與 W′(z)CM 分擔 a1,a2,···,a2v且 IM 分擔 ∞，則 W(z)=W′(z)。

當 v=1時，定理C 即為定理A。

參照文獻[13]中的定義方法，現給出如下記號： W(z) 和 M(z)為 v 值代數體函數， a為任意復數，且 W(z) 和 M(z)分擔值a。若 z0是 W(z)?a 的 u重零點時，也是 M(z)?a的至少 u重零點，則記為：W(z)=a →M(z)=a。特別地，W(z)=∞→M(z)=∞則表示 W(z) 的 u重極點是 M(z)重數至少為 u的極點。

本文考慮將定理B 推廣到代數體函數，得到定理1。

定理1設W (z) 為 v (v ≥2)值代數體函數，a1,a2,···,a2v為 2 v 個非零互異有限復數。若W(z)=ai→W(k)(z)=ai(i=1,2,···,2v)，且IM 分擔 ∞，則 W (z)=W(k)(z)。

由此，可得推論。

推論設 W(z) 為 v(v ≥2)值代數體函數，a1,a2,···a2v為 2v 個互異的有限復數，若 W(z) 與 W(k)(z) CM 分擔a1,a2,···,a2v且 IM 分擔 ∞，則 W (z)=W(k)(z)。

此外，通過對定理C 證明過程的分析可以看出，當v ≥3時，定理中分擔值的個數可以減為(2v?1)個，即得到定理2。

定理2設 W(z) 為 v(v ≥3)值代數體函數，若W(z) 與 W′(z) C M 分擔包括0 在內的 2v?1個有限復數且IM 分擔 ∞，則 W (z)=W′(z)。