等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器及其線性插值設(shè)計(jì)

趙 慎，楊鎖昌，張寶文2，李 元

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050001； 2.中國人民解放軍92571部隊(duì)，海南 三亞 572000)

數(shù)字信號精確時(shí)延技術(shù)廣泛應(yīng)用于陣列信號處理、語音信號處理、聲源定位和通信等領(lǐng)域[1]。特別是在寬帶雷達(dá)和聲納工程中[2]，相控技術(shù)在波束掃描時(shí)存在有限帶寬問題。在大帶寬波束掃描時(shí)，帶內(nèi)不同頻率成分的波束指向不同，同時(shí)孔徑渡越時(shí)間會引起回波信號的畸變，有效的解決方法是采用延時(shí)方式代替相位方式進(jìn)行波束形成[3]。

傳統(tǒng)的數(shù)字時(shí)延方法有過密采樣、數(shù)字時(shí)域內(nèi)插、頻域線性相位加權(quán)等[4]，它們的原理都是以時(shí)延量化為基礎(chǔ)，存在運(yùn)算量過大或時(shí)延精度不高等問題。通過分析傳統(tǒng)時(shí)延方法，文獻(xiàn)[5]對比了幾種不同分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的設(shè)計(jì)原理。工程實(shí)際中需對信號進(jìn)行可變時(shí)延濾波處理，以得到期望性能。文獻(xiàn)[6]提出了Farrow結(jié)構(gòu)濾波器，實(shí)現(xiàn)聲納中的分?jǐn)?shù)時(shí)延，首次解決了可變時(shí)延的實(shí)現(xiàn)問題，但Farrow濾波器系數(shù)不存在閉合解，且濾波運(yùn)算開銷高。

分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器分為有限沖擊響應(yīng)(FIR)和無限沖擊響應(yīng)(IIR)兩大類。其中FIR分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器具有穩(wěn)定性和線性相位優(yōu)勢，在工程中應(yīng)用廣泛[7]。為降低可變分?jǐn)?shù)時(shí)延的工程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，本文基于FIR濾波設(shè)計(jì)原則，以理想數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器原理為基礎(chǔ)，分析現(xiàn)有數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法，提出等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法；進(jìn)一步對相鄰濾波器系數(shù)線性插值計(jì)算，以提高分?jǐn)?shù)時(shí)延的精度；對寬帶信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)時(shí)延仿真，驗(yàn)證方法的正確性和工程價(jià)值。

1 理想數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器

對滿足奈奎斯特定理的離散時(shí)間信號(采樣周期為T)構(gòu)建如圖1所示的理想時(shí)延系統(tǒng)[8]。由數(shù)字樣本序列x(n)重構(gòu)帶限信號xc(t)的系統(tǒng)為理想離散到連續(xù)時(shí)間(D/C)轉(zhuǎn)換器；連續(xù)信號xc(t)通過時(shí)延τ的理想系統(tǒng)后得yc(t)=xc(t-τ)；由連續(xù)信號yc(t)到數(shù)字序列y(n)的系統(tǒng)為理想連續(xù)到離散時(shí)間(C/D)轉(zhuǎn)換器，且y(n)=yc(nT)。

圖1 數(shù)字信號時(shí)延原理

根據(jù)圖1中關(guān)系得到

y(n)=xc(nT-τ)

(1)

根據(jù)理想重構(gòu)系統(tǒng)定義，帶限信號xc(t)與數(shù)字序列x(n)的關(guān)系為[8]

(2)

其中，sinc(t)=[sin(πt)]/(πt)。將式(2)代入式(1)，得

y(n)=x(n)*sinc[(n-D)T]

(3)

式中，“*”為卷積運(yùn)算，D=τ/T為數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延。式(3)表明時(shí)延濾波器

hid(n)=sinc[(n-D)T]

(4)

當(dāng)時(shí)延τ為采樣周期T的整數(shù)倍，即D為整數(shù)時(shí)，退化為特殊形式hid(n)=δ(n-D)，如圖2中D=2所示。更普遍情況，時(shí)延τ為T的非整數(shù)倍，即D為實(shí)數(shù)時(shí)，可以將其分解為

