福州市平面坐標轉換模型估計算法研究

吳建

(福州市勘測院，福建 福州 350108)

1 引 言

平面坐標系統是城市各項測量工作的基準，是城市最為重要的測繪基礎設施。從20世紀50年代起我國開始采用經典大地測量技術建立全國性的平面坐標系統“1954北京坐標系”，到當前采用現代空間測量技術建立的各類高精度國家和城市坐標系統。福州市目前采用如下6套坐標系統：CGCS2000坐標系、WGS84坐標系、福州地方坐標系、福州大都市坐標系、1980西安坐標系以及1954北京坐標系，6套坐標系之間的轉換是福州市測繪數據生產和應用的基本內容之一。坐標轉換平差模型的系數矩陣包含坐標轉換公共點在源坐標系下的坐標值，因而含有隨機誤差，不滿足高斯-馬爾科夫模型的假定條件，屬于EIV(Errors-in-variables)平差模型。目前，福州市平面坐標系轉換算法忽略了系數矩陣誤差，基于經典的最小二乘估計求得的轉換參數有偏[1]。Xu等(2014)[2]、曾文憲(2013)[3]從理論上研究了系數矩陣誤差對最小二乘參數估計偏差以及參數精度的影響。Schaffirn(2008)[4]、Xu(2012)[5]、Shen(2013)[6]、Fang(2013)[7]等研究了整體最小二乘估計算法，姚宜斌(2010)[8]、方興(2014)[9]等研究了坐標轉換模型的整體最小二乘(Total Least-squares，TLS)估計算法。坐標轉換模型的TLS估計具有漸進無偏性，理論上要優于LS估計。TLS估計屬于非線性估計，計算復雜度遠高于LS估計，實際應用中往往需要根據EIV模型系數矩陣誤差對LS參數解以及參數精度的影響程度確定估計算法。當系數矩陣誤差影響小能夠滿足精度要求時，可忽略系數矩陣誤差采用LS算法求解；當系數矩陣誤差對LS接的影響過大，則必須采用TLS估計算法求解。本文將利用EIV模型及其估計理論的最新研究成果，分析和評估了福州市平面坐標轉換模型采用最小二乘估計(leastsquares，LS)引起的參數估計值的偏差以及對參數精度的影響；在此基礎上，提出了福州市實際應用中平面坐標轉換模型估計算法的選擇方案和建議。

2 平面坐標轉換模型的LS估計算法

平面坐標轉換模型也稱為四參數模型，對于第i個坐標轉換點，模型形式如下：

(1)

若令c=mcosα，d=msinα，平面坐標轉換平差模型可表示為：

l=(A-EA)β+el

(2)

相應的隨機模型為：

(3)

(4)

式中，P表示l的權陣。

3 福州市平面坐標轉換模型LS估計偏差分析

3.1 坐標轉換模型LS估計偏差公式

坐標轉換模型屬于典型的EIV模型，Markovsky(2007)[1]等證明了EIV模型的LS估計為有偏估計。測量領域，Xu(2013)[5]，曾文憲(2013)[3]首次研究了EIV模型的LS估計偏差理論，以下筆者利用文獻[3]中的理論從數值方面分析當前福州市平面坐標轉換模型采用LS估計引起的估計偏差的數量級大小，以及系數矩陣誤差對LS估計精度的影響。

如果忽略系數矩陣中的誤差EA，根據文獻[3]，式(4)的LS參數估計偏差以及參數協方差陣估計偏差分別為：

(5)

(6)

(7)

式中，W表示系數矩陣中觀測值對應的權陣。

3.2 福州市平面坐標轉換模型LS估計偏差分析

實際測量工作中，福州市各級控制網的距離從數公里至數百公里，不同距離長度的控制網在進行坐標轉換時LS估計的偏差的量級不同。為了涵括坐標轉換各類情況，筆者設計了均勻分布的坐標轉換點，如圖1所示，且控制網點間距離分別為 5 km、10 km、50 km和 100 km等4類情況進行偏差分析。坐標轉換數據精度涉及以下兩種情況：

