身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞響應(yīng)分析

馬 佳,陳光宋,吉 磊,錢林方,徐亞棟

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 長沙 410114;2.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

火炮發(fā)射過程中,彈炮間隙的存在使得身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間不可避免地發(fā)生接觸碰撞,從而對身管產(chǎn)生激勵作用。同時,身管和火炮其他部件的運動反過來又會影響彈丸的膛內(nèi)運動,造成身管振動與彈丸膛內(nèi)運動的相互耦合。這種相互耦合作用是火炮系統(tǒng)初始擾動的主要因素之一,影響了彈丸出炮口時的運動狀態(tài),進而降低了火炮系統(tǒng)的射擊精度。因而,研究身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞響應(yīng)特性,對于分析彈丸膛內(nèi)運動規(guī)律,揭示彈炮運動耦合機理,進而預(yù)測彈丸炮口擾動,最終提高火炮系統(tǒng)的射擊精度具有非常重要的意義。

不同于常規(guī)間隙轉(zhuǎn)動副中軸與軸承光滑表面間的接觸碰撞問題,膛線的幾何復(fù)雜性使得身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞問題研究變得更加棘手;此外,火炮發(fā)射過程內(nèi)膛環(huán)境惡劣,空間狹窄,現(xiàn)階段尚不具備開展內(nèi)膛接觸碰撞實測的條件。針對身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間接觸碰撞問題的研究,早期的理論建模較少考慮膛線影響。其主要原因在于線膛火炮膛線條數(shù)眾多,內(nèi)膛截面呈現(xiàn)類似齒形的不規(guī)則形狀,導(dǎo)致難以直接建立身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞力模型[1]。自上世紀(jì)70年代以來,眾多研究者投身于接觸碰撞力模型的研究之中,并先后提出了多種經(jīng)典的接觸碰撞力模型以試圖更準(zhǔn)確、更高效地模擬2個物體之間的接觸碰撞過程,其中Lankarani-Nikravesh(L-N)[2]接觸碰撞力模型已被多次用于描述火炮系統(tǒng)中的接觸碰撞過程[3-4]。然而,需要注意的是:L-N模型作為“Hertz類模型”的代表,是以準(zhǔn)靜態(tài)球體間的接觸碰撞為前提,2個接觸碰撞體需滿足“非協(xié)調(diào)接觸”條件[5-6]。所謂“非協(xié)調(diào)接觸”,指的是2個物體最初是在一個點或者一條線上發(fā)生接觸碰撞,即使在載荷的作用下,接觸面的尺寸相比于物體本身尺寸而言也是很小的,這種接觸形式僅能在“大間隙小力”的情況下得到滿足[5-6]。然而,身管內(nèi)膛與彈丸前定心部幾何形狀皆為圓柱體,且彈炮間隙較小,因此不完全滿足L-N模型前提條件;此外,現(xiàn)存接觸碰撞力模型中接觸碰撞動力學(xué)參數(shù)(接觸碰撞剛度系數(shù)、阻尼系數(shù))的解析計算公式大多針對表面規(guī)則幾何體,并不適用于復(fù)雜表面間的接觸碰撞過程。為此,有必要探索一種能夠更加準(zhǔn)確地模擬身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間接觸碰撞過程的模型。在此之前,需充分了解并掌握身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞響應(yīng)特性。

本文以某口徑火炮為研究對象,建立了身管內(nèi)膛與彈丸前定心部有限元彈塑性動力學(xué)模型?？紤]到彈丸膛內(nèi)復(fù)雜的受力狀態(tài),為避免其中任一因素的不當(dāng)處理而影響最終結(jié)果,本文僅考慮身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞過程:從模型收斂性和罰因子設(shè)置兩方面對所建立的接觸碰撞仿真模型進行驗證,以保證后續(xù)所得數(shù)值模擬結(jié)果的有效性;基于已驗證的有限元模型,分析了不同初始接觸碰撞速度及不同內(nèi)膛磨損狀態(tài)下相關(guān)接觸碰撞物理量的變化規(guī)律。

