不同模量鐵木辛柯梁的自由振動特性分析

楊 洋,姚文娟

(上海大學土木工程系,上海200444)

土木工程中的振動問題是較為常見的力學現象.振動過程中結構的形狀、承載力會在極短的時間內發生急劇的變化,對其工作性能和使用壽命會產生嚴重的影響.梁是實際工程中常見的一種構件,其變形在荷載作用下大多是小變形,且不管荷載是縱向或者橫向,都可使梁產生振動.大量試驗和研究表明,許多材料都具有拉壓彈性模量不同的性質.工程中廣泛應用的材料如混凝土、金屬合金、生物材料[1]、橡膠、巖石等,特別是近年發展起來的新型聚合材料和復合材料都具有明顯的這一特征,其拉壓模量之比高達4倍[2],且該性質對結構的力學行為有較大的影響.但是,在工程設計中,一般對材料的不同拉壓彈性模量不予考慮,但在某些情況下會因本構關系不符合造成較大誤差,存在安全隱患.

國內外的眾多學者對拉壓不同模量材料的結構進行了大量研究.楊海天等[3]研究了不同模量材料的本構關系.姚文娟等[4-8]對復雜應力狀況下不同模量彈性結構的解析解進行了研究,給出了不同模量橫力彎曲梁、彎壓柱、超靜定結構、組合結構、不同模量結構溫度應力問題內力及變形的解析解.Leal等[9]對不同模量高性能纖維的抗壓強度進行了分析.何曉婷等[10-11]用有限元方法對不同模量結構進行收斂性分析,并應用Kirchhoff假設對不同模量的彎曲薄板進行了分析.黃翀等[12]和吳曉等[13-15]采用直線法假定,在分布荷載、熱應力作用下不同模量板內力及變形的解析解,結合大撓度理論進行了不同模量板的彎曲分析.上述研究主要針對不同模量結構靜力問題,對不同模量結構的振動問題僅有少量學者進行了研究.Iwase等[16]基于數值模擬對不同模量深梁進行了動態響應分析.趙榮國等[17]采用單自由度系統對不同拉壓特性結構進行了振動分析.劉相斌等[18]在平截面假定下求解了不同模量彎曲梁的自由振動.王銘慧等[19]研究了微幅自由振動時不同彈性模量材料簡支梁的線性振動問題.

以上不同模量結構振動問題的研究是基于數值模擬、單自由度體系及平截面假定等簡化條件.鑒于此,本工作基于彈性力學、結構力學及不同模量理論,推導了不同模量材料剪切彈性模量及彎曲剛度的表達式,并建立了考慮剪切效應的不同模量鐵木辛柯梁的振動微分方程,得到了不同模量簡支鐵木辛柯梁在任意分布荷載作用下的自由振動頻率解析解.另外,增加梁的跨高比,解析模型可以退化為歐拉-伯努利梁的自由振動頻率解析解.

1 基本方程及中性軸位置

均勻簡支梁如圖1所示.假設均勻簡支梁的位移分量為

圖1 簡支梁的彎曲變形Fig.1 Bending deflecting of simply supported beam

由彈性力學理論可知,均勻簡支梁的幾何方程和物理方程分別為

式中:E1,μ1為拉伸時材料的彈性模量和泊松比;E2,μ2為壓縮時材料的彈性模量和泊松比.

將式(1)和(2)代入式(3),可得

由于土木工程中μ為高階微量,故可略去,整理得

由圖1可知,梁在荷載p(x,t)作用下同一截面上有拉有壓.由式(5)得到的正應力,為受拉時的正應力公式,而當截面受壓時,同理可得受壓時的正應力為

不同模量連續梁在外荷載作用下會形成拉壓彈性模量不同的拉伸區和壓縮區,因此研究不同模量梁的變形首先需要確定在外荷載作用下的中性層位置,其在受拉和受壓區的應力分別為

假設梁高為h,截面受拉區高度為h1,受壓區高度為h2,取微元體為隔離體,由平衡條件和圣維南原理可得

將式(7)代入式(8),可得

以上推導的不同模量梁的中性軸位置與文獻[4]的結果一致,由此可知不同橫向荷載對不同模量梁的中性軸位置無影響,即剪應力對中性軸的位置無影響.