D=Dint+d

(5)

式中，Dint=fix(D)為整數(shù)時(shí)延，小數(shù)d∈[0,1)為分?jǐn)?shù)時(shí)延。此時(shí)，對于任意n∈Z，均有hid(n)非零，如圖2中D=2.7所示。即普遍意義下，分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器為無限長的非因果系統(tǒng)。

稱式(4)中hid(n)為理想數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，其頻率響應(yīng)函數(shù)為

Hid(ejω)=e-jωD, |ω|≤π

(6)

幅頻和相頻響應(yīng)分別為

|Hid(ejω)|≡1
arg{Hid(ejω)}=-Dω

(7)

普遍意義下，hid(n)為無限長的非因果濾波器。需按照一定原則設(shè)計(jì)有限長度的因果系統(tǒng)h(n)，逼近理想分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器。

2 數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法

2.1 最小均方誤差設(shè)計(jì)方法

假定設(shè)計(jì)出的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器為h(n)，頻率響應(yīng)為H(ejω)，與Hid(ejω)間的誤差

E(ejω)=H(ejω)-Hid(ejω)

(8)

最小均方誤差(Least Squared Error,LS)方法原則是使得頻響誤差E(ejω)的L2范數(shù)

最小。應(yīng)用帕斯瓦爾定理，得到時(shí)域描述

(9)

進(jìn)一步分解，得到均方誤差

其中N為h(n)的階數(shù)，使得E最小的濾波器系數(shù)為

(10)

此即最小均方誤差意義下的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的時(shí)域沖擊響應(yīng)。其中，分?jǐn)?shù)時(shí)延D與N之間的關(guān)系應(yīng)滿足[9]

(N-1)/2≤D≤(N+1)/2

以上hid(n)從零截?cái)啵瑢τ趶恼麛?shù)M處截?cái)嗟那闆r，最小均方誤差方法依然可得到類似的結(jié)論。此時(shí)h(n)僅在N≤n≤N+M存在取值，即

(11)

2.2 約束帶寬的最小均方誤差設(shè)計(jì)方法

LS設(shè)計(jì)原則是使得全帶寬[0,π]內(nèi)均方誤差最小。在陣列信號處理、語音信號處理、聲源定位等典型工程應(yīng)用中，感興趣的信號頻譜主要位于中低頻段。針對該特性，可約束帶寬范圍[0,απ]的均方誤差

(12)

最小。其中α∈(0,1]為帶寬系數(shù)。采用與最小均方誤差設(shè)計(jì)方法類似推導(dǎo)過程，得到分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器為

(13)

顯然，在最小均方誤差設(shè)計(jì)原則下，全帶寬是約束帶寬條件(α=1)的特殊情況。分析可知，隨著α減小，有效帶寬逐漸減小，濾波器過渡趨平緩，濾波引起的吉普斯現(xiàn)象逐漸降低。式(12)是在約束頻帶[0,απ]內(nèi)，誤差積分運(yùn)算施加矩形窗。部分研究采用平滑過渡窗對誤差積分運(yùn)算進(jìn)行加權(quán)，可改善濾波器幅頻特性，然而其代價(jià)是引起相頻特性非線性化，即造成通帶內(nèi)的時(shí)延差異。這種設(shè)計(jì)方法適用于窄帶信號時(shí)延處理，但無法滿足寬帶應(yīng)用需求。

2.3 加窗設(shè)計(jì)方法

工程中常采用時(shí)域加窗法，使得截?cái)嗵幍臑V波器系數(shù)經(jīng)過平緩過渡。加窗設(shè)計(jì)數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器為

(14)

其中，w[·]為窗函數(shù)。在分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)中，通常采用切比雪夫或漢明窗函數(shù)。

