非線性砰擊載荷對某大外飄型船舶疲勞損傷的影響

徐志亭，趙超，王福花

中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011

0 引 言

船體在海上航行過程中，受波浪的作用，船體會進行六自由度運動，導致船體結構產生變形。一般情況下，船體受到的波浪載荷和結構中的應力應變隨時間的變化是一個緩慢、隨機、與波浪特征一致的過程。當船舶航行于較高海況時，船體艏、艉部可能存在頻繁地出水、入水的過程，在此過程中，會發生嚴重的砰擊現象，給船體結構帶來局部和整體的高頻振動響應，也即顫振。顫振可加劇船體結構的疲勞損傷［1］。砰擊現象一般發生在中、高浪級情況下，對于大外飄型船舶，由砰擊彎矩造成的疲勞損傷不可忽略。因此，本文將針對由非線性砰擊載荷造成的疲勞損傷問題進行研究。

目前，針對疲勞分析的直接計算法主要有譜分析法和設計波法［2］，通常不考慮非線性載荷的影響。在船舶力學研究與結構設計領域，越來越多的學者開始關注如何計算非線性波浪載荷，以及砰擊非線性載荷成分對船體結構強度的影響，尤其是對一些具有大外飄、高航速等特點的船型［3］。進行船體結構疲勞強度校核時，采用時域計算能很好地計入非線性因素的影響，計算的波浪載荷時歷能夠較真實地反映出船舶航行時的狀況［4］。因為需要求解船體振動響應，而將船體看作剛體來求解水動力問題的傳統方法已行不通，必須引入水彈性理論。Wu 等［5］提出了三維非線性水彈性理論，以及二階水動力作用，考慮了航速和定常興波的影響，以及大幅度運動和瞬時濕表面變化等對非線性波浪力的貢獻。綜合來看，對由非線性砰擊載荷造成的疲勞損傷，目前的分析方法都是先通過時域載荷理論計算非線性載荷時歷，求得疲勞熱點應力時歷，然后再通過雨流計數法統計應力損傷次數，最后結合疲勞損傷累積理論計算疲勞損傷。但考慮到疲勞熱點眾多，計算工況復雜，載荷時歷計算與雨流計數法費時費力，倘若能直接給出一個基于線性載荷的放大系數，便可極大簡化計算過程。

針對上述問題，本文將首先針對船舯區域主甲板或底部縱骨，采用非線性時域水彈性方法計算非線性載荷（含砰擊載荷）作用下的縱骨應力時歷（該時歷包含低頻分量（線性成分）和高頻分量（非線性成分））；然后，采用雨流計數法統計出縱骨節點在線性載荷和總載荷下的疲勞應力范圍分布；接著，分別計算縱骨節點在線性載荷和總載荷下的疲勞損傷，并給出非線性砰擊載荷產生的疲勞損傷放大系數；最后，將損傷放大系數轉化為由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數，由此，即可在計算全船其他節點的疲勞損傷時將波浪彎矩放大系數考慮進去。

1 時域非線性水彈性力學運動方程

在時域內，不規則波船體運動的非線性水彈性力學方程可以寫為如下形式［6-7］：

或者

式中：a，b，c分別為船體的廣義質量、阻尼和剛度矩陣；μ，B，C分別為流體的無窮大附加質量、考慮航速效應的阻尼及流體的回復力剛度矩陣；C′ 為考慮航速效應的剛度矩陣；Krs(t)為延遲函數，其可體現不規則波中的記憶效應；FI(t)為入射波力；FD(t)為繞射波力；FR(t)為輻射力；Fslam(t)為由船體劇烈運動引起的砰擊力；FS(t)為靜水回復力；pr(t)為t時刻第r 階模態的主坐標；τ為積分變量。

為求解船體結構的運動方程，需要確定作用在彈性船體上的非線性流體載荷。

1）靜水回復力［2］。

式中：ρ為流體密度；g為重力加速度；S(t)為瞬時濕表面；psa為主坐標；ur為彈性結構體的第r階自由振動模態產生的位移矢量；n為垂直于物面方向的單位矢量；ws為第s 階模態的垂向位移；FG為船體重力；Crs為第s 階模態的垂向位移產生的靜水動壓力對第r 階運動模態的貢獻。