2 剪切彈性模量及彎曲剛度

不同模量材料的單元體純受剪示意圖,如圖2所示.當單元體為純剪切受力時,應變能密度為

當材料為純剪受力狀態時,由材料力學理論可得

將式(3)和式(11)代入式(12),可得

根據式(10)與式(13)相等,故可求得不同模量材料剪切彈性模量

由材料力學理論公式,可得

將式(5)和(6)分別代入式(15),可得

對比式(15)和(16)可求得,不同模量彎曲梁的彎曲剛度為

另外,可求得剪應力為

圖2 純受剪示意圖Fig.2 Sketch of pure shear state

3 振動微分方程

不同模量梁的中性軸不與梁縱向對稱軸重合,故使橫坐標軸與初始狀態時的中性軸重合.由彈性力學理論可知,空間平衡微分方程為

式中:ρ是密度,μ是阻尼系數;ui,tt,ui,t分別是ui對t的二階導數和一階導數,即加速度和速度;?ρui,tt,?μui,t分別表示慣性力和阻尼力,作為體積力的一部分出現在平衡方程中.若忽略阻尼,式(8)可寫為

略去空間平衡微分方程中的體力,并對式(19)第一式各項乘以Z并對A進行積分,可得

式(20)中的第一項積分可化為

式(20)中的第二項積分可化為

用高斯(格林)定理,把積分變為沿邊界的積分,再運用邊界條件簡化,可得

則式(20)中的第二項積分可化簡為

對于等截面直梁,則有l=0.

將式(25)代入式(24),可得

式(20)右邊簡化,可得

同理,將空間平衡微分方程中第三式略去體力,其他各項對A進行積分,可得

式(29)第一項可化為

第二項應用高斯定理,可化為

對式(29)右邊簡化,可得

將式(30)和式(31)代入式(29),可得

將M,FS代入式(28)和式(33),可得

在實際計算中,一般引入剪切系數κ(表示截面上平均剪應變與截面形心處剪應變之比)簡化模型,使理論更接近于三維彈性精確理論.

利用式(34),(35)及剪切系數κ,可以得到不同模量梁的振動微分方程為

當忽略式(19)第一式中右邊的慣性力時,則可得到歐拉-伯努利梁的振動微分方程為

4 梁的自振頻率和振型

當外荷載p(x,t)=0時,即可得到相應的自由振動方程為

假設橫向振動位移表達式為

將式(39)代入式(38),簡化可得

設式(41)解的形式為

將式(42)代入式(40),可得

求解式(43),可得

因此,式(41)的通解為

對于不同模量簡支梁的自由振動,可知其邊界條件為

式中:M為彎矩.

把式(45)代入式(44),可以得到不同模量簡支梁自由振動沿x軸方向的振型函數為

其固有頻率為

對于不同模量簡支梁固有振動,由于每個周期的前半波段的中性軸與x軸方向重合,所以振型函數為式(46).而每個周期的前半波段中性軸的波型與后半波段的波型相反,故后半波段中性軸的波型函數為

因此,不同模量簡支梁自由振動時,n為奇數時波型表達式為式(46),n為偶數時為式(48).對于其他類型梁的自由振動,利用其邊界條件,采用上述方法同樣可以確定自由振動的振型函數和固有頻率.

5 算例及結果分析

5.1 實例計算

簡支梁b×h=0.3 m×0.6 m,梁長分別取3和12 m,,ρ=2.5×103kg/m3.

情況1 取實用梁,E1=25.5 GPa,ν1=0.27,E2=57 GPa,ν2=0.34;

表1 梁長為3 m的不同模量簡支梁固有頻率ω(情況1)Table 1 Free frequencies of simply supported 3 m beam with different modulus(Case 1)

表2 梁長為12 m的不同模量簡支梁固有頻率ω(情況1)Table 2 Free frequencies of simply supported 12 m beam with different modulus(Case 1)

圖3 梁長3 m按A計算所得固有頻率(情況1)Fig.3 3 m beam based on the A calculate the free frequency(Case 1)

5.2 有限元結果對比

采用ABAQUS有限元軟件對表1、表2中A,B情況進行模態分析,并提取各階固有頻率及模態振型.不同模量實用梁固有頻率解析解與有限元軟件數值解(見表3)進行比較,可以看出,兩種計算結果接近,誤差在2%以內,驗證了解析的正確性.圖4為簡支梁三階振型云圖.由圖4(a)和(b)可知,采用不同模量理論和相同模量理論分別模擬,得在兩種理論模擬計算下的鐵木辛柯梁的模態振型是相同的,但固有頻率差距較大;由圖4(c)和(d)可知,歐拉-伯努利梁也遵循相同的規律.