2.4 最大平坦準(zhǔn)則逼近法

最大平坦準(zhǔn)則是在頻域逼近時(shí)，使得誤差E(ejω)在特定頻率處的前N階導(dǎo)數(shù)為零，即

由此得到ω∈[0,π]內(nèi)的任意頻點(diǎn)ω0處誤差函數(shù)最小的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器系數(shù)值近似結(jié)果[5]

(15)

該濾波器系數(shù)為復(fù)數(shù)，與相同階數(shù)實(shí)數(shù)FIR濾波器相比，需要更多的運(yùn)算量。故一般采取ω=0的結(jié)果

(16)

作為最大平坦準(zhǔn)則逼近法設(shè)計(jì)出的濾波器。

3 等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法

3.1 可變時(shí)延需求分析

第2節(jié)研究的常規(guī)設(shè)計(jì)方法各有優(yōu)點(diǎn)，但存在相同的局限性：給定長度和分?jǐn)?shù)時(shí)延，濾波器系數(shù)為一組固定值?；谠摻M濾波器系數(shù)，僅能適用于固定時(shí)延量的應(yīng)用需求。

在語音信號處理、聲源定位、陣列信號處理等應(yīng)用領(lǐng)域，需要對信號進(jìn)行可變時(shí)延濾波處理，以得到期望效果和性能。針對變時(shí)延需求，文獻(xiàn)[6]提出了Farrow結(jié)構(gòu)的濾波器，其形式為M組N階的FIR濾波器，且濾波器系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)延量d的多項(xiàng)式。分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器系數(shù)隨時(shí)延d變化，無需重復(fù)加載。Farrow濾波器的缺點(diǎn)是階數(shù)大，運(yùn)算開銷高[10]，在工程中難以應(yīng)用。

3.2 理想等間隔時(shí)延量濾波器

等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的基礎(chǔ)是多采樣率信號處理理論，其原理如圖3所示。

圖3 變采樣率分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波原理

x(n)經(jīng)過L倍增采樣和重構(gòu)濾波器(增益為L，截止頻率為π/L)，得到采樣周期為T1=T/L的重構(gòu)信號[8]

x1(n)通過m點(diǎn)延遲取樣的輸出為x2(n)，即

進(jìn)一步，x2(n)通過抗混疊濾波和L倍采樣率壓縮，得到xd(n)=x2(nL)，即

=x(n)*hd,m(n)

(17)

其中，hd,m(n)定義為時(shí)延量為d=mT/L分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，延遲輸出xd(n)與x(n)之間的時(shí)延量為mT/L。分析可知，通過變采樣和濾波處理，圖3實(shí)現(xiàn)的時(shí)延精度為原采樣周期的1/L。

3.3 等間隔時(shí)延量濾波器設(shè)計(jì)

利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)合律，將圖3中的重構(gòu)濾波器、理想時(shí)延濾波和抗混疊濾波器級聯(lián)為單位沖擊響應(yīng)為hm(n)的系統(tǒng)，得到理想等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器

hm(n)=sinc(n-m/L)T, 0≤m≤L-1

(18)

對比式(18)與式(4)可知，hm(n)是理想數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器在d=m/L時(shí)的特殊形式。

式(18)中，hm(n)為無限長非因果濾波器，需按照(約束帶寬)最小均方誤差、加窗法等原則設(shè)計(jì)近似有限長度因果系統(tǒng)。不失一般性，以約束帶寬的最小均方誤差設(shè)計(jì)方法為例，將d=m/L代入式(13)中，得

hα,m(n)=αsinc[α(n-Dint-m/L)T]

(19)

其中，n∈[M,N+M]，m∈[0,L-1]。M為取樣延遲，不影響分析前提下，可取M=0，即n∈[0,N]，則濾波器群時(shí)延Dint=N/2。分析可知，等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器為sinc函數(shù)時(shí)延d=m/L的離散采樣。