2）入射波力［8］。

根據卡明斯脈沖響應給出的時域波浪力卷積關系，船體的入射波力FI(t)可表示為

其中

式中：ζ(τ)為不規則波波面起伏，m；(t)為第r 階模態下波浪入射力的脈沖響應函數；(iω)為單位波幅規則波作用于船體上產生的波浪入射力的頻響函數；ω為波頻。

3）繞射波力［8］。

與入射波力的求解方法相同，不規則波中船體繞射力FD(t)的表達式為

其中，

為求解船體結構的運動方程，需要確定作用在彈性船體上的非線性流體載荷。

4）輻射力。

時域輻射力FRrs( )t的表達可分為瞬時項與記憶項相加的形式：

其中，

式中：S(t)為平均濕表面；nr為第r 階模態單位法向矢量；Φ為定常速度勢；U為船舶航速；ξr(t)為t 時刻第r 階模態的運動位移，可用主坐標pr(t)表示；ψ1s為船舶在s 階模態以無窮大頻率運動時的流場速度勢；ψ2s為與定常移動有關的速度勢；χr(p，t)為 自 由 面 的 記 憶 效 應。ψ1s，ψ2s和χr(p，t)滿足的初邊值問題在這里不予展開，具體細節參見文獻［9］。

5）砰擊力。

根據動量砰擊理論［1］，當船體與波浪的相對速度大于0 時，在任意時刻t，船體所受砰擊力Ff(t)為

式中：m∞(t)為頻率趨于無窮大時的垂蕩附加質量；wrel(t)為船體表面點P(xb，yb，zb)與波浪的垂向相對位移，表達式為

式中：z為重心處的垂蕩響應；φ為重心處的縱搖響應；θ為重心處的橫搖響應；ζr(t)為規則波的波面升高，其表達式為

其中，ζa為規則波波幅；k為規則波波數；ωe為遭遇頻率；β為航向角；ε為初始相位。

當考慮了船體在流場中的彈性變形后，船體與波浪的垂向相對位移的表達式為

式中，wr為第r 階模態的垂向位移。對應的垂向相對速度為

此時，加入到船體振動方程的砰擊作用力可以寫為如下形式：

6）自動舵力。

由于船舶的水平運動不具有恢復力，故帶來了斜浪求解發散問題。但在實際情況下，在波浪中航行的船舶是通過不斷操舵來保持自身航向和航跡的，而引入自動舵模型后，可以解決水平運動求解發散問題。

式中：BRudder為搖艏和橫蕩運動阻尼系數矩陣；CRudder為恢復力系數矩陣；ERudder為積分項系數矩陣；η為只含船舶橫蕩和艏搖的運動矩陣；η?為只含船舶橫蕩和艏搖的運動速度矩陣；η6為船舶的艏搖運動。詳見文獻［6］。

7）時域非線性水彈性力學方程的求解［8］。

時域非線性水彈性力學方程通常采用四階龍格—庫塔（Runge-Kutta）法求解。Runge-Kutta 法為顯式單步法。經典的Runge-Kutta 法具有4 階精度，對于初值問題：

其步進求解的格式為：

式中：f(x，y)為變量y對變量x的導數；xn，yn為第n 次循環后的x值和y值；l 為時間間隔；K1～K4為求解的參數。

給定初值，對于上述標準一階微分方程組用Runge-Kutta法步進求解，即可獲得運動響應時歷。

解出主坐標后，利用模態疊加原理，就可以得到船體結構的位移w(x，t)、彎矩M(x，t)和剪切力V(x，t)［6］。

式中，Mr，Vr分別表示第r階模態的彎矩和剪切力。

2 考慮非線性砰擊載荷影響的船舶結構疲勞評估方法

船舶結構疲勞強度評估方法一般包含2 個方向：一個是建立S-N 曲線以及Miner 線性損傷理論的累計損傷判定方法；另一個是基于斷裂力學的計算方法。本文主要采用第1 種評估方式。疲勞強度評估的直接計算方法主要包含以下內容：作用在船體結構上的疲勞載荷計算，其中涉及水動力分析、應力響應評估和疲勞損傷計算。