1 接觸碰撞問題有限元分析方法

目前描述接觸碰撞的力學(xué)模型主要有2種:拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法。拉格朗日乘子法以相互接觸的物體互不嵌入為約束條件,優(yōu)點在于符合實際情況,無需設(shè)置任何參數(shù),缺點為約束方程隨時間變化,方程維度也隨之變化,從而引起求解困難。罰函數(shù)法是采用罰因子引入接觸附加約束條件的數(shù)值方法,相比于拉格朗日乘子法,罰函數(shù)法不增加系統(tǒng)自由度數(shù),且易于編程實現(xiàn),因此應(yīng)用非常廣泛。下面列出2種方法的具體推導(dǎo)過程,需要注意的是:下文公式中出現(xiàn)多個下角標(biāo),無特殊說明的情況下,小寫的下標(biāo)表示分量,如i,j;大寫的下角標(biāo)表示節(jié)點,如I,J,默認對重復(fù)的指標(biāo)求和。針對小寫指標(biāo),指的是對空間的維數(shù)求和;而對于大寫指標(biāo),則表示對節(jié)點的編號進行求和。

令拉格朗日乘子試函數(shù)為λ(ξ,t),其變分表示為δλ(ξ,t)。t為時間,ξ為接觸碰撞物體表面坐標(biāo),δ為數(shù)學(xué)變分符號。不考慮切向摩擦情況下的拉格朗日乘子法弱形式可表示為[7]

δpL=δp+δGNL≥0

(1)

式中:δpL和δp分別為總的虛功率和變形虛功率,δGNL為侵徹率變分,下標(biāo)L表示拉格朗日乘子法,N表示法向。計算公式如下:

(2)

(3)

式中:γN為接觸碰撞速度的法向分量。

采用Lagrangian網(wǎng)格對接觸體進行有限元離散化,以材料坐標(biāo)的形式表示速度場的有限元近似,則物體A和B的速度場為[7]

(4)

(5)

若物體A和B的節(jié)點編號不同,則2個速度場可統(tǒng)一表示為

vi(X,t)=NI(X)viI(t)

(6)

在接觸表面上,拉格朗日乘子場λ(ξ,t)是由一個C-1場近似的,因而有:

(7)

式中:λ(ξ,t)≥0,ΛI(ξ)是C-1形函數(shù),Sc為接觸界面。

相應(yīng)的變分函數(shù)分別為

δvi(X)=NI(X)δviI, δλ(ξ)=ΛI(ξ)δλi

(8)

式中:δλ(ξ)≤0。于是可以推出[7]:

(9)

以節(jié)點速度形式表示的相互侵徹率為

γN=ΦiI(ξ)viI(t)

(10)

(11)

式中:nA和nB分別表示物體A和B的法向。

則接觸弱形式為

(12)

(13)

結(jié)合式(1)、式(9)和式(12)可得以矩陣形式表示的運動方程[7]:

δvT(Fint-Fext+Ma)+δ(vTGTλ)≥0

(14)

考慮到δv和δλ的任意性,得到運動方程和相互侵徹條件為[7]

(15)

式中:O為零矩陣。

利用拉格朗日乘子法引入接觸界面約束條件雖然可使其得到精確滿足,然而因增加了方程的自由度數(shù),且系數(shù)矩陣包含零對角元素,從而導(dǎo)致求解不便。此外,因涉及未知接觸力的聯(lián)立方程求解,需采用迭代方法計算,增加了計算費用,且與顯式算法不相容,所以只限于隱式算法中,常用于靜態(tài)和低速的接觸問題。

罰函數(shù)法是采用罰因子引入接觸附加約束條件的數(shù)值方法,相比于拉格朗日乘子法,罰函數(shù)法不增加系統(tǒng)自由度數(shù),且易于編程實現(xiàn),因此應(yīng)用非常廣泛。對于本文的身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞問題,采用的即是罰函數(shù)法。

罰函數(shù)的弱形式為[7]

δpP=δp+δGNP=0

(16)

式中:下標(biāo)P表示罰函數(shù)法。

(17)

式中:βP為罰因子,HP(γN)為Heaviside函數(shù)。

(18)

(19)

將式(10)代入式(19)可得:

(20)

式中:Fc為法向接觸碰撞力,可表示為

(21)

