高等數學教學中的幾點體會及翻轉式教學法探析

武躍祥 周雪艷 高卓艷

【摘要】本文先談了高等數學教學中的幾點體會，然后結合大班授課、小班輔導的授課方式對大數據時代背景下翻轉課堂在高等數學教學中的應用進行了探析.

【關鍵詞】高等數學;教學體會，翻轉式教學法

【基金項目】山西省教育科學“十三五”規劃2019年度課題（GH—19033），山西財經大學教學改革創新項目2019243

一、高等數學教學中的幾點體會

高等數學一直在物理、化學、計算機等學科中起著重要作用，隨著科學技術的發展以及大數據時代的到來，高等數學更是在很多新興學科以及一些交叉學科中發揮著越來越重要的作用.在高等數學的教學中，筆者認為應注重以下幾方面的教學.

1.目前有相當一部分教師不太重視對數列極限和函數極限概念花很多時間去認真仔細地給學生做講解，或者說重視程度不夠.我們認為講解好極限概念是高等數學教學中頭等重要的事.因為只有深刻理解了極限概念，才能進一步理解好后面的函數連續性、一元函數的導數和多元函數的偏導數、一元及多元的積分等概念，函數的連續性、函數的可導性以及函數的可積性等就是特殊形式的極限.

比如，極限概念的教學，我對數列極限或函數極限有深刻的體會，學生如果能對極限概念掌握得好，那么將對本課程后續知識的學習起到關鍵性作用.數列極限中的ε-N的定義，ε和N有著豐富的思想內涵，其中正數ε既有任意性又有確定性，ε的任意性說明了ε“要有多小就有多小”，反映了數列an與常數a“想有多近就有多近”，但是在這個過程的任意一個階段，ε給定后又成為一個相對確定的數.自然數N既具有與ε的對應性又存在可變性，N的大小由ε確定，ε越小，N往往越大，但N又不是唯一的，ε的任意性和相對確定性深刻反映了極限概念中的靜止與運動、精確與近似、固定與變化、有限與無限之間的辯證關系，即用一系列的靜態去刻畫和把握動態，這種靜與動的辯證關系正符合事物發展變化的一般規律，ε的任意性表明極限是人們從近似中認識精確的數學方法.

在高等數學中，極限是基礎，后續的許多概念都是以它為基礎的，如果這個概念理解不好或沒有理解，勢必影響后面的學習，所以，建議教師必須在這一部分多下功夫，必須讓學生對極限概念有一個很好的理解和認識.除了對教材上的例子做講解外，對其中的習題也要做較多的講解，還可考慮從課外找些題來講.否則，將對他們以后的學習帶來不少麻煩.

2.對無窮小記號o（f（x））的理解，很多學生不理解這個記號的含義，它實際上是所有比f（x）高階無窮小的一個函數類，是一個集合的記號.另外，對無窮小代換方法求極限也要有足夠的重視.上課的時候，教師除給學生講解無窮小代換定理外，還需要強調一些應用此定理的注意事項，乘除情況下一般沒啥問題，但和差情形下就得小心了，多用此定理做幾個例題，并指出幾個等價關系.講過此節以后，一定要強調讓學生學會和應用好這個定理.有許多習題，如果用無窮小量代換方法求極限，就很簡單，但如果用洛必達法則來求則很麻煩，或者說求不出來，或者說雖然能求出來，但求的很費事.所以在教學中一定要注意這個問題.

3.此外就是如何正確使用微元法的問題.在談到這個話題時，要舉一個求旋轉體的側面積問題，這個例子大部分教師沒給學生講過，可以說是一個失誤.因為不舉這個例子就說明不了正確使用微元法的問題.事實上，在一個小區間上所對應的側面積不能看成圓柱的側面積.微元法問題貫串于一元和多元函數微積分的應用中，如求面積、求體積、求做功、求長度、求質心等許多問題.否則，學生會對微積分的應用感到有些不相信，始終會抱有疑問.