發生砰擊時，除了由砰擊引起的顫振效應，還存在高頻波激振動效應，本文的非線性時域水彈性分析方法包含兩者的影響。

非線性砰擊載荷（含高頻波激成分）計算都是在時域范圍內進行，故得到的應力響應都是時歷響應。其可以通過雨流計數法進行統計分析，得到不同砰擊載荷的循環次數，進而再進行疲勞損傷計算。具體計算步驟為：

1）基于三維非線性時域分析方法，計算船體梁垂向波浪彎矩的時歷。此波浪彎矩包含低頻和高頻分量，其中，低頻分量為不含砰擊振動影響的垂向波浪彎矩（即波頻分量），高頻分量為波激振動和砰擊顫振誘導的垂向波浪彎矩。

2）分別將垂向波浪彎矩波頻分量和總彎矩的時歷響應作用在船體上，得到計算點在波頻分量作用下的應力時歷和總彎矩作用下的應力時歷。

3）采用雨流計數法［10］對應力時歷進行計數統計，獲得各裝載工況、海況和浪向下各個波頻分量的應力范圍Sw，k，或各個總彎矩應力范圍St，k的循環次數。

結合S-N 曲線和Miner 線性累積損傷準理論，分別按式（18）和式（19）獲得單位時間內第n 裝載工況、第j 海況和第i 浪向角的波頻分量疲勞損傷度dnji，w與總彎矩疲勞損傷度dnji，t。

波頻分量疲勞損傷度：

總彎矩疲勞損傷度：

式中：nnji(Sw，k)，nnji(St，k)分別為第n 裝載工況、第j 海 況、第i 浪 向 角 條 件 下 第k 個 應 力 范 圍Sw，k和St，k的 循 環 次 數；N(Sw，k) ，N(St，k) 分 別 為 根 據S-N 曲線獲得的對應于應力范圍Sw，k和St，k的疲勞 失 效 循 環 次 數；tnji，w，tnji，t分 別 為 第n 裝 載 工況、第j海況、第i 浪向角條件下波頻分量載荷和總彎矩載荷的擬合時間，s；ns，w為第n 裝載工況、第j海況、第i 浪向角條件下波頻分量應力范圍的個數；ns，t為第n 裝載工況、第j海況、第i 浪向角條件下總應力范圍。

計算點處波頻分量的疲勞累積損傷度由式（20）得到。

式中：nl，ns，nh分別為裝載工況總數、海況總數、浪向總數；T 為損傷計算總時間；pn，pj，pi分別為第n裝載工況、第j海況、第i浪向的發生概率。

計算點處總彎矩分量的疲勞累積損傷度按式（21）獲得：

4）計算由砰擊彎矩引起的疲勞損傷放大系數。

砰擊載荷引起的疲勞損傷放大系數可由下式獲得。

由于大部分計算點的疲勞損傷受船體梁載荷和局部載荷的雙重影響，而此影響系數主要考慮了船體梁砰擊彎矩對疲勞損傷的影響，未考慮局部砰擊載荷對疲勞損傷的影響，故適用于由船體梁總縱彎曲引起的疲勞損傷計算。

5）計算由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數。

在常規計算點的疲勞強度評估中，一般分別計算船體梁載荷和局部載荷，船體梁載荷一般僅計入線性波浪載荷（近似于波浪彎矩的波頻分量），因由非線性高頻砰擊載荷引起的疲勞損傷計算費時費力。倘若將由高頻砰擊彎矩引起的疲勞損傷放大系數轉化為等效波浪彎矩放大系數，可以采用低頻波浪彎矩線性放大的簡化方法快速評估任一計算點的總縱彎曲疲勞損傷，以及由總體載荷和局部載荷引起的總疲勞損傷。

在船舶結構疲勞分析中，經常采用兩參數的Weibull 分布來表示應力范圍S的長期分布，且假定S-N 曲線最常用的形式是冪函數式［5］，即

式中：N為與應力范圍S相對應的疲勞結構失效次數；m和A為與材料、應力比、加載方式等有關的S-N 曲線參數。

則相應的疲勞損傷計算式［11］為

式中：NL為所考慮的整個時間期間內應力范圍的總循環次數；q為應力范圍長期分布的尺度參數，q=S0/(lnN0)1/h，其中S0為超越概率水平為1/N0的應力范圍；h為應力范圍長期分布的形狀參數；Γ()為伽瑪函數。