當(dāng)忽略摩擦影響時,結(jié)合式(9)、式(16)和式(20),有:

δpP=δvT(Ma+Fint-Fext)+δvTFc

(22)

考慮到非約束虛節(jié)點速度的任意性,可得罰函數(shù)法的有限元離散方程[7]:

Ma+Fint-Fext+Fc=O

(23)

2 接觸碰撞數(shù)值仿真模型

2.1 基本假設(shè)與模型建立

以某口徑火炮為原型,分別建立身管和彈丸的三維八節(jié)點六面體有限元數(shù)值仿真計算模型。有限元網(wǎng)格需準(zhǔn)確刻畫彈丸前定心部、身管膛線等關(guān)鍵部位的幾何細節(jié),以確保精準(zhǔn)搜索小間隙下的接觸碰撞現(xiàn)象。

在進行接觸碰撞分析時,作如下假設(shè):

①彈帶處非本文研究重點,網(wǎng)格劃分較疏,而且不考慮與身管內(nèi)膛的相互作用;

②考慮到計算效率以及實用性問題,僅建立包裹彈丸前定心部的一段身管;

③鑒于接觸碰撞問題和高速摩擦問題皆屬于非常復(fù)雜的力學(xué)問題,參考現(xiàn)存文獻中的普遍做法[4,8],本文暫不考慮切向摩擦力和法向接觸碰撞力間的耦合效應(yīng),也即不考慮彈丸的旋轉(zhuǎn)以及高速軸向運動對法向接觸碰撞過程的影響。

仿真模型的邊界條件:身管外表面全約束,身管左右側(cè)面自由。初始條件設(shè)置是相對于圖 1所示的彈尾坐標(biāo)系。為模擬彈丸與身管間的斜碰撞現(xiàn)象,給彈丸施加沿yD軸正向的平動速度以及繞zD軸的轉(zhuǎn)角速度。

圖1 彈尾坐標(biāo)系示意圖

此外,為模擬實際結(jié)構(gòu)中由于制造工藝、磨損等原因造成的彈炮間隙,將身管內(nèi)膛沿半徑方向縮短某一長度。為保證計算精度,添加質(zhì)量點對彈丸進行配重,確保有限元模型的質(zhì)量、質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動慣量與標(biāo)準(zhǔn)情況一致,建立的離散模型如圖2所示。

圖2 離散模型

設(shè)置彈丸前定心部和身管內(nèi)膛接觸碰撞區(qū)域,由于彈丸前定心部網(wǎng)格相較于身管內(nèi)膛網(wǎng)格稀疏,因而選擇彈丸前定心部接觸表面為主面,身管內(nèi)膛接觸表面為從面,并采用平衡主從接觸搜索算法進行接觸節(jié)點的搜索。

2.2 材料本構(gòu)模型

JOHNSON和COOK[9]于1983年提出了一種用于金屬大變形、高應(yīng)變率和高溫情況下的本構(gòu)模型,簡稱J-C模型。得益于其簡便的表達形式和明確的物理意義,一經(jīng)提出便在工程領(lǐng)域得到了極為廣泛的應(yīng)用[10]:

(24)

(25)

本文中身管材料塑性本構(gòu)采用J-C模型描述[11],彈丸材料塑性本構(gòu)采用雙線性硬化模型描述,身管與彈丸材料的彈性部分皆采用與應(yīng)變率無關(guān)的胡克定律描述。

2.3 材料參數(shù)

彈丸和身管材料具體參數(shù)設(shè)置如下:彈丸密度為7.75 g/cm3,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.297 2。塑性設(shè)置:當(dāng)εp=0時,σs=1 086 MPa;當(dāng)εp=0.26時,σs=1 560 MPa。身管密度為7.83 g/cm3,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3,塑性設(shè)置如表1所示。

表1 身管材料塑性參數(shù)設(shè)置

3 仿真計算結(jié)果分析

3.1 仿真模型驗證

為了確保所獲有限元模擬結(jié)果具有較高精度,本小節(jié)分別從模型收斂性和罰因子設(shè)置兩方面對所建立的身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞模型進行驗證。

