附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法

李嘯天，覃超，王旭華

(大連大學 建筑工程學院，遼寧 大連 116622)

1 引 言

一些學者[3～5]通過幾何推導的方法，經過各導線點做南北方向輔助線來簡化計算過程，但計算效率仍然較低。本文通過對附合導線作輔助線將其轉化為閉合多邊形，則附合導線角度閉合差的計算即為多邊形內角和與其理論值之差。本文提出的附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法避免了傳統方法在推算坐標方位角時要逐點區分各角為左角還是右角、逐邊分析是否加減180°的判斷過程，減少了計算量，提高了計算效率。實際授課表明，附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法比傳統方法更容易被學生接受，教學效果良好。

2 附合導線轉化為閉合多邊形及其角度閉合差計算

2.1 附合導線轉化為閉合多邊形方法

根據不同的附合導線布設形式，在其兩已知端點A、D分別作豎直或水平方向的輔助線，再依次連接各邊構成閉合多邊形，使所有觀測角均為多邊形的內角。需要注意的是，在此過程當中不必區分各導線點的觀測角是左角還是右角，新構成的閉合多邊形除了已有的各觀測角外，還新增加了幾個不含“誤差”的內角。

2.2 轉化后的角度閉合差計算

圖1～圖8列出了各種形式的附合導線，現以圖1為例說明附合導線角度閉合差計算的輔助線法的應用過程，并與現有測量學教材上附合導線角度閉合差的計算方法及結果加以比較。

(1)測量學教材中附合導線角度閉合差的計算

這里按推算方向各觀測角應為左角，則各邊坐標方位角推算如下：

αB1=αAB+βB-180°

α12=αB1+β1-180°

α2C=α12+β2-180°

這里，各邊的坐標方位角的計算公式均取“-180°”，是因為其前兩項之和均大于180°。

將以上各式相加，得：

則角度閉合差：

fβ=αAB-αCD+∑β-4×180°

(1)

圖1 附合導線類型一

(2)附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法

附合導線類型一的特點：自A、D兩個已知端點向上做X軸平行輔助線AF、DE不與其他導線邊相交。如圖1所示，使所有觀測角為內角，連接E、F兩點，得閉合多邊形AB12CDEFA。其中：需要觀測的角度個數n=4，新增角度4個，設閉合多邊形邊數為N，則N=n+4=8。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見，附合導線角度閉合差即為該多邊形內角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-4×180°

此結果與式(1)的附合導線角度閉合差fβ的推算公式完全相同。

2.3 對比分析

對比兩種方法的過程和結果可知，二者均能準確地求出附合導線的角度閉合差，但是教材上所提供的方法需要依次推算各導線邊的坐標方位角，且需逐邊判斷αi+βi與180°的大小關系，邊數越多，計算量越大，容易造成計算錯誤。而通過做輔助線，將附合導線角度閉合差轉為多邊形內角閉合差計算的方法則相對簡便，內業計算較小，提高了工作效率。

2.4 其他類型的附合導線及其多邊形輔助線法

按照圖1類似的方法與過程，可做出其他不同類型的附合導線(圖2～圖8)的多邊形輔助線，并推算出相應的角度閉合差。具體過程不一一詳述。

(1)附合導線類型二。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構成閉合多邊形AB12CDEFGA。

其中：n=4，N=n+5

∠G+∠F=180°，∠E=90°

∠A=αAB，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(2)

圖2 附合導線類型二

(2)附合導線類型三。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，自D點向上做X軸平行線或向右做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，構成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖3 附合導線類型三

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(3)

(3)附合導線類型四。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向左做水平線，自D點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，構成閉合多邊形AB12CDEFGA。

圖4 附合導線類型四

其中：n=4，N=n+5

∠E+∠F=180°，∠G=90°，

∠A=αAB-270°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(4)

(4)附合導線類型五。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，構成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖5 附合導線類型五

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB-180°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(5)

(5)附合導線類型六。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向左做水平線，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖6 附合導線類型六

其中：n=4，N=n+6

∠E=∠H=90°，∠F+∠G=180°

∠A=αAB-270°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(6)

(6)附合導線類型七。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構成閉合多邊形AB12CDEFGHIA。

圖7 附合導線類型七

其中：n=4，N=n+7

∠E=90°，∠F+∠G=180°，∠H+∠I=180°

∠A=αAB-180°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(7)

(7)附合導線類型八。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線或向右做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，構成閉合多邊形AB12CDEFGHIJA。

圖8 附合導線類型八

其中：n=4，N=n+8

∠E+∠F=∠G+∠H=∠I+∠J=180°

∠A=αAB-180°，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(8)

2.5 計算示例

附合導線的坐標方位角及各導線觀測角如圖8所示，前進方向A→D，現使用上述多邊形輔助線法計算該附合導線角度閉合差。該例取自文獻[1]。

圖9 計算示例

過程如下，自A、D兩個已知端點向上做豎直輔助線AF、DE，如圖9所示，使所有觀測角為內角，連接E、F兩點，得閉合多邊形AB1234CDEFA。其中：需要觀測的角度個數n=6，新增角度4個，設閉合多邊形邊數為N，則N=n+4=10。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見，附合導線角度閉合差即為該多邊形內角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-n×180°

=237°59′30″-46°45′24″+99°01′00″+167°45′36″+123°11′24″+189°20′36″+179°59′18″+129°27′24″-6×180°

=-36″

3 結 論

(1)輔助線法將附合導線角度閉合差計算轉化為多邊形內角和閉合差的計算，不用逐邊分析是否需要加減180°簡化了推算過程，提高了工作效率。

(2)通過對8種類型的附合導線角度閉合差的計算可知，其結果只有兩種形式：αAB-αCD+∑β-n×180°或αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°，區別僅僅在于180°前的系數是“n”或者“(n+2)”，且該結果只與已知邊AB的方位有關，若過A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交(如圖1、圖4、圖5所示)，則“n”；否則(如圖2、圖3、圖6、圖7、圖8所示)，該系數為“(n+2)”。