由于應力范圍與波浪彎矩成正比，則由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數kp為

式中，m為S-N 曲線反斜率。

3 算例計算

本文以某大外飄型船（船長約200 m）為例，進行含砰擊載荷影響的疲勞損傷計算。

選取北大西洋海浪散布圖，海浪的功率譜密度函數采用由有義波高HS和平均跨零周期TZ表征的雙參數P-M 譜。浪向角取為0°～360°，浪向角間隔為30°，各浪向角的發生概率相等。按照滿載工況、50%在航率，計算25年時間內的疲勞損傷。

計算位置選取為受船體梁彎矩影響的船舯剖面甲板縱骨和外底縱骨。本文將線性載荷時歷和非線性載荷時歷分別施加在有限元模型上，通過有限元應力狀態分析，得到熱點應力范圍。全船有限元模型如圖1 所示。

圖1 全船有限元模型Fig.1 FE model of the whole ship

按照前文所述，對不規則波中垂向彎矩的時歷進行計算。分別對波頻分量的疲勞損傷、考慮砰擊載荷影響的總彎矩疲勞損傷進行計算，計算結果如表1 和表2 所示。

表1 船舯剖面縱骨疲勞校核結果Table 1 The check results of longitudinal fatigue damage in midship section

表2 船舯剖面砰擊彎矩放大系數Table 2 The amplification coefficients of slamming moment in midship section

由計算結果可以看出，考慮砰擊載荷影響后，與波頻分量疲勞損傷相比，由總彎矩引起的疲勞損傷較大；同時，甲板縱骨與外底縱骨處的放大系數不同。取所有測點中放大系數的最大值，可使結果偏于保守，因此，將目標船砰擊載荷對船體梁載荷的放大系數取為1.142。此系數可對本船其他節點處的波浪彎矩進行修正。

在不同浪向工況計算中，可以發現對疲勞總損傷貢獻最大的工況出現在迎浪或艏斜浪（30°），絕大部分疲勞損傷的貢獻來自艏斜浪（60°以內）。

4 結 語

本文介紹了考慮非線性砰擊載荷影響的船舶結構疲勞評估方法：選用只受船體梁載荷的縱骨節點計算損傷放大系數和彎矩放大系數，然后在所有節點上修正船體梁載荷，但并不修正局部載荷，進而將修正后的船體梁載荷與未修正的局部載荷聯合作用，求得了考慮砰擊彎矩的疲勞損傷。不過，本文在以下方面還有進一步改進的空間：

1）本文選取的計算點較少，只在船舯剖面處選取了計算點，所得彎矩放大系數只反映了船舯砰擊彎矩的影響。考慮到砰擊彎矩沿船長的分布并不一致，故彎矩放大系數沿船長也將是變化的。若沿船長方向取多個剖面的計算點，可以得到各個剖面的彎矩放大系數，進而總結砰擊載荷放大系數沿船長方向的變化規律，從而能夠更準確地反映出砰擊彎矩的影響。

2）本文給出的砰擊載荷船體梁放大系數是假定應力范圍的長期分布為weibull 分布，且S-N曲線為單斜率冪函數形式，其他情況仍需進一步研究。

3）本文的計算方法可應用于砰擊載荷嚴重的各種船型，針對同一船型的多艘目標船進行非線性砰擊載荷影響研究后，可以總結歸納出該船型的砰擊載荷放大系數，為同型后續船的設計工作提供支持。

4）本文方法適用于全船所有節點，適用于能將船體梁載荷和局部載荷分離的簡化計算法、有限元直接計算法；但對于譜分析和設計波法，只適用于只受船體梁載荷的節點。

綜上所述，本文所采用評估方法可以方便地應用于常規疲勞損傷計算方法中，對更準確地評估大外飄、高航速等遭受嚴重砰擊載荷影響的船型的船體疲勞強度具有指導意義。