p-子群的局部性質與有限群的p-冪零性

韓玲玲,郭秀云

(上海大學理學院,上海200444)

有限群論中,人們經常應用子群的性質研究有限群的結構.實際上,通過p-子群可以得到有限群為p-冪零群的判別條件[1-4],例如Frobenius定理[5].從Frobenius定理出發,人們從各個不同的角度希望應用較少數的p-子群給出有限群為p-冪零群的判別條件,例如Thompson定理[5].近年來,人們將原來考慮有限群的Sylow子群改變為僅僅考慮Sylow子群的某個真子群,例如焦點子群、p-模子群[6]等.本工作將繼續這一思想,通過考慮有限群G的一個特殊的p-子群?(P∩Op(G))在G中的某種交換性及其自身的交換性等,給出有限群為p-冪零群的充分條件.如先特別說明,本工作中的群皆為有限群,基本的概念與記號見文獻[5,7-8].

1 基本引理

如果一個p0-群H作用在p-群P上,且H固定P的每一個p階元素,特別地,當p=2時,還固定P中每個4階元素,則H平凡地作用在P上.2010年,Isaacs等[9]采用較弱的條件(p=2時)獲得了類似的結果.

引理1[9]設P是一個p-群,K是一個作用在P上的p0-群,并且固定P中所有的p階元素,且當p=2時,K還固定P中的所有4階實元素,則K在P上作用平凡.元素x∈G是G的實元素,是指存在g∈G,使得xg=x?1.

引理2[8]設G是內p-冪零群,則G有下列性質:

(1)|G|=paqb,其中p,q為素數且pq,a,b均為正整數;

(3)G的Sylow q-子群是循環群.

引理3設G是一個群,P∈Sylp(G),則下列敘述等價:

(1)G是p-冪零群;

(2)對于P∩Op(G)的所有的不為1的子群U,NG(U)是p-冪零群;

(3)對于P∩Op(G)的所有的不為1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

證明 (1)?(2).由p-冪零群的子群遺傳性顯然可得.

設G是極小階反例,則由假設條件的子群遺傳性及G的極小性可知,G是內p-冪零群,由引理2可知,PG.又因G不是p-冪零群,則在G中存在p階元x,有x∈Op(G),故6 P∩Op(G).因為P∩Op(G)G,所以P∩Op(G).此時由假設條件可知=為p-群,故Op(G)若

2 主要結果

利用上述3個引理,我們可以得到如下定理.

定理1設G是一個群,P∈Sylp(G),

則下列敘述等價:

(1)G是p-冪零群;

(2)?(P∩Op(G))的所有的不為1的子群U,NG(U)是p-冪零群;

(3)?(P∩Op(G))的所有的不為1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

注:下文中的?(P∩Op(G))均按定理1中的定義.

定理2設G是一個群,P∈Sylp(G),若?(P∩Op(G))Z(NG(P)),則G是p-冪零群.

證明 設G是極小階反例,則G非p-冪零.由定理1可知,存在1U?(P∩Op(G))以及p0-群KNG(U),有[U,K]1.根據假設條件,有UZ(NG(P)),特別地,有PCG(U),令E=NG(U),由Frattini論斷可得

如果NE(P)

定理3設G是一個群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)中的任意p階元素(當p=2時,再加其中任意的4階實元素),x均滿足xG∩P=xP,則G是p-冪零群.

由定理2可知,假設?(P∩Op(G))Z(NG(P)),則G是p-冪零群.接下來考慮將?(P∩Op(G))在群G中的交換性進一步減弱來討論群G的p-冪零性.假設?(P∩Op(G))本身是交換群,此時群G顯然不能再保證是p-冪零群,例如3次對稱群S3.因此在這個假設條件下,通過添加適當的條件給出群G是p-冪零群的一個充分條件.

定義1[10]設G是一個群,H 6 G,K 6 G,稱群G對(H,K)滿足n階Engel條件,如果對于任意的h∈H,k∈K有En(h,k)=1,其中

引理4[8]設π0-群H作用在交換π-群G上,則有G=CG(H)×[G,H].

定理4設G是一個群,P∈Sylp(G),若?(P∩Op(G))是交換群,且存在正整數n,使得G對(Op(G),?(P∩Op(G)))滿足n階的Engel條件,則G是p-冪零群.

