線牽連續型機械臂運動學分析*

劉 闖 何俊培 趙智遠 趙 亮 賀 帥

1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,長春130033 2.中國科學院大學,北京100049

連續型機械臂不具有傳統意義上的關節形式和剛性的連桿，通過柔性機械臂的彈性變形產生沿長度方向的連續彎曲運動，是一種新興的仿生機械臂[1-2]。目前關于連續型機械臂的建模方法主要圍繞剛性梁理論[3-4]和分段常曲率方法展開[5-6]。Marchese A D等人建立了一個簡化的分段常曲率連續型機械臂模型，通過非線性約束優化算法得到連續型機械臂的正逆運動學方程，并采用視覺反饋、PI和PID級聯控制實現連續型機械臂曲率閉環控制，實現機械臂末端"點到點"的路徑跟蹤[7]；Polygerinos P等人根據鐵木辛柯理論建立FEA驅動連續型機械臂的正逆運動學模型[8]；Renda F等人運用Cosserat粱理論建立了肌腱驅動的連續型機械臂運動學模型，根據Kelvin-Voight線性黏彈性本構方程建立Cosserat應變模型，建立連續型章魚臂在水下環境中的動力學模型，最終提出一種基于離散化Cosserat理論的分段恒應變方法并建立了連續型機械臂的運動學模型[9-11]。Camarillo D B等人根據Kelvin 模型和Cosserat梁理論[12]，將應變矢量、曲率矢量補充到線驅動連續型機械臂的動力學模型當中，采用FPG傳感網絡檢測機械臂形狀[13]，并基于視覺反饋建立連續型機械臂的自適應控制系統[14]。Hao Y等人采用試驗的方式建立氣腔伸長量和氣壓之間的映射關系，在忽略氣腔徑向膨脹的基礎上建立開環運動學模型，并用視覺反饋方式進行驗證，結果表明該模型在低壓情況下是有效的[15]；Terryn S等人基于歐拉彈性理論建立非線性桿模型，并分析氣動連續型機械臂的運動，精確捕捉到機械臂形變的本構關系，即曲率和彎矩成正比，再根據非線性桿模型建立一個五參數的本構關系，采用有限元模型研究該本構關系對連續型機械臂的影響[16]。本文根據設計的線驅動連續型機械臂，對單關節段和三關節段的正逆運動學求解問題進行了詳細分析。

1 線驅動連續型機械臂結構

連續型機械臂不具有傳統意義的關節形式，而是通過柔性本體的彈性變形產生連續彎曲運動，以適應狹小空間環境的作業任務。為了保證機械臂快速進入狹小作業空間環境并躲避環境障礙物，要求機械臂在任意方向都有良好的運動能力；為了適應復雜危險的空間作業環境，要求機械臂可以實現遠程操控及人機實時交互；為了快速高效完成作業任務，要求機械臂能輕松自如地改變自身形狀；為了滿足數據采集及探測的需要，機械臂應配備不同類型的傳感器，以便將獲取的信息融合，順利完成作業任務。基于此，設計了如圖1的線驅動連續型機械臂的機械系統。

圖1 機械臂實物樣機

1.1 結構原理

自然界的章魚觸手具有非常靈活的彎曲特性，章魚觸手的截斷面組織如圖2所示。章魚觸手運動時，根據觸手體積不變的原理，當觸手的橫肌伸長時，縱肌收縮，此時章魚觸手收縮。章魚觸手的彎曲運動由被橫機分開的兩對縱肌的長度變化進行控制，當觸手的上部縱肌伸長而下部縱肌收縮時，章魚觸手向下彎曲，當觸手的下部縱肌伸長而上部縱肌收縮時，章魚觸手向上彎曲。同理，當章魚觸手的右部縱肌伸長、左部縱肌收縮時，章魚觸手向左彎曲，當章魚觸手的左部縱肌伸長、右部縱肌收縮時，章魚觸手向右彎曲。仿造章魚觸手的運動機理和結構特征，設計了此款用于狹小作業空間環境的線驅動連續型機械臂。

圖2 章魚觸手橫斷面組織結構

1.2 結構組成

機械臂系統由機械臂臂體和驅動機構組成。機械臂臂體由3個關節段組成，包括柔性支柱、支撐圓盤和驅動線。柔性支柱直徑為10mm，由彈性聚合物材料制造而成，用來提供彎曲運動剛度和保持機械臂整體形狀。每個關節段結構如圖3所示，包含16個鋁制的支撐圓盤，支撐圓盤在柔性支柱上等間距布置。每個關節段的運動由超彈性NiTi合金絲驅動線控制，驅動線從圓盤上均布的孔中通過。

圖3 單關節段結構圖

該機械臂每個關節段有2個自由度，采用四線驅動，4條驅動線沿圓周方向間隔90°布置。間隔180°的兩條驅動線為一組，每組控制一個自由度方向上的運動。伺服電機沿圓周方向均布，每個關節段配置2個伺服電機用于控制2個自由度，3個關節段共需要配置6個伺服電機。控制第1關節段的驅動線起始端與伺服電機固連，依次穿過第1關節段的各個支撐圓盤，再與該關節段的末端支撐圓盤固連。同理，控制第2、3關節段運動的驅動線末端分別與第2、3關節段的末端支撐圓盤固連。固連方式如圖4所示。

