基于細節比的汽車曲線品質評定方法研究＊

閆晨 紀小剛,2 于益超 胡海濤 張溪溪

（1.江南大學，無錫 214122；2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫 214122）

主題詞：車身曲線品質 定量評定 細節比 標定

1 前言

車身重構曲線曲面的品質影響著汽車及其零部件的性能、加工制造以及外觀設計。目前，車身曲線曲面的品質評定方法主要有曲率分析法、光照模型法和輔助面法[1-4]，然而上述方法無法進行定量評價，且主要由人工進行評定，往往帶有很強的主觀性，受到分析人員經驗、視覺誤差、終端分辨率等多種因素的制約，缺乏客觀、統一的評定依據，導致車身曲線曲面的品質評定結果主觀性強、準確度差且評定效率低下。因此，需要一種客觀、統一的定量評定方法對車身曲線曲面品質進行評定。

評定人員的經驗和觀點以及用戶的要求和意愿都具有很強的模糊性，需要把主觀與客觀評定相結合，將這種模糊性進行解析和量化，模糊數學理論中的模糊綜合評判方法為解決這類問題提供了有效途徑，通過建立起面向對象的綜合評定體系[5-8]，得到評定車身曲面品質的定量值，從而得到相對客觀、準確的結論，但這類方法操作過于復雜且需要耗費大量人力，因而效率低下，實用性不強。

近年來，小波分析技術在曲線造型領域應用越來越廣泛[9-11]，通過小波分解過濾掉曲線的缺陷，并保持原曲線的整體趨勢，可達到優化曲線品質的目的。曲線小波分解后可得到尺度部分（反映曲線的本質特性，即光順信息）和細節部分（反映曲線的外在缺陷，即細節信息），這兩部分均可量化，對尺度部分和細節部分進行綜合利用，構建用于評定車身曲線品質的指標，可實現定量化評定。針對現階段曲線曲面品質評定方法的缺陷，本文通過曲線的小波分解，提取曲線品質優化后得到的信息，定義曲線的細節比，由細節比的性質對不同品質的曲線進行標定，得到曲線品質等級表，實現對曲線品質的定量評定。

2 細節比的定義及其性質

由于目前主流的三維造型軟件多使用準均勻B樣條進行曲線曲面造型，同時，高次B樣條曲線的局部性較差，且冪次越高計算量越大，在實際工程應用中多使用不超過三次的B樣條，因此，本文以準均勻三次B樣條曲線為例進行說明。

尺度j下基函數為Φj、控制頂點矩陣為Cj的準均勻三次B樣條曲線fj(t)=ΦjCj經小波分解后可以得到尺度曲線fj-1(t)和細節曲線gj-1(t)，即

式（1）用矩陣形式可表示為：

式中，Pj為尺度曲線重構矩陣；Cj-1為尺度曲線控制頂點矩陣；Qj為細節曲線重構矩陣；Dj-1為細節曲線控制頂點矩陣。

對曲線執行多次小波分解可得：

式中，fi(t)(i=0,1,…,j-1)為曲線每次分解后得到的尺度曲線；gi(t)(i=0,1,…,j-1)為曲線分解后得到的細節曲線，用矩陣形式可表示為ΦjCj=ΦjPjCj-1+ΦjQjDj-1=ΦjPjPj-1Cj-2+ΦjPjQj-1Dj-2+ΦjQjDj-1=ΦjPjPj-1…P1C0+ΦjPjPj-1…P2Q1D0+…+ΦjPjQj-1Dj-2+ΦjQjDj-1。

由矩陣的運算規則可知：

式中，PjPj-1…P1C0為多次光順后得到的尺度曲線控制頂點，代表曲線所含的光順信息；PjPj-1…Q1D0、……、PjQj-1Dj-2、QjDj-1為曲線多次光順得到的所有細節曲線控制點，代表曲線所含的全部細節信息。

定義曲線細節比為：

式中，||·||為矩陣范數，本文采用F范數；∑Cnoise為曲線所含的細節信息總和；∑Cscale為多次光順后得到的曲線光順信息總和。

結合式（4）可得：

則細節比的定義式（5）可變為：

由細節比的定義可知：0≤s≤1；s越大，則曲線包含的細節信息越多，曲線的品質越差；反之，則細節信息越少，曲線的品質越好。

在計算細節比時，需要說明的是，由于B樣條曲線具有幾何不變性，處在不同坐標下的同一曲線有相同的細節，但細節比數值大小不同，為減小坐標對細節比數值的影響，在計算細節比前需對曲線進行平移變換，將控制點變換到以原點為中心，對于三維控制點為CM×3（M為曲線控制點數）的任意曲線，先將控制點矩陣加上一列全為1的列向量，擴充為M×4的矩陣CM×4，變換矩陣為：