證明 首先證明定理假設條件對子群遺傳.對G的任意子群D,設P1∈Sylp(D),不妨設P1P,因Op(D)Op(G),故有?(P1∩Op(D))?(P∩Op(G)),所以?(P1∩Op(D))是交換群.另根據定理假設條件,存在正整數n,使得G對(Op(G),?(P∩Op(G)))滿足n階的Engel條件,而由Op(D)Op(G),?(P1∩Op(D))?(P∩Op(G))以及定義1可知,對任意的x∈Op(D),y∈?(P1∩Op(D))有

設G是極小階反例,由條件的子群遺傳性可知,G是內p-冪零群.根據內p-冪零群的構造(引理2),可設G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),且Q是循環群.又因G是非p-冪零群,由定理1可知,存在1U?(P∩Op(G))以及p0-群K 6 NG(U)(不妨設KQ),有[U,K]61.設U的階最小,考慮p0-群K作用在p-群U上,則U=[U,K].若[U,K]

步驟1 U無K-不變真子群.

由假設條件?(P∩Op(G))是交換群,U 6?(P∩Op(G)),故U也交換.由引理4可知,U=CU(K)×[U,K],而因U=[U,K],所以CU(K)=1.若U有K-不變真子群A,則由U階的最小性可知[A,K]=1,此時1ACU(K)=1,矛盾.

步驟3 最后矛盾.

其中a∈Op(G),u∈?(P∩Op(G)).根據定理假設條件,存在正整數n,使得

矛盾.定理得證.

關于Burnside定理,存在一個經典應用.設G是一個群,p是|G|的最小素因子,P∈Sylp(G)且P是循環群,則G是p-冪零群.受這一結果的啟發,假設P∩Op(G)是循環群,得到p-冪零群的一個充分條件.

定理5設G是一個群,P∈Sylp(G),如果滿足如下條件:

(1)P∩Op(G)是循環群;

(2)P∩Op(G)中的元素與NG(P)中的q-元素可換,其中q|p?1,則G是p-冪零群.

證明 設G是極小階反例,則G非p-冪零.首先證NG(P)非p-冪零.由P∩Op(G)是循環群,可知P∩Op(G)中沒有4階實元素,且?(P∩Op(G))是p階循環群.又?(P∩Op(G))charP∩Op(G)P,故?(P∩Op(G))Z(P),如果NG(P)p-冪零,則有?(P∩Op(G))Z(NG(P)).由定理2可知,G是p-冪零群,矛盾.故NG(P)非p-冪零.

取NG(P)的內p-冪零子群A,由內p-冪零群的構造(引理2)可設A=P1Q1,其中P1∈Sylp(A),Q1∈Sylq(A),Q1是循環群.另因A非p-冪零,由定理1可知,存在1U?(P1∩Op(A)),p0-群KNA(U),有[U,K]1.

(2)不妨設P1P,因U=?(P∩Op(G))Z(P),故UZ(P1),因此P1CA(U);

綜上可得,K是由NG(P)中的q-元素生成的循環群,且q|p?1.由定理假設條件可知,U與K元素可換,故而[U,K]=1,矛盾.定理得證.

根據?(P∩Op(G))的定義,事實上定理5中只需假設?(P∩Op(G))是循環群,就可保證P∩Op(G)是循環群.此外,基于定理5,可以得到如下推論,其中推論1與2的證明由定理5容易得到,故不再贅述.

推論1設G是一個群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循環群且(p?1,|G|)=1,則G是p-冪零群.

推論2設G是一個群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循環群且p是|G|之最小素因子,則G是p-冪零群.

推論3設G是一個群,如果對于任意的p||G|,P∈Sylp(G)都有P∩Op(G)是循環群,則G是超可解群.

證明 設|G|的所有素因子按照從小到大的順序依次是p1,p2,···,pr,對于任意的{1,2,···,r},Pi∈Sylpi(G),則由假設條件(P1∩Op1(G))是循環群與推論2可知,群G是p1-冪零群.設G=P1K1(其中K1是G的正規p1-補),因為(|P1|,|K1|)=1,所以事實上K1charG.又因為p2是|K1|的最小素因子,由假設條件與推論2可知,群K1是p2-冪零群,設K1=P2K2(其中K2是K1的正規p2-補),同樣的有K2charK1,于是K2charG.如此下去,可以找到

組成群G的超可解型的Sylow-塔.

為了書寫方便,設r=pr是|G|的最大素因子,不防設r2.由群G有超可解型的Sylow-塔可知,若R∩Or(G)=1,則G是r-冪零群,所以G有r階的正規子群S.考慮商群且容易驗證G/S滿足定理假設條件.由歸納可知,G/S是超可解群,又S是循環群,故而G是超可解群.若此時容易驗證對也滿足定理假設條件,由歸納可知G/(R∩Or(G))是超可解群.根據假設條件R∩Or(G)是循環群,故而G是超可解群.推論得證.