橢圓軌道欠驅動航天器編隊重構軌跡優化*

鐘都都 黃 煦,2 賈曉曉 金學敏

1.中國人民解放軍96901部隊24分隊，北京100094 2.清華大學, 北京 100084 3.中國人民解放軍火箭軍駐北京地區第七軍事代表室, 北京 100039 4.中國人民解放軍96669部隊610分隊，北京 102208

航天器編隊飛行是空間任務中的一項關鍵技術，可應用于大地測量、深空探測以及在軌服務等任務[1-6]。航天器編隊飛行技術將傳統大型航天器的功能分布于一群近距飛行的小型航天器[4]。因此，與單個大型航天器相比，航天器編隊的優勢包括降低風險與成本、提高可靠性與魯棒性等[7]。此外，編隊航天器可根據不同任務需求變換構型，即編隊重構，從而進一步提高了空間任務靈活性以及自適應能力[8]。因此，編隊重構控制問題得到了廣泛研究關注。例如，Huntington和Rao[9]基于高斯偽譜法求解了連續推力作用的航天器編隊重構最優控制軌跡。同理，已有學者基于偽譜法探索了利用星間庫侖力或者空間電磁力進行編隊重構的可行性[10-12]。不同于上述直接優化方法，Lee和Park[13]采用間接優化方法求解了最優編隊重構近似解析解。此外，滑模控制、魯棒控制以及神經網絡控制等方法也被應用于編隊重構控制器設計[14-19]。

然而，上述重構控制方法均假設編隊動力學系統全驅動，即徑向、跡向和法向均存在獨立的控制通道。因此，若控制器發生故障，編隊控制系統變為欠驅動系統，則以上全驅動控制方法均無法適用。為解決由控制器故障引起的重構任務失效，最為直接的方法為安裝備份控制器[20]。但是，考慮到航天器的結構質量與制造成本，更為經濟的方法為設計欠驅動控制器[21]。

現有欠驅動編隊重構控制器可分為徑向欠驅動和跡向欠驅動控制器2類[20-30]。對于徑向欠驅動情況，Leonard等[22]基于近距航天器間的相對大氣阻力近似作用于跡向的假設，提出了圓軌道徑向欠驅動編隊重構控制概念。隨后，Kumar等[23-24]針對類似問題提出了線性控制器，且Varma和Kumar[25]基于滑模控制方法提出了另一類非線性控制器。針對類似問題，張相宇等[26]采用狀態依賴黎卡提方程方法設計了徑向欠驅動最優控制器。對于跡向欠驅動情況，Godard等[20]分析了圓軌道跡向欠驅動編隊重構可行性，并針對性地提出了跡向欠驅動控制策略。此外，Huang等[28]求解了圓軌道欠驅動編隊重構最優解析解，并解決了欠驅動編隊重構過程的避撞問題[29]。可見，現有欠驅動編隊重構控制方法多局限于圓軌道，橢圓軌道相關研究還很少。

基于此，本文基于橢圓軌道徑向或跡向欠驅動編隊重構可行性分析結果，采用直接優化方法求解了能耗最優指標條件下的最優重構控制軌跡。與現有研究成果相比，本文提出的控制方法的優勢在于：

1)與現有全驅動控制方法相比[13-19]，本文提出的欠驅動編隊重構控制方法可適用于欠驅動工況，進而避免由推力器故障引起的編隊重構任務失效；

2)與現有圓軌道欠驅動控制方法相比[20-29]，本文提出的控制方法可適用于橢圓軌道，因而適用范圍更廣；

3)文獻[30]中采用自適應滑模控制方法設計了橢圓軌道欠驅動編隊重構控制器，但未考慮控制能耗問題。與之相比，本文進一步簡化了橢圓軌道欠驅動編隊重構的可行性條件，并且實現了能耗最優的欠驅動編隊重構控制。

綜上，本文結構安排如下。第1節針對徑向和跡向欠驅動情況，基于橢圓軌道欠驅動編隊動力學方程分析了系統能控性以及重構任務可行性。第2節將編隊重構問題表述為約束軌跡優化問題，并簡要介紹了高斯偽譜法。為驗證欠驅動控制器性能，第3節中引入全驅動控制器進行對比并詳述了數值仿真結果。基于理論分析與數值仿真結果，第4節對全文進行了總結。