其中，(cx,cy,cz)為原曲線控制點中心坐標，變換后的矩陣為：

變換后的控制點矩陣為CCM×4的前3列，由新的控制點進行光順處理計算曲線的細節比。

3 曲線的細節失真及其修正

3.1 曲線的細節失真

為得到曲線全部的細節信息，需要對曲線做多次小波分解，對于準均勻三次B樣條曲線，其控制點至少應為4個，所以可將曲線光順到4個控制點以得到全部的細節信息，根據準均勻三次B樣條的定義，當曲線尺度m=10時，共有u=m+3=13個基函數，節點矢量T=[0,0,0,0,1/m,…,1-1/m,1,1,1,1]=[tv](v=1,2,…,u+4)定義的準均勻三次B樣條基函數Φ=[Bu(tv)]如圖1所示。

圖1 m=10對應的準均勻三次B樣條基函數

其中第1～3個和第11～13個基函數圖像為非均勻B樣條基函數，第4～10個基函數可看作由第4個基函數平移得到，是均勻B樣條基函數。對于準均勻三次B樣條而言，其首尾6個基函數均為非均勻基函數，剩余的基函數均為均勻基函數，當曲線控制頂點較少時，非均勻B樣條基函數占總基函數的比例增大，若此時對曲線進行小波光順處理，過濾掉的細節曲線非均勻特性增強，則會出現失真現象。

為形象地說明曲線的細節失真現象，如圖2a所示，現將某131個控制點的“W”形曲線加入距離0.5 mm范圍內的噪聲，即對控制點進行0.5 mm范圍內的隨機偏移，將曲線依次光順到67、35、19、11、7、5、4個控制點，圖2b～圖2h為每次光順過濾掉的細節，當曲線從11個控制點向7個控制點光順時，過濾掉的細節曲線控制點范圍顯著超出之前過濾掉的細節，且超過0.5 mm，直至由5個控制點向4個控制點光順時細節曲線成為直線。

圖2 某“W”形曲線及其多次光順過濾掉的細節曲線

這是由于曲線光順過程中，其控制點越來越少，細節曲線控制點也越來越少，根據B樣條曲線的定義，曲線的形狀由控制頂點和B樣條基函數共同決定，控制頂點減少，B樣條基函數數量也隨之減少，非均勻B樣條基函數的數量占基函數總數的比重越來越高，曲線受非均勻B樣條基函數的影響越來越大，準均勻特性減弱，細節曲線就會出現失真現象。

3.2 曲線的細節修正

本文以控制點數分別為131和259的小半圓（半徑50 mm，記作R50）、大半圓（半徑200 mm，記作R200）、半橢圓（長半軸50 mm，短半軸40 mm，記作T5040）以及某B樣條曲線弧（記作Hu）為例，將每條曲線隨機加入0.05 mm、0.1 mm以及0.5 mm范圍內的噪聲，即對每個控制頂點分別進行相應范圍內的隨機偏移，然后對每條曲線進行小波光順處理，光順到11個控制點，將加入的噪聲計算的細節比記作理想細節比，將過濾掉的噪聲計算的細節比記作實際細節比，計算實際細節比所占理想細節比的比例及其平均值，結果如表1所列，由表1可知，曲線光順到11個控制點所過濾掉的細節部分計算的細節比約為理想細節比的97%。

表1 曲線理想細節比與實際細節比

在實際曲線重構時，為保證曲線的光順性并且節約存儲空間，同時便于工程人員操作并簡化計算，曲線的控制點一般不會太多，因此將曲線光順到11個控制點即可得到曲線大部分的細節信息，由這部分細節信息計算曲線的細節比，然后根據曲線光順到11個控制點所過濾掉的細節部分計算的細節比約為理想細節比的97%進行修正。

4 基于細節比的曲線品質等級標定

由細節比的性質可知，曲線品質等級越低，所含的細節部分越多，細節比的值也就越大。根據這一性質，可以對不同品質的曲線進行數值標定。標定方法為：在半圓形曲線上將控制點隨機移動不同范圍的距離，即隨機加入不同大小的噪聲，然后由加入的噪聲和加入噪聲后的曲線計算曲線的細節比，最后由細節大小和細節比進行標定。