設(shè)系統(tǒng)采樣頻率為100 kHz，直接延遲取樣的時(shí)延精度為10 μs。取帶寬系數(shù)α=1，階數(shù)N=20，插值系數(shù)L=10，即設(shè)計(jì)m={0,1,2,…,L-1}共10組濾波器系數(shù)，對應(yīng)時(shí)延分別為τ=DintT+dm，其中分?jǐn)?shù)時(shí)延量dm=mT/L，即10個(gè)濾波器組的時(shí)延量分別為dm=[0 μs,1 μs,2 μs,…,9 μs]。

取所需時(shí)延為τ=138.7 μs，可將其分解為：

① 濾波器的固有時(shí)延DintT=100 μs；

② 3點(diǎn)延遲取樣，即M=3實(shí)現(xiàn)30 μs時(shí)延；

③ 剩余8.7 μs即所需分?jǐn)?shù)時(shí)延，近似選取m=9的濾波器組，取dm=9 μs的分?jǐn)?shù)時(shí)延。

因此，可以將所需時(shí)延分解為濾波器群時(shí)延、取樣時(shí)延和分?jǐn)?shù)時(shí)延。在取樣時(shí)延基礎(chǔ)上，近似選擇等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，實(shí)現(xiàn)信號分?jǐn)?shù)時(shí)延。

3.4 等間隔時(shí)延濾波器插值設(shè)計(jì)

通過插值選抽處理，等間隔時(shí)延濾波器實(shí)質(zhì)是將時(shí)延量[0,T]等分為L個(gè)相等間隔的格點(diǎn)，其能夠?qū)崿F(xiàn)的最大時(shí)延精度為±dm/2。在高分辨率波束、精確時(shí)延估計(jì)等應(yīng)用場合，需更精確的時(shí)延控制。為此，提出對分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器系數(shù)線性插值運(yùn)算，以提高時(shí)延精度的方法。

設(shè)時(shí)延τ分解為整數(shù)時(shí)延Dint和分?jǐn)?shù)時(shí)延d，由于Dint不影響時(shí)延精度，故此處集中分析d作用的信號輸出xd(n)。取整數(shù)

l=fix(d)∈{0,1,2,…,L-1}

(20)

信號經(jīng)過第l組和l+1組等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的輸出為

(21)

結(jié)合物理意義，xd(n)必然位于xl(n)和xl+1(n)之間，可利用線性插值式近似表示

xd(n)≈xl(n)+[xl+1(n)-xl(n)]Δl

(22)

其中，Δl=d-l即d中小數(shù)部分。直接應(yīng)用式(22)計(jì)算分?jǐn)?shù)時(shí)延輸出，需兩組卷積運(yùn)算，為降低運(yùn)算量，將式(22)帶入式(21)中，得到

xd(n)=x(n)?[hl(n)Δl+1+hl+1(n)Δl]

記卷積運(yùn)算的后項(xiàng)為

hd(n)=[hl(n)Δl+1+hl+1(n)Δl]

(23)

則有

xd(n)=x(n)*hd(n)

(24)

總結(jié)以上過程，按式(23)計(jì)算第l和l+1組等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的線性組合，得到濾波器hd(n)的系數(shù)，計(jì)算x(n)與hd(n)的卷積即為輸出信號xd(n)。

因此，根據(jù)所需的分?jǐn)?shù)時(shí)延量，通過等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器系數(shù)的線性插值運(yùn)算，可以得到精確可變時(shí)延分?jǐn)?shù)濾波器。

4 算法仿真驗(yàn)證

4.1 等間隔時(shí)延濾波仿真

設(shè)系統(tǒng)采樣頻率為100 kHz，線性調(diào)頻信號x(n)持續(xù)時(shí)間為5 ms，中心頻率為11 kHz，帶寬為8 kHz。

取插值系數(shù)L=10，構(gòu)建10組等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器。取帶寬系數(shù)α=1，濾波器階數(shù)N=20。帶入式(19)中，得到10組時(shí)延間隔為1 μs濾波器。

信號x(n)通過10組等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，得到10路時(shí)延輸出信號x(n-Dint-d)如圖4所示，其中d={0.0,0.1,…,0.9}。圖中同時(shí)繪出直接延遲取樣實(shí)現(xiàn)DintT和(Dint+1)T時(shí)延量的結(jié)果，分別表示為x[n-Dint]和x[n-Dint-1]。