1 欠驅動編隊重構可行性分析

1.1 相對運動方程

(1)

其中

(2)

(3)

式中

(4)

對于橢圓軌道，ωC和αC分別為

(5)

式中，eC和θC分別為主航天器的軌道偏心率和真近點角。

圖1 坐標系定義

注1 上述線性化假設對近距航天器成立。對于典型地球軌道，若航天器相對距離小于100km，則由上述線性化假設引起的相對誤差小于0.03%[33]。本文中討論的航天器編隊均在幾公里范圍內，因而上述線性化假設成立。

1.2 能控性分析

(6)

其中

(7)

(8)

可見，徑向或跡向欠驅動情況下，式(6)均為線性時變系統。根據線性時變系統的能控性格拉姆矩陣判據[34]可得，徑向欠驅動條件下，系統(A,B1)仍完全可控。但是，在跡向欠驅動條件下，系統(A,B2)非完全可控。

1.3 可行性分析

引理1[35]為實現周期為T的相對軌道，近地點處(即θC=0)的初始相對運動狀態應滿足

(9)

基于該引理，橢圓軌道徑向和跡向欠驅動編隊重構可行性分析結果總結于如下定理。

定理1 對于徑向欠驅動情況，編隊重構仍可實現，且無任何附加條件。對于跡向欠驅動情況，當構型I和構型II的初始相對運動狀態滿足xⅠ(0)=xⅡ(0)時，編隊重構可實現。

證明 徑向欠驅動條件下，相對軌道動力學系統仍完全可控，因而編隊重構仍可行。但是，跡向欠驅動條件下，相對軌道動力學非完全可控。由該不可控性引起的編隊重構可行條件證明如下。

由式(6)得，跡向欠驅動條件下的跡向相對運動方程為

(10)

將式(5)代入式(10)中，化簡可得

(11)

上式表明，跡向欠驅動條件下，不可控狀態Xu在控制過程中保持不變。

對于構型I，在初始時刻t=0且θC=0處，由引理1得，不可控狀態Xu為

(12)

同理，對于構型II，初始時刻的不可控狀態為

XuⅡ(0)=eCxⅡ(0)

(13)

可見，若主從航天器初始時刻構成編隊構型I，則不可控狀態為XuⅠ(0)=eCxⅠ(0)。由于不可控性，XuⅠ將保持其初始不變。若XuⅠ(0)=XuⅡ(0)，即xⅠ(0)=xⅡ(0)時，則不可控狀態XuⅠ也滿足待重構的構型II的編隊條件。綜上，若xⅠ(0)=xⅡ(0)成立，則由于狀態XuⅠ的不可控性，恰好同時滿足構型I與構型II的編隊條件，因此，構型I和構型II是可重構的。

證畢。

2 軌跡優化

2.1 問題描述

將橢圓軌道欠驅動編隊重構問題表述為軌跡優化問題。通常，軌跡優化問題中的約束條件包括動力學約束、邊界約束和過程約束[36]。考慮到燃耗是空間任務設計的關鍵因素，選取如下二次型控制能耗指標，即

(14)

式中，t0和tf分別表示初始時刻和終端時刻。

此外，該軌跡優化問題的動力學約束如式(6)所示。邊界約束包括初始條件約束與終端條件約束，其中，初始條件約束為滿足編隊構型I幾何約束條件式(9)的初始相對運動狀態，即

(15)

同理，終端條件約束為滿足編隊構型II集合約束條件[即式(9)]的終端相對運動狀態，即

(16)

考慮到航天器的推力存在上限Um，則對控制輸入的過程約束為

-Um≤Uj≤Um,j=x,y,z

(17)

2.2 高斯偽譜法

采用高斯偽譜法求解以上軌跡優化問題。高斯偽譜法屬于一類直接配點法，通過全局正交多項式將配點處的狀態量與控制量參數化，并通過高斯積分近似配點處的動力學約束，將軌跡優化問題轉換成一般的非線性規劃問題。隨后，采用數值優化方法求解得到非線性規劃問題。高斯偽譜法是空間軌跡優化問題中的常用優化方法，其具體原理與方法步驟詳見文獻[37]。

