類比教學法在數學教學中的應用

袁安鋒 魏宗紅

(1.北京聯合大學基礎與交叉科學研究所 北京 100101；2.山東省莒縣陵陽街道中心初中 山東日照 276521)

數學是一門研究事物數量關系等內容的學科，是很多學科的基石，它在人類社會發展進程中發揮著不可替代的作用。數學由于具有抽象的特點，加上數學往往是從定義、定理到計算，與數學家發現定理的過程相反，導致有些學生接受起來有點困難，不明白為何而學習。因此，選擇學生容易接受的方式來進行教學就非常有必要。人類對知識的認識并非一蹴而就，而是要經歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性認識到理性認知的螺旋式發展過程，類比教學法則集中體現了從特殊到一般的認知規律。

一、類比教學法的定義和意義

類比教學法也稱類比遷移，是指人們在遇到一個新問題的時候，首先與過去已經解決的類似的問題進行比較，用解決已有問題的方法去解決新問題。類比法是人們發現真理的一種重要方法，是一種推理方式，還是一種學習策略。數學上的類比是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類未知對象上的一種合情推理，它能夠解決一些看似復雜困難的問題。

類比教學法在數學教學中尤為重要。首先，類比教學法可以降低數學知識的抽象性，有利于學生接受。數學中有許多抽象的數學概念，尤其是大學數學課程中，直接給出數學概念就比較突兀，而且非常抽象，學生往往不容易接受。類比就可以把這些抽象化的數學知識轉化為可以理解或形象化的知識，將一些新知識轉化為舊知識，這樣學生能更好地理解和接受，可降低學習難度，消除學生內心的畏難情緒。其次，類比教學法還有利于培養學生的創新意識與創新能力，鍛煉學生解決問題的能力。學生從數學學習中學的不僅是數學知識，還可以學會處理問題的能力和做人做事的基本道理。比較、分析、綜合推理等思維過程和形式，對培養學生分析問題的意識和能力有很大幫助。

二、類比教學法的具體應用

（一）數學知識點之間的類比

在初等數學教學中，也有很多可以類比的知識。“一元二次方程”章節中，將一元一次方程與一元二次方程進行類比，首先比較這兩類方程的概念及一般形式，進而找出兩類方程的差別：未知數的最高次數從一次變為了二次，這樣的學習方法不僅可以提高學生的學習效率，還能深化學生的理解。講授“一元一次不等式”時，先復習一元一次方程和不等式的相關知識點，就可以體會一元一次不等式的解法，通過類比感受其中的異同點，從而得到求一元一次不等式的解題方法。

高等數學[1]中也有很多可以類比的知識點。比如，一元函數微分學和二元函數微分學就可以進行類比，二元函數的極限、連續、偏導數、全微分等概念和計算分別類比一元函數的極限、連續、導數、微分。教師只需要講清楚區別就可以了。高等數學中涉及積分概念有七個：定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分。這些積分的概念大致相同，都可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”四步得到，區別就是積分區域或者積分區間不同。因此，學習后面6個概念時，就可以利用定積分的概念進行類比，學生自主總結其他6種類型的積分概念，理解積分概念的本質。

概率論與數理統計[2]課程中，離散型隨機變量與連續型隨機變量是兩類重要的隨機變量。離散型隨機變量可以用分布律來描述，連續型隨機變量可以用概率密度函數來描述。表面上看這兩類隨機變量有很大的區別，實際上，兩者沒有質的區別，兩者的聯系與區別主要在于求和與積分的聯系與區別。而積分本質上是和式的極限。這樣，把兩者統一起來類比就容易了。

線性代數[3]中線性方程組的通解問題、高等數學中的一階線性微分方程的通解、高階線性微分方程的通解，這三類問題有一個共同的結論：非齊次線性方程的通解等于對應齊次線性方程的通解和本身的一個特解之和。教師在授課時可以進行類比講授，加深學生的理解。

（二）數學知識點與生活常識類比

線性代數課程中有一個非常重要的概念：極大線性無關組，學生學習的時候感覺比較抽象。其實可以把這個向量組類比于一個小型后勤企業：假設張三可做水工和電工，李四可以做電工和木工，王五可以做水工。如果企業面臨裁員，問怎么裁員才會不影響公司的正常運轉（水、電、木工齊全）。顯然王五的工作可以被張三代替，王五可以被裁掉，留下張三和李四，但是張三和李四不能再裁員了。當然也可以裁掉張三，留下李四和王五。這樣找極大線性無關組類似于裁掉可以被他人替代的人（對于向量），當然由例子也知道極大線性無關組是不唯一的。

三、類比教學中的注意事項

最后需要強調的是，類比不是相同，學生有時會理解成相同的知識，或者學生把已學知識作為標準，負面遷移，進而陷入學習誤區。針對這些可能出現的弊端，教師在教學過程中應強調知識點之間的區別和聯系，正確引導學生，合理運用類比，在教學中提高學生的邏輯思維能力，培養學生的學習能力。

總之，類比教學法能起到很好的效果，尤其是數學學科，類比可以降低內容的抽象性，學生一旦養成了類比的習慣，掌握了一定的方法要領，思路就會變寬，思維就會變活躍，學生會終生受益。當然，可以類比的知識點有很多，教師要多研究多思考，加強教學設計，提高執教能力。