基于稀疏恢復的MIMO-STAP離散干擾抑制方法

何 團，唐 波，張 進，張 玉

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術[1]是機載雷達在強雜波背景下檢測運動目標的關鍵技術。STAP技術的關鍵是獲取待檢測距離單元精確的雜波協方差矩陣。根據RMB(Reed-Mallett-Brennan)準則[2]，要使估計雜波協方差矩陣帶來的雜波抑制性能損失小于3 dB，所需獨立同分布訓練樣本數至少為2倍系統自由度。然而，雷達的工作環境復雜、多變，在不同距離單元可能存在著除探測目標以外的其他運動目標，這些運動目標會對訓練樣本形成離散干擾。離散干擾的存在會導致實際環境中雜波分布的非均勻性更加嚴重，使得用于估計雜波協方差矩陣的訓練樣本很難滿足要求。

針對訓練樣本存在的離散干擾問題，一般有兩種解決思路：一為研究訓練樣本挑選方法，將存在離散干擾的訓練樣本直接剔除；二為直接數據域法，只使用待檢測距離單元的數據，完全避免訓練樣本中離散干擾的影響。文獻[3]提出了一種基于稀疏重構技術的訓練樣本挑選方法，該方法利用雜波多普勒與角度的先驗關系剔除角度-距離譜上明顯偏離角度期望的訓練樣本。文獻[4]提出了一種基于矩陣相似度的STAP非均勻樣本挑選方法，該方法從受污染樣本與干凈樣本的差異性度量角度入手，根據相似度的不同實現對受污染樣本的剔除。訓練樣本挑選方法的目的就是將包含干擾的訓練樣本舍棄，但訓練樣本本身數量有限，直接舍棄是對訓練樣本資源的浪費。文獻[5]提出了基于稀疏表示的直接數據域法，通過稀疏恢復直接獲得待檢測單元的高分辨空時譜，完全避免了使用含干擾的訓練樣本，但該方法會犧牲一定的系統自由度，使得雜波抑制性能有所損失。

近年來，稀疏恢復技術被應用到STAP中，只需少量訓練樣本即可實現雜波譜的精確恢復[6-7]。而多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達STAP技術因其能夠實現更好的性能[8-9]，稀疏恢復技術也慢慢擴展到了MIMO雷達中。為了不損失系統自由度，且避免訓練樣本的浪費，本文結合稀疏恢復技術，針對MIMO-STAP在訓練樣本存在離散干擾時雜波抑制性能嚴重下降的問題，提出了一種離散干擾抑制方法。

1 問題建模

1.1 存在離散干擾時的信號模型

圖1為機載MIMO雷達在正側視條件下的幾何模型[10]，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角；V為載機速度，h為載機距離地面的高度。

圖1 機載MIMO雷達幾何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

設均勻線陣體制下機載MIMO雷達發射的各波形滿足正交關系,通過匹配濾波,可以在接收端分離出各個發射陣元信號。發射陣元個數為M，接收陣元個數為N；1個相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內發射K個脈沖，脈沖重復頻率為fr，工作波長為λ；發射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問題，假定dr=λ/2)。

設φl為第l個距離環的俯仰角，將第l個距離環均勻切分為Nc個雜波塊，θp為第p個雜波塊的方位角。雜波塊的空間頻率為fs，多普勒頻率為fd，則對應的空時導向矢量為：

v(fd,fs)=vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式(1)中，?表示Kronecker積，vt為發射導向矢量，vr為接收導向矢量，vd為時域導向矢量。發射和接收導向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs…ej2π(M-1)γfs]T

(2)

式(2)中，γ為發射陣元間距與接收陣元間距之比。

vr(fs)=[1 ej2πfs…ej2π(N-1)fs]T

(3)

空間頻率fs與θp、φl關系式為：

fs(θp,φl)=drcosθpcosφl/λ

(4)

時域導向矢量為：

vd(fd)=[1 ej2πfd…ej2π(K-1)fd]T

(5)

式(5)中，多普勒頻率fd與θp、φl的關系式為：

fd(θp,φl)=2Vcos(θp)cosφl/(λfr)

(6)

則第l個距離環的雜波信號可表示為：

(7)