圖4 驅動線固結方式

驅動結構包括伺服電機、高低速級減速器和驅動線張緊機構，主要功能是為機械臂提供驅動力，控制機械臂的運動，機械臂結構參數見表1。

按照各組成部件的結構參數進行實物加工，購置所需的伺服電機等元器件，然后進行機械臂的裝配與調試，最后得到了線驅動連續型機械臂的實物樣機。

表1 機械臂參數

2 線驅動連續型機械臂運動學分析

線驅動連續型機械臂不具有任何剛性關節和連桿。通過驅動空間中的驅動線驅動控制關節空間中整段機械臂的彎曲運動來實現操作空間中機械臂末端的位姿變化。因此，對于線驅動的連續型機械臂的運動學分析不僅包括關節空間與操作空間之間映射關系的分析，而且包括驅動空間與關節空間之間映射關系的分析，如圖5所示。

圖5 線驅動連續型機械臂運動學描述空間

2.1 運動學建模

在線驅動連續型機械臂第1關節段的基座圓盤中心點o0處建立基坐標系o0x0y0z0，在第1關節段的末端圓盤中心點o1處建立末端坐標系o1x1y1z1。為運動學分析方便，將單關節段的彎曲運動分解為關節段自身的彎曲自由度和以基坐標系z0軸為旋轉軸的旋轉自由度，分別用θ1和φ1表示兩個自由度，建立單關節段運動學模型如圖6所示。

圖6 單關節段運動學模型

本文分析的機械臂共有3個關節段，采用上面的建模方法，機械臂的三關節運動學模型如圖7所示。

2.2 正向運動學分析

2.2.1 單關節段正向運動學分析

通過驅動空間中各驅動線長度的變化量Δli(i=1,…,4)可以求得關節空間中的關節變量θ1和φ1，二者的關系由式(1)和(2)確定。

圖7 三關節段運動學模型

(1)

(2)

當已知關節空間中的關節變量θ1和φ1，為求解機械臂操作空間中的末端位姿，需要采用基坐標系o0x0y0z0至末端坐標系o1x1y1z1的齊次變換矩陣T表示關節空間至操作空間的運動學映射關系。其中T矩陣如式(3)所示。

(3)

式中c代表cos,s代表sin,l表示機械臂單關節段的長度。

用Matlab進行正向運動學仿真，在驅動空間分別輸入4組不同的驅動線長度變化量，控制機械臂在空間中到達不同的位置，相應數據見表2。

表2 單關節段彎曲運動數據

仿真得到的機械臂單關節段空間彎曲效果如圖8所示。由圖可知通過改變驅動線長度可使機械臂沿任意圓周方向彎曲。

圖8 單關節段運動學仿真圖

2.2.2 三關節段正向運動學分析

已知驅動線長度的變化量Δlji，可先根據式(1)和(2)求出θ1和φ1，然后根據式(4)求出θ2、φ2和θ3、φ3。

(4)

同理，當已知各關節段的關節變量θj和φj，可通過齊次變換矩陣0T3求解機械臂末端在操作空間中的位姿。根據機器人運動學分析中的“鏈式法則”，有0T3=0T1·1T2·2T3，其中j-1Tj的表達式為：

(5)

用Matlab進行正向運動學仿真，在驅動空間分別輸入4組不同的驅動線長度變化量，控制機械臂在空間中到達不同的位置，相應數據見表3。

仿真得到的機械臂三關節段空間彎曲效果如圖9所示。由圖可知通過改變驅動線長度可使機械臂沿任意方向彎曲。

圖9 三關節段運動學仿真圖

2.3 逆向運動學分析

2.3.1 單關節段逆向運動學分析

若已知機械臂在操作空間的末端位姿，即已知齊次變換矩陣0T1，其中0T1的表達式為：

(6)

根據式(7)和(8)可以求出對應的關節變量φ1、θ1。

θ1=arccos(az)

(7)

(8)

當已知φ1、θ1時，根據單關節段驅動線的幾何關系，如圖10所示，可以推導出各個驅動線的長度變化量，見式(9)。

(9)

圖10 單關節段驅動線幾何關系

2.3.2 三關節段逆向運動學分析

已知機械臂末端位置信息，根據公式(10)求解各關節段的關節變量θj(j=1,2,3)和φj(j=1,2,3)。

(10)

機械臂各關節段單獨運動時驅動線長度變化量為式(11)。

(11)

對于線驅動的連續型串聯機械臂，各關節段的運動學之間存在耦合影響[16]，所以必須對各關節段之間的運動學解耦，解耦后各關節段驅動線長度變化量為式(12)。

(12)

為了使求逆解時效率更高，采用迭代速度較快的牛頓—拉夫遜法。求解流程圖如圖11所示。

圖11 牛頓—拉夫遜法求解流程

為了驗證該方法的有效性，隨機選取3個末端位姿并對其求逆解，求得的關節向量及所需時間如表4所示。

3 結論

對設計的線驅動連續型機械臂的單段關節和三段關節分別進行了正逆運動學分析。并在多關節段之間的運動學耦合關系的基礎上分析了多關節段的逆運動學問題，提出了求取逆運動學解的數值算法。最后在MATLAB環境中分別對連續型機械臂單關節段和多關節段的正逆運動學算法進行了仿真驗證，實驗結果驗證了所提算法的可行性和有效性。

表4 三關節段逆運動學求解數據