為了檢驗仿真模型的收斂性,首先對比分析接觸碰撞區(qū)域不同網(wǎng)格尺寸下相關(guān)動力學(xué)響應(yīng)變化;然后基于選定的網(wǎng)格尺寸,檢驗仿真過程穩(wěn)定步長設(shè)置的合理性。

鑒于罰函數(shù)法計算所得的穿透量值受罰因子控制,因此,利用罰函數(shù)法仿真所得結(jié)果的精度也很大程度上依賴罰因子的選擇。太小的罰因子會導(dǎo)致過大的穿透量,從而造成計算錯誤,難以滿足計算精度要求;而過大的罰因子,雖然能在一定程度上提高計算結(jié)果精度,但是會引起接觸區(qū)域剛度增加,顯式計算步長減小,嚴(yán)重影響計算效率,且會造成計算過程的不穩(wěn)定。協(xié)調(diào)計算精度和計算成本之間的矛盾,一直以來都是有限元仿真過程的難題[12]。鑒于本文的身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞過程采用罰函數(shù)法描述。因而需對罰因子的設(shè)置進行驗證。

3.1.1 收斂性分析

分別建立了接觸碰撞區(qū)域最小網(wǎng)格尺寸lmin為0.6 mm,0.4 mm,0.2 mm和0.1 mm的有限元仿真模型,對比分析了上述不同網(wǎng)格尺寸下相關(guān)接觸碰撞響應(yīng)的變化趨勢,如圖3所示。圖中,δpe為接觸碰撞穿透量。觀察圖3可知,當(dāng)最小網(wǎng)格尺寸為0.6 mm時,接觸碰撞持續(xù)時間以及接觸碰撞響應(yīng)峰值與其他幾種情況相比有較為明顯的不同。隨著網(wǎng)格尺寸減小,計算結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定,然而計算成本不斷上升。本文后續(xù)仿真計算皆基于0.1 mm的網(wǎng)格模型。

根據(jù)文獻[10]可知,顯示計算的穩(wěn)定步長應(yīng)滿足Δt

圖3 身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞區(qū)域不同網(wǎng)格尺寸影響

3.1.2 罰因子設(shè)置驗證

本小節(jié)仿真對比了不同罰因子取值情況下的計算結(jié)果[12]:0.01,0.1,0.5,1,5。相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖4所示,觀察結(jié)果易知:當(dāng)罰因子為0.01時,仿真計算結(jié)果失真;隨著罰因子增大,計算結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)罰因子等于5時,可以認為所得穩(wěn)定結(jié)果即為Abaqus的計算結(jié)果。為平衡有限元仿真計算成本與計算精度之間的矛盾,對于后續(xù)身管內(nèi)膛與彈丸前定心部的接觸碰撞過程,統(tǒng)一將罰因子設(shè)置為1。

圖4 身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞過程不同罰因子設(shè)置對比

3.2 不同初始接觸碰撞速度下的仿真結(jié)果

文獻[4]研究表明,身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的最大接觸碰撞速度大約處于3～5 m/s范圍,考慮到彈丸偏心、身管磨損以及強裝藥等情況,針對本文的身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞問題,初始接觸碰撞速度γN0研究范圍設(shè)置為1～7 m/s。每隔0.1 m/s進行一次仿真分析,其中轉(zhuǎn)角速度皆設(shè)置為1 rad/s,內(nèi)膛半徑磨損為0.1 mm。

圖5為初始平動速度5 m/s,轉(zhuǎn)角速度1 rad/s情況下,最大接觸碰撞力時刻身管內(nèi)膛表面接觸壓力和Mises應(yīng)力云圖。對應(yīng)的彈丸表面接觸壓力和Mises應(yīng)力云圖結(jié)果如圖6所示。圖5和圖6分別給出了身管內(nèi)膛和彈丸表面沿yD軸正向最大接觸碰撞時刻的接觸壓力和Von Mises應(yīng)力云圖。通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),最大接觸碰撞時刻,與彈丸前定心部發(fā)生接觸碰撞的身管膛線條數(shù)大約為16根(總條數(shù)為36根),參照文獻[5-6]相關(guān)結(jié)論可知:身管內(nèi)膛與彈丸前定心部不滿足非協(xié)調(diào)接觸條件。此外,在一次碰撞過程中(包括接觸碰撞壓縮階段和恢復(fù)階段),皆為單向碰撞,未發(fā)生雙邊碰撞的情況。