表3 通用有限元數值解ωTable 3 Numerical solution by FEMω

圖4 簡支梁三階振型云圖Fig.4 Cloud diagram of the beam

5.3 結果分析

對比表1和表2中的數據可知,對比不同拉壓彈性模量梁與同模量梁,不論是鐵木辛柯梁還是歐拉-伯努利梁,二者的固有振動頻率誤差均大于14%以上,最大約為25%,遠遠超出工程允許誤差.這表明當拉壓彈性模量相差較大時,應采用不同拉壓彈性模量理論進行計算,可減小工程誤差,保證結構的安全性.

由表1可知,考慮了不同拉壓彈性模量后,當梁的高跨比為1/5時,梁固有頻率計算誤差由第一階的6.7%上升至第十階的247.0%.由表2可知,當梁的高跨比為1/20時,梁的固有振動頻率計算誤差呈遞增形式,分別為第一階0.4%,第二階1.7%,第三階3.9%,第四階6.7%,第十階34.5%.這表明:當梁的高跨比較小時,剪切效應對低階固有振動頻率的影響較小;隨著階數的增加,影響逐漸增大;當梁的高跨比較大時,剪切效應對固有頻率的影響很大,不可忽略.

當截面的平均彈性模量保持不變,僅改變其分配時,梁各階固有振動頻率隨E1/E2的增大而減小(見圖3),這說明截面剛度的不均勻可使固有振動頻率減小.當E1/E2=1/4～1變化時,固有振動頻率的誤差最大可達到32%.對土木工程中廣泛使用的混凝土材料,其拉壓模量比一般為2.5.采用不同模量理論計算所得的固有頻率小于同模量理論解,且誤差隨著階數的增加而增大,平均誤差為10%.

6 結束語

本工作研究了不同拉壓彈性模量鐵木辛柯梁的自由振動問題.利用不同拉壓彈性模量材料純剪切應力狀態單元體,推導了不同拉壓彈性模量剪切彈性模量表達式,建立了鐵木辛柯梁的振動微分方程,推導計算了不同模量簡支下的鐵木辛柯梁的自由振動頻率.另外,增加梁的跨高比,該解析模型可以退化為歐拉—伯努利梁的自由振動頻率解析解.所求解的不同模量理論公式可完全退化到同模量理論公式,且與ABAQUS有限元軟件模擬結果誤差在2%以內,驗證了解析結果的正確性.最后,討論了不同模量理論計算結果與經典同模量理論計算結果的差異,得到了以下結論.

(1)考慮拉壓不同模量時,中性軸在振動過程中發生跳變,使主振型函數成為分段函數,分為奇數波函數和偶數波函數.

(2)當拉壓彈性模量相差較大時,不同模量理論計算所得的固有振動頻率小于與經典模量理論解,且誤差隨著階數的增加而增大,可達25%,遠超工程允許誤差范圍.采用不同拉壓彈性模量理論進行結構固有頻率的計算,可減小誤差,保證結構的安全性.

(3)對土木工程中廣泛使用的混凝土材料,當計入其拉壓不同模量后,相對于經典模量理論,二者的固有振動頻率誤差平均可達到10%.這對許多要避免產生共振的建筑結構會有較大影響,如鐵路橋梁等.

(4)當截面的平均彈性模量保持不變,僅改變拉壓彈性模量的大小,即結構的拉壓模量不同,可以較大范圍內改變梁的固有振動頻率,同時拉壓模量的不同(即剛度的不均勻)可使結構固有振動頻率減小.在實際工程中,對拉壓不同模量制備的結構,如應用經典的相同模量理論計算結構的振動問題,會存在安全隱患.