式(7)中，σp為第p個雜波塊的回波幅度，v(fd, p,fs, p)為第p個雜波塊的空時導向矢量。

如圖2所示，本文考慮的干擾模型不涉及到主動式的有源干擾，而是其他非感興趣運動目標形成的離散干擾，這些運動目標可以為飛機器、車輛等具有速度的物體，且不存在于目標距離環，即只存在于訓練樣本。

圖2 離散干擾示意圖Fig.2 Schematic diagram of discrete interference

設第l個距離單元離散干擾總數為Nj，則第l個距離單元的離散干擾可表示為：

(8)

式(8)中，v(fd, m,fs, m)為第m個離散干擾的空時導向矢量，σm為其幅度值。

則第l個距離單元包含的所有信號可表示為：

(9)

式(9)中，n為噪聲矢量。

1.2 雜波協方差矩陣的求解

一般情況下，為獲得稀疏恢復所需的字典，需將整個空時二維平面網格化，將所有網格節點對應的空時導向矢量取出組成字典。設Q=NM，將空間頻率fs和多普勒頻率fd分別離散化為Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數。

雜波分布在空時二維平面上具有稀疏性[11]，可由超完備字典近似表示為：

(10)

式(10)中，v(fd, i,fs, j)表示空時二維平面上空間頻率為fs, j，多普勒頻率為fd, i時所對應的空時導向矢量，σi,j為其幅度值；ψ為稀疏恢復使用的字典矩陣；σ為待求的稀疏參數矢量。

一般情況下，稀疏恢復的目的就是確定矢量σ，則雜波譜的稀疏恢復問題最終可表示為：

(11)

式(11)中，y為不含目標信號的觀測信號矢量，ε為噪聲帶來的誤差閾值。

在求得稀疏參數矢量后，即可求得雜波的空時功率譜為：

P=σ⊙σ*

(12)

則待檢測距離單元的雜波協方差矩陣可估計為：

(13)

要使用式(13)求得雜波協方差矩陣，前提是每個訓練樣本的空時功率譜只包含雜波成分，而不含其他干擾成分。當存在離散干擾時，求得的協方差矩陣將不僅僅包括雜波協方差矩陣，還包括離散干擾協方差矩陣。此時第n個訓練樣本總的協方差矩陣可表示為：

(14)

因為感興趣的只是雜波協方差矩陣，所以必須考慮去除其中的離散干擾協方差矩陣。

2 離散干擾抑制方法

2.1 改進正則化FOCUSS

正則化FOCUSS(Focal Underdetermined System Solver)[12]算法是一種應對噪聲條件下的稀疏恢復算法。其中最核心的迭代為：

W(k)=diag{|σ(k-1)|1-p/2}

(15)

σ(k)=W(k)·(W(k))HψH·
[ψW(k)·(W(k))HψH+λI]-1y

(16)

式中，W(k)為第k次迭代的加權矩陣，λ為與噪聲水平相關的正則化參數。

在每次迭代中，會通過加權矩陣不斷強化稀疏解中顯著分量，同時抑制其中的不顯著分量直至其接近于零。但如果某次迭代沒有正確估計某個大分量的幅度而將其降為零，則后續迭代就很難重新找到該分量，此時恢復性能會存在一定損失。其次，正則化FOCUSS在每次迭代中都涉及矩陣求逆運算，計算復雜度較高。

為保證正則化FOCUSS的恢復性能，并減輕總的計算量，需對正則化FOCUSS算法進行改進。文獻[5]對基本的FOCUSS算法進行了改進，在提升了FOCUSS算法可靠性的同時，也提升了運算效率。本小節將這種思路推廣到正則化FOCUSS算法。改進正則化FOCUSS算法具體步驟如下：

為了后續描述方便，將第k次迭代自適應子空間的原子序號用集合Γk表示，則起始序號集合Γ0為：

Γ0={i|1≤i≤NsNd}

(17)

式(17)中，i表示字典中的第i個原子。

首先選擇低分辨譜作為初始值：

σ(0)=ψHy

(18)

在得到初始值后，進入以下迭代：

1) 根據加權矩陣更新估計結果

(19)

式(19)中，ψ|Γk表示第k次迭代的自適應子空間；σ(k)|Γk表示在自適應子空間為ψ|Γk時的稀疏參數解。

2) 利用最新的稀疏參數解σ(k)|Γk更新自適應子空間，更新后的原子序號集合為：

(20)