①現代坐標系統之間的轉換(如WGS84與CGCS2000)，觀測向量l和系數矩陣精度均為厘米級，根據福州市實際情況均取 0.02 m；

②現代坐標系與經典大地坐標系之間的轉換(如WGS84與1980西安坐標系)，觀測向量l的精度為厘米級，取 0.02 m；系數矩陣中的坐標值精度為分米級，取 0.2 m。自然資源部于2019年1月1日起不再提供1980西安坐標系以及1954北京坐標系下的測量成果，且各部門成果也要求轉換到CGCS2000坐標系下，因此，經典坐標系之間的轉換很少，這里不進行討論。

圖1 福州市域高等級控制點分布圖

福州市Ⅰ類平面坐標轉換模型LS估計偏差 表1

福州市Ⅱ類平面坐標轉換模型LS估計偏差 表2

從表1和表2的實例數據分析，可以得到如下結論：

(1)坐標轉換模型中，平移參數T的系數矩陣是固定陣，T的偏差和中誤差與坐標網公共點間的距離(或系數矩陣的信噪比)無關，而旋轉參數R和尺度因子S的偏差隨公共點間的距離的減小約呈現二次方增長，中誤差隨距離的減小大致成比例減小，與前文理論分析一致。

(2)大地坐標轉換模型中網距離通常在數公里以上，不論是第Ⅰ類現代大地坐標系之間的轉換，還是第Ⅱ類現代大地坐標系和經典大地坐標系之間的轉換，系數矩陣誤差引起的LS參數估計值的偏差完全可以忽略不計。

(3)系數矩陣誤差對參數精度的影響，要視坐標網大小、網形結構等而定。表中結果清楚地說明論文大地坐標轉換模型用LS方法計算的參數中誤差遠小于中誤差的實際值，即高估了坐標轉換參數LS解的精度。在第Ⅰ類現代大地坐標系之間的轉換中，由于觀測向量中的目標坐標系坐標值和系數矩陣中的源坐標系坐標值精度相當，LS計算的參數中誤差約只有實際值的50%。在第Ⅱ類現代大地坐標系和經典大地坐標系的轉換中，由于經典坐標值僅為現代坐標系的坐標值精度的10%，LS參數精度更是高估。

(4)大區域范圍進行坐標轉換參數的解算時，若選擇的坐標點分布均勻，當坐標網較大時(實例中坐標網的距離大于 100 km)，LS估計能夠滿足精度估計要求。

4 福州市平面坐標轉換模型估計算法選擇建議

平面坐標轉換模型屬于系數矩陣含隨機誤差的EIV模型，最小二乘估計有偏。根據本文的理論和實證分析，對實踐中福州市各類平面坐標轉換模型參數估計算法提出如下建議：

(1)福州市平面坐標轉換模型估計能否采用最小二乘算法，取決于式(6)計算的LS參數的方差或者中誤差的大小，如果中誤差在精度要求范圍之內，則采用LS求解，但參數的中誤差須按式(6)計算，經典的LS參數中誤差公式由于沒有考慮系數矩陣誤差，不能反映其精度。如果參數的LS估計精度不能滿足要求，則必須采用整體最小二乘估計算法求解坐標轉換參數。

(2)從本文3.2對福州市各類坐標轉換估計算法的實驗分析來看，對于福州市現代大地坐標系統間的轉換(第Ⅰ類)，當公共點網距離在 50 km以上的較大區域計算平面坐標轉換參數時，可忽略系數矩陣誤差，采用最小二乘估計求解，完全可以滿足當前高精度定位中坐標轉換參數精度的要求。當公共網點距離 10 km以上時，如果公共點數量較多、網形合理以及分布均勻時，采用LS估計求解轉換參數能夠達到厘米級的定位精度要求。當公共網點距離在 10 km以下時，應視具體項目坐標點位精度要求、坐標網點距離、網形結構等確定LS估計能否滿足精度要求。

(3)對于福州市現代大地坐標系與經典大地坐標系間的轉換(第Ⅱ類)，由于系數矩陣的精度約為分米級，因此，忽略系數矩陣誤差得到的坐標轉換參數的精度比第Ⅰ類數據約降低了一個數量級，表2反映了坐標轉換參數的LS解的中誤差主要來源于系數矩陣坐標值的誤差。如果采用LS估計坐標轉換參數，能滿足分米級的坐標計算要求，同樣，參數中誤差應采用式(6)計算。若采用TLS估計坐標轉換參數，則可較大程度提高參數估計的精度。