圖7列舉了幾種初始接觸碰撞速度下的身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞數(shù)值模擬結(jié)果。觀察易知:初始接觸碰撞速度越大,相應(yīng)的接觸碰撞力、接觸碰撞穿透量越大;此外,初始接觸碰撞速度越大,碰撞結(jié)束時刻速度與初始時刻速度的差異越大,說明接觸碰撞過程能量損失越大。

圖8給出了不同初始碰撞速度下接觸碰撞力與接觸碰撞穿透量,以及接觸碰撞速度間的變化關(guān)系。

圖5 最大接觸碰撞時刻身管內(nèi)膛表面數(shù)值模擬結(jié)果

圖6 最大接觸碰撞時刻彈丸表面數(shù)值模擬結(jié)果

圖7 身管內(nèi)膛與彈丸前定心部不同初始接觸碰撞速度計算結(jié)果對比Ⅰ

圖8 身管內(nèi)膛與彈丸前定心部不同初始接觸碰撞速度計算結(jié)果對比Ⅱ

觀察結(jié)果易得:隨著初始碰撞速度的增加,接觸碰撞力與接觸碰撞穿透量所圍面積逐漸增大,表明接觸碰撞過程能量損失逐漸增加。此外接觸碰撞力抖動的原因,參考文獻[5,13],推斷是由膛線幾何形狀非連續(xù)性以及應(yīng)力波傳遞等綜合作用導(dǎo)致。

3.3 考慮不同內(nèi)膛磨損程度的仿真結(jié)果

參照靶場實驗數(shù)據(jù)和文獻[14-15]可知:身管內(nèi)膛磨損主要集中于膛線起始端及炮口,其余位置磨損量較小。然而,為了檢驗內(nèi)膛磨損對接觸碰撞過程相關(guān)物理參量的影響,針對本文所研究的火炮結(jié)構(gòu),分別建立了磨損量為0.1 mm,0.3 mm,0.4 mm和0.5 mm(以上數(shù)據(jù)皆為半徑差)的有限元網(wǎng)格模型,并對相應(yīng)計算結(jié)果進行分析比較,具體如圖9所示,圖中,Wdepth為內(nèi)膛磨損量。

觀察圖9易知:不同磨損狀態(tài)下,各仿真模型計算結(jié)果差異較小。這主要歸因于本文仿真模型的初始條件和邊界條件施加方式,磨損量的不同僅會造成彈炮初始接觸碰撞姿態(tài)的少許差異。此外,通過統(tǒng)計不同磨損狀態(tài)下身管內(nèi)膛與彈丸表面接觸碰撞膛線條數(shù)可知:最大接觸碰撞時刻,與彈丸前定心部發(fā)生接觸碰撞的身管膛線條數(shù)皆為15或16根,接近身管總膛線條數(shù)的一半。

圖9 不同磨損程度下身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞過程仿真結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文針對某口徑火炮,建立了身管內(nèi)膛與彈丸前定心部接觸碰撞有限元彈塑性動力學(xué)模型,模擬實際接觸碰撞過程。通過研究身管內(nèi)膛與彈丸前定心部間的接觸碰撞響應(yīng)特性,從而為后續(xù)發(fā)展一種精度更高的彈炮接觸碰撞力模型奠定基礎(chǔ)。對比分析了不同初始接觸碰撞速度及不同內(nèi)膛磨損程度下相關(guān)接觸碰撞物理量變化規(guī)律,觀察仿真結(jié)果可知:

①接觸碰撞最大時刻,與彈丸前定心部發(fā)生接觸碰撞的身管膛線條數(shù)皆接近身管總膛線條數(shù)的一半。

②隨著初始碰撞速度增大,相應(yīng)的接觸碰撞力和接觸碰撞穿透量逐漸增大。此外,初始碰撞速度越大,接觸碰撞力與接觸碰撞穿透量圖像所包圍的滯回環(huán)面積也越大,表明整個接觸碰撞過程能量損失越大。