式(20)中，σ(k)i|Γk為字典中第i個原子對應的幅度，Th表示門限。

3) 對自適應子空間進行平滑

在特定迭代中，確實可能出現某些幅度估計誤差較大或者估計位置出現偏差的情況。如果只保留迭代中的顯著分量，可能導致位于顯著分量附近的實際信號源在后續迭代中再也無法估計出。為防止此類現象出現，可以設計平滑子空間來減慢加權矢量的收縮。令ψ|Γk+1(smooth)表示子空間ψ|Γk+1的平滑子空間，設ψ|Γk+1(smooth)的原子序號集合為：

Γk+1(smooth)={Ω(i),i∈Γk+1}

(21)

集合Ω(i)定義為：

Ω(i)={i,Λ(i)}

(22)

Λ(i)={u||ru-ri|≤ds,u≠i}

(23)

式(23)中，ru、ri表示字典中第u個和第i個原子在空時二維平面坐標的標識；Ω(i)表示字典中第i個原子二維鄰域內所有原子的序號集合；Λ(i)表示字典中第i個原子二維去心鄰域內所有原子的序號集合；ds表示距離門限。

在找到ψ|Γk+1的平滑子空間后，將加權矩陣進行平滑更新。對于任意i∈Γk+1，Ω(i)內所有原子的幅度值都轉化為：

(24)

式(24)中，si表示Λ(i)內包含的原子總數。

在求得平滑子空間各原子幅度值后，即可求得新的加權矩陣W(k+1)。

最后再將自適應子空間更新為：

ψ|Γk+1=ψ|Γk+1(smooth)

(25)

4) 當滿足收斂條件(ζ為收斂常數)

(26)

則跳出迭代，否則一直進行步驟1到步驟4的迭代。

顯然，自適應子空間的不斷縮減使得矩陣求逆運算的計算復雜度大大降低，而引入的平滑操作保證了迭代過程中不會出現過稀疏的問題。同比正則化FOCUSS算法，改進正則化FOCUSS算法提高了算法的魯棒性，并使計算量顯著降低。

2.2 去除離散干擾

離散干擾會使得訓練樣本不再滿足統計特性，如果直接將這些包含了離散干擾的訓練樣本用來估計雜波協方差矩陣，會使得估計的雜波協方差矩陣精度嚴重下降，這顯然是不合理的。

如果能夠去除每個訓練樣本中離散干擾的影響，使各個訓練樣本重新滿足統計特性，那么存在離散干擾的訓練樣本就可以用來估計待檢測距離單元的雜波協方差矩陣，有效避免訓練樣本資源的浪費。具體去除離散干擾的方法如下：

使用改進正則化FOCUSS算法處理各訓練樣本，可求得各原子的空時功率譜值。設置門限將那些譜值較小的原子剔除，保留譜值較大的原子，這些原子在圖3中由“+”表示，其序號集合為Γ0。顯然，大部分譜值較大的原子都分布在雜波脊線附近，只有極少部分分布在離散干擾附近。

圖3 空時平面離散干擾示意圖Fig.3 Schematic diagram of discrete interference on the space-time plane

要去除離散干擾的影響，可以從幾何角度考慮。首先，需找到所有譜值較大原子在空時二維平面上的對應點，并確定相應的空時坐標值。將這些點進行線性回歸處理可以確定一條直線，該直線必然比較接近實際的雜波脊線。直線的解析式可表示為：

fs=kfd+b

(27)

式(27)中，k和b分別為：

(28)

(29)

如圖4所示，每個原子都與雜波脊線存在相應距離。相對而言，雜波對應原子必然與雜波脊線相距較近，而離散干擾對應原子必然與雜波脊線相距較遠。設某原子在空時二維平面上的坐標為(fd0,fs0)，該原子對應點與原點形成向量a。設正側視條件下雜波脊線的方向向量為b=(1/β,1)，其中β為折疊系數。則該原子與雜波脊線的距離為：

(30)

圖4 去除離散干擾示意圖Fig.4 Schematic diagram of removing discrete interference

為了將離散干擾對應的原子找出，需設置距離門限d0。將所有超出距離門限的原子用Γj表示，則

Γj={i|?di≥d0,i∈Γ0}

(31)

式(31)中，di表示字典中第i個原子與雜波脊線的距離。則最后第n個訓練樣本的雜波協方差矩陣可估計為：

(32)

