重視數學理解 關注學生發展

■天津市靜海區教育教學研究室 鄭淑媛

一、從“導入”看，考慮學生的認知基礎，為學生搭建合理平臺

宋老師注意知識的前后聯系，采用以舊引新直接導入法，在學生已經學習了三角形與多邊形有關概念的基礎上，讓學生回顧多邊形的角及對角線的概念，強調了對角線的作用。類比三角形學習，多邊形“角”之間又有怎樣的關系，教師提出問題：“我們已經知道三角形內角和等于180°，正方形、長方形這些特殊四邊形內角和都等于360°，那么任意一個四邊形內角和是否等于360°？如何證明？”由于教師做了鋪墊，所以學生馬上想到“引對角線”的方法很快解決了問題，并且宋老師明確指出了研究對象，即四邊形的內角和就是（∠1+∠2+∠B)+(∠3+∠4+∠D），這對學生來說很有用。

二、從“新授”看，以問題+啟發式引導，在探究過程中感悟數學思想方法

數學是一個融知識、技能、方法、思想、精神為一體的整體，除了知識、技能以外，更重要的是數學的思想方法和數學中蘊含的理性精神。學生怎么學數學，這和教師怎么教相聯系。由特殊的多邊形內角和到n邊形內角和，是一個多層次的探索過程，本質上講的是由具體到抽象以及邏輯推理的過程。首先說教師運用數學思想方法境界較高，有神無形，將轉化的思想方法融合在探索多邊形內角和的過程中，而且將“過一個頂點引對角線”的方法作為教學主線，思路清晰。

當教師問“你能發現分成的三角形個數與它的邊數之間有什么關系嗎？”學生表現出遲疑，確定分割后三角形的個數的這個過程不但結論隨著多邊形邊數的變化而變化，而且需要關注的因素也較多，如邊數、從一個頂點出發的對角線條數、分得的三角形個數、內角和等，對學生來說尋找這個關系有一定困難。我們看宋老師抓住這個“關鍵問題”，借助表格，先引導學生觀察，當學生發現“列”之間存在的規律是邊數減2時，追問學生“說說你是怎么發現的？”讓學生不僅知其然，而且知其所以然。繼續追問：“你還能從其他角度進行解釋嗎？”引發更深入的思考。我們看到在教師的啟發下，有兩位學生分別從頂點和邊的角度做出很好的解釋，從多角度加深了對這個“關鍵問題”的理解。學生潛力是無窮的，我們一定要相信學生。這個過程蘊含的是符號化以及從特殊到一般的抽象推理過程，尤其是用與n有關的代數式表示內角和的過程是從感性走向理性。

我們看這個探索過程，學生有獨立思考、小組合作與全班交流，他們親自經歷知識發生、發展過程，知識的獲取不是教師塞給的，而是自己自主獲取的。教師提出的問題由淺入深，環環相扣，有利于培養學生有邏輯的思維能力，像這樣讓知識慢慢地、一點一點地“浮出水面”的過程，符合學生的認知規律，能激發學生的學習興趣，學生能從中領悟出探索多邊形內角和的思想方法，而這種類比、轉化化歸思想和從特殊到一般研究問題的方法，會使學生的學習變得很輕松。得到（n-2）·180°的方法屬于合情推理，宋老師通過讓學生探索不同的分割方法，驗證了所得結論的一致性和可靠性。類比四邊形的內角和是360°的證明方法，讓學生選擇自己最喜歡的方法，探究五邊形、六邊形...,n邊形的內角和，同時指出“不論這個點取在哪，都是將多邊形內角和轉化為三角形內角和”。“這個點到底選在哪最好呢？”教師引導學生進行了比較，并告訴學生“過頂點引對角線”是以后經常用到的方法。在探索多邊形內角和公式的過程中，學生經歷了觀察、猜想、計算、推理和驗證，在相互啟發中自然而然地培養了探究能力。教師引導學生用不同的分割方法進行驗證的探究過程，學生積極思考，大膽猜想，推理能力得到了有效的培養，這源于教師對教材的準確把握和深刻理解，源于教師對學生的理解與尊重。

三、從“應用”看，關注示范引領與興趣激發，技術運用恰到好處

課本例題是經過專家們反復論證、精心設計的，具有針對性和典型性，是學生獲取知識、發展能力的重要載體。例1宋老師給出解題的規范板書，發揮了例題的示范作用。選用的練習突出基礎性和層次性，并運用技術給予了及時評價和反饋。

例2是求六邊形的外角和，而探索多邊形外角和正是由此開始，多邊形外角和是作為多邊形內角和公式的一個拓展應用，仍按照從特殊到一般的研究方法，宋老師用三個有關聯的具有遞進關系的問題引導學生思考，師生一起從六邊形的局部到整體尋找關系：“六邊形的外角和”是用“六個平角”減去“六邊形的內角和”，得到六邊形外角和為360°。接著學生思考：若將“6”換為“n”，可以得到同樣結果嗎？進行類比遷移，自然得到了：“n邊形的外角和”是用“n個平角”減去“n邊形的內角和”，有相同結果360°。在這里宋老師做了強調，n邊形的內角和（n-2）·180°是隨著n的變化而變化的，而在這個過程中多邊形的外角和是保持不變的。值得一提的是，在幫助學生理解為什么多邊形的外角和等于360°這個問題上，宋老師巧妙地利用了信息技術的動態效果和直觀性，信息技術運用掐時掐點、非常有效。

四、從“小結”看，注重過程與結果相結合，構建知識體系

小結新穎別致，采用問題清單的形式，以問題串引導學生自我反思。提出四個問題：（1）本節課學習了哪些內容？（2）我們是怎樣得到多邊形內角和公式的？（3）在探索多邊形內角和公式的過程中，連接對角線起到什么作用？（4）n邊形的外角和與n有關嗎？為什么？不僅引導學生回顧本節課所學的知識，更關注內容所反映的思想方法以及如何展開思考，這樣的小結是過程與結果相結合的，注重了數學基本思想、基本活動經驗的落實。同時，也把如何發現和提出問題滲透其中，實現了“四基”“四能”的融合，是發展學生數學學科核心素養的有力舉措。宋老師的用心之處還體現在學生完成問題清單后，又從單元的視角以框架形式幫助學生建立起知識間的聯系，形成知識脈絡，這個很重要。問題商榷與建議：第一，點在多邊形外部的情形，課上沒有“生成”，宋老師讓學生留作課下思考，這種情形是否能得到相同的結論？是否需要分類討論？值得研究。第二，表格中的多邊形是從四邊形開始的，n邊形中n的取值是不小于3的整數，建議考慮三角形，還有，可以考慮再多放幾個多邊形，如七邊形、八邊形，給學生一個想象的空間，增強學生的幾何直觀思維。

整節課上，內容的展開運用了類比、推廣的方法，以及把復雜問題轉化為簡單問題、化未知為已知的思想方法等。教師引導學生體驗從特殊到一般的研究幾何對象的基本思路，從課程的整體結構上、知識的內在邏輯上提出問題，引導學生面對抽象的幾何對象，從特殊的具體對象進行探索，這樣的設計呈現給學生的是一個宏觀的數學視野，當學生獨立面對一個數學對象時，能遷移、類比地去研究，學生從本節課中積累的數學思維的經驗，也會潛移默化地形成和發展自己的數學核心素養。