分別以半徑為50 mm、100 mm、200 mm的半圓進行標定，為3條曲線加入0～1 mm范圍內的噪聲，每次增大的距離為0.01 mm，得到散點圖，對這些散點進行多項式擬合，可以得到3條直線，如圖3所示，其中，n為加入噪聲的范圍大小。

圖3 曲線標定散點圖擬合

由于在實際曲線重構時得到的曲線控制點數量有一定限制，所以只需將其光順到11個控制點即可得到約97%的細節部分，因此直線的斜率和截距均變為理想直線的97%。當加入的噪聲為0時，曲線的細節比也應為0，所以細節比與噪聲大小是線性關系，如圖4所示。

圖4 曲線標定線性圖

由圖4可知：在噪聲大小相同的情況下，外形尺寸（即曲線控制點矩陣的F范數值）越大的曲線細節比越小，曲線的品質等級越高，這與實際情況相符，外形尺寸越大的曲線，細節比圖像的斜率越小；細節比相同時（即曲線的品質相同時），外形尺寸較小的曲線所含的噪聲較小，在實際應用中，當兩曲線品質相同時，外形尺寸較大的曲線能過濾掉的細節部分也較大，這與圖4所示情況相符。

根據標定結果，按照細節比的數量級大小，可以將曲線的品質劃分為8個等級，如表2所示，等級8的曲線品質最好，等級1最差。

表2 曲線等級表

在使用細節比圖（s-n圖）時，首先由曲線光順后過濾掉的細節計算∑Cnoise，得到∑Cnoise的控制頂點并計算各頂點與原點的最大距離nmax，然后計算曲線的細節比s，根據點(s,nmax)在圖4中的位置即可評定曲線的品質等級。

5 工程實例分析

根據曲線品質等級標定方法進行工程實例分析，以驗證其可行性。

圖5所示為某汽車車燈曲面點云，對曲面進行重構時，需要先進行截面曲線重構，為此，在車燈點云上截取2個截面點云進行曲線重構，得到2條品質不同的曲線，控制點數均為131個，經過平移變換后，曲線如圖6所示。

圖5 某汽車車燈點云

圖6 汽車車燈重構曲線

由于控制點數量較多，圖6難以反映二者品質上的區別，分別對其進行曲率分析，作曲率關于弧長比的關系圖，結果如圖7所示，由圖7可以看出，曲線2的曲率較曲線1波動范圍更大且變化更劇烈，曲線2的品質較曲線1差。

圖7 曲線1和曲線2的曲率分析

對2條曲線分別進行光順處理，光順到11個控制點，得到的細節總和如圖8所示，計算∑Cnoise的控制頂點中與原點的最大距離分別為nmax1=0.010 504 mm、nmax2=0.238 152 mm，故曲線2過濾掉的細節遠大于曲線1。再分別計算兩曲線的(∑Cnoise+∑Cscale)（記作∑C）可得∑C1=1 064.565 183、∑C2=997.253 196。

比較R100、R200、曲線1和曲線2的∑C可知，∑CR100＜∑C2＜∑C1＜∑CR200。因此，圖4中曲線1和曲線2的s-n圖像應處在R100和R200的s-n圖像之 間，計算曲線1和曲線2的細節比可得：s1=5.623 447×10-5、s2=1.274×10-3。

根據(s1,nmax1)和(s2,nmax2)在圖4中的位置，結合表2可知，曲線1為6級曲線，曲線2為3級曲線，曲線2的品質較差，為保證重構曲面的品質，需要對曲線2進行一定的處理才可用于構建曲面，這與圖7所示的兩曲線曲率分析結論相符，而本文方法可以進行定量分析，能夠提高分析結果的準確性。

6 結束語

本文提出了一種定量評定曲線品質等級的方法，通過曲線嵌套形式的小波分解，結合得到的光順信息和細節信息構建曲線的細節比，由細節比的性質和數值對曲線品質等級進行劃分，與傳統的人工通過經驗評定曲線品質的方法不同，本方法給出了曲線品質等級的統一定量劃分依據。通過工程實例驗證，可以得到以下結論：

a.曲線光順到含有一定數量均勻基函數時可得到大部分細節信息，其余細節信息可以通過系數修正；

b.曲線的細節比數值大小與曲線的外形尺寸（曲線控制點矩陣的F范數值）和曲線所含細節信息大小有關；

c.曲線的品質等級越高，則其細節比越小，曲線所包含的細節信息越少；

d.由于計算過程只需要進行小波分解，能夠得到定量化的分析結果，消除人為因素的影響，評定方法準確、高效。