3 數值仿真

假設主航天器運行于典型橢圓軌道—閃電軌道，其初始時刻軌道根數如表1所示。

表1 主航天器初始時刻軌道根數

初始時刻主從航天器構成編隊構型I，且初始相對運動狀態為

(18)

式中，相對位置的單位為km，且相對速度的單位為m/s。將式(18)代入式(9)中，可以驗證該相對運動狀態滿足橢圓軌道編隊構型條件。

要求在一個軌道周期T后實現編隊構型重構，即終端時刻tf=T。定義終端時刻構型II的主從航天器相對運動狀態為

(19)

式中，相對位置的單位為km，且相對速度的單位為m/s。同理，將式(19)代入式(9)中，可以驗證該相對運動狀態滿足橢圓軌道編隊構型條件。此外，由定理1可得，即使在跡向欠驅動的情況下，構型I和構型II仍然是可重構。

圖2 控制輸入軌跡

過程約束中的控制上限設定為Um=10-3m/s2。高斯偽譜法中，選用50個配點求解上述約束軌跡優化問題，其結果如圖2～5所示。圖2給出了徑向欠驅動、跡向欠驅動以及全驅動3類情況下的最優控制輸入。圖中各離散點為偽譜法求解結果，且圖中各連續曲線為各離散點間的拉格朗日插值結果。表2給出了3類情況下的指標函數。可見，在本算例中，跡向欠驅動情況所需的控制能耗最高，全驅動情況所需的控制能耗最低，且徑向欠驅動與全驅動情況的控制能耗類似。

表2 指標函數對比

圖3 相對位置軌跡

圖4 相對速度軌跡

圖3和圖4分別給出了3類情況下的相對位置和相對速度軌跡。同理，圖中各離散點為偽譜法求解結果，但各連續曲線并非拉格朗日插值結果。為驗證圖2中的插值控制軌跡的有效性，將插值后的連續控制輸入代入動力學方程式，并采用4階Runge-Kutta方法進行數值積分，得到實際的相對位置和相對速度軌跡，分別如圖3和圖4中的各連續曲線所示。可見，偽譜法求解結果與數值積分結果近似重合，且2種方法的相對位置和相對速度終端誤差分別為10-4m和10-6m/s數量級，進而驗證了偽譜法的有效性與正確性。此外，選用更多配點以及更為精確的數值積分方法可進一步減小終端誤差。

圖5給出了3類情況下的編隊重構軌跡。同理，圖中各離散點為偽譜法求解結果，且各連續曲線為數值積分結果。可見，3類情況下，從航天器均可從構型I出發，并在終端時刻到達構型II。上述算例驗證了本文提出的欠驅動編隊重構控制方法的有效性。

綜上可得，對于滿足重構條件的橢圓軌道編隊，欠驅動控制器可在徑向或跡向欠驅動條件下完成與全驅動控制器同樣的編隊重構任務，并且保持類似的控制能耗。不同的是，欠驅動控制器可適用于由推力器故障引起的欠驅動情況，而全驅動控制器無法適用。

4 結論

提出了橢圓軌道欠驅動航天器編隊重構最優控制方法。基于徑向和跡向欠驅動條件下的系統能控性與重構任務可行性分析結果，將編隊重構最優控制問題表述為約束軌跡優化問題，進而采用高斯偽譜法求解得到最優重構軌跡。通過引入全驅動編隊重構控制方法進行控制能耗性能對比，驗證了橢圓軌道欠驅動編隊重構控制方法的有效性。基于理論分析與數值仿真得出主要結論如下：

圖5 編隊構型重構軌跡

1) 對于橢圓參考軌道，徑向欠驅動條件下，相對軌道動力學系統完全可控，因而編隊重構任務可行。相反，跡向欠驅動條件下，相對軌道動力學系統非完全可控，且編隊重構任務條件可行；

2) 對于滿足重構條件的橢圓軌道編隊，欠驅動控制器可在徑向或跡向欠驅動條件下完成與全驅動控制器同樣的編隊重構任務，并且保持類似的控制能耗；

3) 欠驅動控制器可適用于由推力器故障引起的欠驅動情況，進而避免編隊重構任務失效。相反，全驅動控制器無法適用于欠驅動工況。