圖4 延遲取樣與等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波輸出

分析圖4(a)可知，10路輸出信號與延遲取樣信號x[n-Dint]波形基本一致，說明濾波器幅頻響應(yīng)一致性較好，在有效頻帶內(nèi)具有線性相位。圖4(b)表明輸出信號在時(shí)間上基本均勻分布在x[n-Dint]和x[n-Dint-1]之間，滿足等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延特性。有效信號開始和結(jié)束階段，存在明顯的吉普斯現(xiàn)象，是最小均方誤差準(zhǔn)則截?cái)嘣斐傻挠绊憽?/p>

基于輸入和輸出信號的互相關(guān)函數(shù)，并用文獻(xiàn)[11]中的拋物線擬合方法確定互相關(guān)函數(shù)峰值即10路輸出信號時(shí)延，結(jié)果如圖5所示。分析表明，10路輸出信號的時(shí)延量基本滿足等間隔關(guān)系。

圖5 基于互相關(guān)計(jì)算出的信號時(shí)延

進(jìn)一步，計(jì)算輸出信號的實(shí)際時(shí)延與理論時(shí)延之間的誤差，結(jié)果如表1所示。輸出信號的時(shí)延誤差有所不同，最大誤差為0.18 μs(小于采樣周期的2%)，表明等間隔時(shí)延濾波具有較高的時(shí)延精度。

表1 L=10組信號時(shí)延與理論時(shí)延誤差 單位:μs

4.2 等間隔時(shí)延濾波器插值算法性能仿真

對于任意可變分?jǐn)?shù)時(shí)延d，可根據(jù)式(20)確定濾波器的序號，并按式(23)進(jìn)行插值，計(jì)算出分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器系數(shù)hd(n)，然后按式(24)運(yùn)算以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)時(shí)延。根據(jù)仿真條件，等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的時(shí)延精度為1 μs。取分?jǐn)?shù)時(shí)延d在[0,T)區(qū)間內(nèi)、按照步階量為0.1 μs增長進(jìn)行仿真驗(yàn)證。采用與4.2節(jié)類似的方法評估輸出信號時(shí)延與理論時(shí)延之間的誤差，結(jié)果如圖6所示。

圖6 基于線性插值的輸出信號時(shí)延與理論時(shí)延誤差

仿真中最大時(shí)延誤差0.187 μs(小于采樣周期的2%)出現(xiàn)在3～4 μs之間，該結(jié)論與表1中結(jié)果基本吻合。驗(yàn)證了通過插值方法構(gòu)建濾波器系數(shù)方法的有效性，同時(shí)說明時(shí)延誤差和等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器直接相關(guān)。分析可知，提高插值選抽因子L和濾波器階數(shù)N，能降低時(shí)延誤差，但同時(shí)會增加硬件存儲和運(yùn)算量開銷，實(shí)際工程中需要綜合考慮允許時(shí)延誤差和系統(tǒng)資源。

5 結(jié)束語

研究了數(shù)字分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器原理和設(shè)計(jì)方法，針對固定濾波器系數(shù)不能實(shí)現(xiàn)可變時(shí)延的需求，提出了等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法，論證了等間隔分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波的原理和實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。為提高時(shí)延精度，進(jìn)一步提出了等間隔時(shí)延濾波器線性插值方法構(gòu)建分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的方法。其濾波計(jì)算結(jié)構(gòu)與未插值濾波器的計(jì)算結(jié)構(gòu)相同，故在運(yùn)算量保持不變的前提下，基于等間隔時(shí)延濾波器能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的可變時(shí)延。對線性調(diào)頻信號的仿真結(jié)果表明，在插值系數(shù)為10、濾波器階數(shù)為20的條件下，能夠?qū)崿F(xiàn)小于采樣周期2%的時(shí)延精度，可滿足工程中寬帶信號高精度可變分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波需求。