數學學科核心素養的培養

王春曉 趙靜

【摘要】數形結合是數學學科核心素養的重要內容，本文從與坐標軸交點、極值點、拐點等特殊點出發，以具體三次函數和四次函數為例，由點到線，分析了函數在特殊點附近的單調性和凹凸性，探索了多項式函數作圖步驟，為數形結合的進一步深入以及多項式函數的實際應用打下了基礎.

【關鍵詞】多項式函數;畫圖;極值;拐點

一、研究背景

數學學科核心素養主要是指學生在接受數學教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力[1].因此，在數學學科教學中，對數學學科核心素養的培養尤為重要.多項式函數的數形結合，不僅能夠幫助我們根據函數表達式解決函數單調性、極值、拐點等問題，得到函數圖像，而且能夠幫助我們根據實際問題涉及的單調性、極值、拐點等內容，選擇合適的函數，得到函數表達式，將實際問題抽象成數學問題，通過解決數學問題來尋求解決實際問題的方法.因此，這里以多項式函數作圖為例進行數形結合探索.

二、預備知識

三、多項式函數作圖基本步驟

多項式函數作圖時首先要考慮函數定義域，找到函數圖像中的特殊點，如，與坐標軸交點、極值點、拐點等，確定函數圖像變化趨勢，最后得到函數圖像[3]，具體步驟如下：

第一步：函數定義域

函數定義域是研究函數的基礎，也是函數作圖必須考慮的.這里涉及的多項式函數定義域為整個實數域R，這里不做過多贅述.但在應用時，要根據生活實際問題確定有效的定義域，避免出現無意義結果.

第二步：判斷函數奇偶性

根據函數表達式判斷函數是否為奇函數或偶函數，函數奇偶性的判斷能夠幫助學生從整體上把握函數圖像特征.由于奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于y軸對稱，可根據此性質對所得函數圖像進行驗證，避免作圖出錯.

第三步：求x→±∞時函數極限

根據x→+∞和x→-∞時函數極限確定函數變化趨勢，在坐標軸上描出函數起始和結束大致位置.

第四步：求與坐標軸交點

求多項式函數與x軸交點坐標可通過求方程f（x）=0的解.實際生活中，多項式函數與x軸交點一般不易求得，可借助計算器求得，這里不再贅述.函數與y軸交點可通過計算f（0）的值得到，之后，在坐標軸中描出交點坐標.

第五步：求導數

求函數一階導數、二階導數和三階導數主要是為了確定函數的極值和拐點.

第六步：找極值點

函數的極值不僅是函數圖像中非常重要的特殊點，而且是求解函數最值的基礎，同時，在局部范圍內反映了函數變化趨勢（即在極大值附近函數左增右減，在極小值附近函數左減右增）.之后，根據函數極值點位置，在坐標軸中描出函數在極值點附近變化趨勢.

第七步：找拐點

根據函數拐點附近凹凸性變化情況[即當f″（xg）=0且f（xg）>0時，在xg附近左凸右凹;當f″（xg）=0且f（xg）<0時，在xg附近左凹右凸].然后，根據函數拐點位置，在坐標軸中描出函數在拐點附近變化趨勢.

第八步：連線

用平滑曲線根據函數單調性和凹凸性，由函數起始位置到結束位置將函數極值點和拐點連接起來，得到多項式函數圖像.

五、結論與反思

本文主要給出了兩個最高次項系數為正的函數作圖步驟，實際應用時，多項式函數最高次項系數為負的情況同樣也適用.本文根據函數表達式，通過研究函數性質，作出了函數圖像.在根據實際問題，提煉函數特征（如單調性、極值、拐點等），選擇合適的函數，得到函數表達式方面還有所欠缺.

【參考文獻】

[1] 郝旭嵐.冀教版初中數學教材學科核心素養探索[J].教育實踐與研究，2017（02）：19-21.

[2] 同濟大學數學系.高等數學（上冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]技術專業數學-北威州應用科技大學入學考試[M].柏林：Cornelsen出版社.