4.關于微分方程問題，我們要特別注重與數學建模的聯系，要講解一些生動的數學模型.應該特別注重對微分方程所求得的解做定性分析，研究這個解有何特性，在實踐中有何意義.這是目前在教學中所不太注意或者說欠缺的問題.也許是因為在講這一章時，已經到了學期末，時間有點緊張.不管何種原因，學生對這部分內容的理解不夠好，失去了對這部分的興趣.

高等數學的教學中一定要注重對學生數學思想方法的教育，重視數學在實際中的應用的講解，避免一味地灌輸一些數學理論和數學公式，要合理地發揮教師的主導作用和學生的主體作用，適當地提問學生，提高學生的注意力和學習的積極性、主動性.

二、高等數學翻轉式教學法

大數據時代背景下“翻轉課堂”在特定條件下因能比較有效地改善教學效果而廣受國內外教育工作者的關注，當前，翻轉課堂教學已經成為各大高校課堂的首選改革模式，作為多門學科中的重要工具的高等數學也應該積極進行翻轉課堂教學改革.

翻轉課堂模式在多個高等學校的部分課程中已經積極開展起來，通過改變傳統教學中的師生角色和對課堂時間的重新規劃，實現了知識傳授和知識內化的顛倒安排，完成了對傳統教學模式的改革創新.然而，經調查發現，目前大部分教師還不情愿進行翻轉課堂教學，他們在課堂上傳統講授已經習慣了，覺得按自己的思路引導學生一步一步地學習知識就不錯，而進行翻轉課堂教學單備課花的時間更多更費事不說，學生學習的主動性雖然強了，但學習效果對大部分學生來說并不一定好，他們說高等數學內容有相當大的難度，不是靠自學就能學好的.筆者認為這些教師說的不是沒有一定道理，但也不是就完全沒必要進行翻轉課堂教學，個別內容、個別知識還是可以進行翻轉教學的.目前，個別教師對高等數學的翻轉課堂實施情況也僅局限于傳統課堂上的講授時間的調整、師生互動次數上的調整.總之，高等數學翻轉課堂模式的應用還遠遠不夠，如何推廣這種教學模式和推廣到什么程度使其效果發揮得更好必定還需我們做很多的努力.

在教學內容方面，現今的高等數學的教學仍然過于注重數學概念、數學定理的推導與證明、數學計算以及解題的技巧，使數學知識變得更加抽象和枯燥，與現實生活中的實際問題有一定的距離.在授課過程中，任課教師過分強調數學的邏輯性和嚴密性， 使學生無法完全理解抽象的數學知識， 從而對高等數學學習失去一定的興趣.尤其在課堂上，任課教師和學生的互動一般都較少.

傳統的“大班授課、小班輔導”模式，主要是由主講教師對高等數學內容進行大班講授，人數在90～200人不等;由助教或青年教師開設小班輔導課，40～50人，主要是通過歸納總結課堂知識、講解課后習題、課堂討論、叫學生上黑板做題等方式進行輔導，從做題中掌握高等數學知識.這種傳統的模式，在20世紀八九十年代曾經普遍應用過，當時招生規模比較小，教學效果也非常好.但隨著招生規模的擴大，師資力量嚴重不足，就逐漸行不通了.許多學校因學生人數眾多，不得不把剛剛進校任教的青年教師拉上講臺主講高等數學，就這樣還常常顯得師資力量不足，更不用說給學生上小班輔導課了.自此以后，大多數高校就基本上沒有輔導課了，給學生學習高等數學或多或少帶來了一些負面影響.

筆者認為并不是高等數學的所有內容都適合用翻轉課堂教學來取得好效果，比如極限概念、極限存在準則、無窮小與無窮大、導數與微分概念、隱函數求導、泰勒公式、定積分、曲線積分與曲面積分等許多內容就不適宜用翻轉課堂教學法，而個別內容如極限運算法則、高階導數、函數單調性判斷、向量及其運算、收斂級數性質等不妨一試，即便使用翻轉教學法也得預先精心設計.進而如何將翻轉課堂應用于高等數學的部分學習內容引便發了筆者的積極思考，對教授高等數學的一線任課教師來說也是一個極大的挑戰，經過一段較長時間的分析、調研和總結，筆者將翻轉課堂需要注意的幾點闡述如下，以供讀者參考.