在求得各訓練樣本的雜波協方差矩陣后即可求得待檢測距離單元的雜波協方差矩陣。

3 仿真分析

本節通過仿真試驗驗證本文方法的有效性，仿真實驗具體參數如表1所示。

仿真中共涉及到4個訓練樣本，每個訓練樣本都存在一個離散干擾，各訓練樣本的離散干擾具體參數如表2所示。

表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameters

表2 離散干擾參數Tab.2 Simulation parametersof discrete interference

改進正則化FOCUSS算法參數設置為：p取0.8，λ取0.02，ds取0.03。去除離散干擾的距離門限d0取0.08。

3.1 空時功率譜比較

圖5(a)為LSMI算法使用4個訓練樣本得到的Capon功率譜，該功率譜精度較低，能量分布比較分散，因為離散干擾功率較低，故不能明顯找出離散干擾。圖5(b)為改進正則化FOCUSS算法處理訓練樣本但未去除離散干擾得到的空時功率譜，顯然譜的恢復精度較高，譜中雜波成分和干擾成分都十分明顯，可以清楚地將二者區別開來。圖5(c)為改進正則化FOCUSS算法處理訓練樣本并去除離散干擾后的空時功率譜，該功率譜只集中分布在雜波脊線附近，即只包含雜波成分，不再包含離散干擾成分。由此可見，離散干擾問題得到了較好地解決。

3.2 輸出SINR比較

為比較各算法雜波抑制性能，采用輸出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise-Ratio，SINR)作為衡量基準。SINR(無有源干擾時)定義為輸出信號與輸出雜波加噪聲信號能量的比值，具體表示為：

(33)

式(33)中，vt為目標信號矢量，R為雜波協方差矩陣與噪聲協方差矩陣之和。

圖6(a)和圖6(b)分別為使用改進正則化FOCUSS算法處理訓練樣本后去除離散干擾前后的輸出SINR三維立體圖。由圖6(a)可以看出，離散干擾對輸出SINR性能影響較大，分別存在于四個訓練樣本中的離散干擾全部在圖6(a)中有所體現，四個凹陷部位即為離散干擾所在位置。如果目標處在凹陷附近，則雜波抑制性能就會嚴重下降，導致目標難以檢測。而圖6(b)中只有雜波脊線存在凹陷，目標處在雜波脊線以外區域都可以被明顯檢測。顯然，去除離散干擾后的輸出SINR性能不再受離散干擾的影響。

圖7中各輸出SINR曲線均為100次蒙特卡羅實驗所得，其中曲線各點的空間頻率都為0。由圖7可以看出，未去除離散干擾的輸出SINR性能有所下降，離散干擾確實對雜波抑制性能存在影響，且離散干擾的功率越強，影響就越嚴重。尤其是在歸一化多普勒頻率為0.25和-0.25時影響最為嚴重，這是因為訓練樣本2和3中的兩個離散干擾空間頻率比較接近0，當目標歸一化多普勒頻率為0.25和-0.25時，兩個離散干擾與目標位置接近，從而使得輸出SINR曲線在該處形成凹陷，而去除離散干擾后的輸出SINR曲線性能良好，其性能優勢十分明顯。

圖5 空時功率譜比較Fig.5 Comparison of space-time power spectrum

圖6 輸出SINR立體圖Fig.6 Stereogram of the output SINR

圖7 輸出SINR比較Fig.7 Comparison of the output SINR

4 結論

本文提出了一種基于稀疏恢復的MIMO-STAP離散干擾抑制方法。該方法在改進正則化FOCUSS處理訓練樣本的基礎上，利用所有空時功率譜值較大的原子在空時二維平面分布的幾何特性，實現了對離散干擾的抑制。其解決離散干擾問題的思路與傳統思路不同，能夠使用包含離散干擾的訓練樣本估計雜波協方差矩陣，既不損失系統自由度，又避免了訓練樣本的浪費。仿真結果表明，離散干擾會對雜波抑制性能產生較大影響，而本文算法可完全克服離散干擾的影響，能夠恢復出精確的雜波譜，得到的空時濾波器雜波抑制性能良好。但本文算法只針對正側視條件下的離散干擾，非正側視條件下的離散干擾抑制需要進一步研究。