1.教師多方面發布學習內容.

翻轉課堂教學首先需要教師進行學習內容的傳遞，可以通過課件、微課等來進行.教師要提前準備視頻、課件等教學資源，這些資源可以由課程主講教師親自錄制或者查找，多渠道地搜集與教學內容相符的視頻、網絡上優秀的教育資源等.督促學生根據自己的條件和喜好選擇適合自己的方式進行學習.這樣不僅提高了資源的利用率，還節省了人力、物力和財力，也使學生感受到眾多教師的教學方法和授課技巧，開闊學生的視野，給學生耳目一新的感覺，調動學生的學習積極性.

2.課中明確學習任務.

分為三步：第一步，引導學生對收獲和疑問進行記錄;第二步，及時將遇到的疑難問題通過QQ、微信等方式傳送給老師，以便老師在課上做到心中有數;第三步，根據學生反饋的情況，老師需要歸納整理，引導學生利用已有知識解決新問題，從而完成向新知識的過渡.

3.當堂答疑，及時糾正學生理解上的錯誤，講解重難點問題.

4.課后通過電腦、QQ、微信等網絡平臺并利用現有手中的資源，及時地進行溝通輔導，因材施教.充分利用電腦、手機、QQ、微信等平臺課后解答學生的疑難問題，對學生隨手可及的資源有針對性地輔導，以加強對學習內容的鞏固和對疑難問題的理解.

5課堂教學效果評價.

為了展示學習效果，在學生完成翻轉課堂學習之后，按照知識重點、難點等內容合理地劃分時間段，適時組織學生在課堂上進行報告，分享取得成果的心得和體會，交流學習體驗.在成果交流中，報告人和非報告人之間最好能進行辯論和交流，且辯論得越激烈越好，教師一定不要打斷他們.在課堂直接進行匯報之后，教師和同學可在課堂上進行討論、評價，綜合打分.

6.學生自評，記錄整個學習過程，建立學習檔案.

首先，學生要進行自評.翻轉課堂不僅涉及學生的自學能力、獨立性，還涉及學生的合作能力、表達能力等.其次，老師要對學生整個的學習過程進行記錄，并建立學習檔案.記錄、建檔、評價的內容涉及多個方面，在自學過程和小組學習中的表現、學習時間安排、效果和成果展示等，真正的評價的作用在于提醒學生對知識和技能的掌握程度，強調學生在翻轉課堂學習過程中的表現，強調了平時學習的重要性.

筆者認為新時代背景下學習高等數學不能單純地依靠死記硬背，親自動手練習、自主探索與合作交流是學生學習高等數學的重要方式.在翻轉課堂教學中，更加注重的是學生的主動性，是教師和學生之間的互動，是將課堂的主動權交給了學生，讓學生成為課堂的主人.有的人認為，翻轉式學習是小學、中學的事，高等數學中還能進行翻轉式學習？事實上，高等數學教學中進行翻轉式學習確實是很困難的，但有些內容有些知識有時通過翻轉式學習，一方面能夠使學生獲得一些必要的數學知識，另一方面能夠培養學生的自主學習能力和創新能力，提高學生學好高等數學的自信心，使學生在以后的發展中受益.

例如，在求∫dxx2x2-1的教學中，可首先把學生分成若干小組，讓他們先自主討論，然后分組匯報學習成果，最后分析其中的不足，選取較優的解題方法.這樣我們把學習的主動權還給學生，教師成為學習的引導者和組織者，從而較大地提高學習效率，激發了學生的學習積極性.以下是幾種代表性解法.

傳統教學中則是教師直接去講解，學生處于被動接受的地位，不便于發揮學生的主動性和積極性，翻轉式學習不僅激發了學生的興趣，還培養了學生的發散思維和合作能力.

總之，新時代背景下把新的教育教學理念運用到高等數學的課堂教學中是至關重要的，這不僅要求教師要有淵博扎實的專業知識，還要改變教育教學觀念，有過硬的教學基本功，這就要求我們努力學習專業知識和教育理論，真正使自己更上一層樓.

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